Страница 229 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

1. 1) Сформулируйте и запишите с помощью букв правила сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

2) Выполните действия:

а) $\frac{2}{9} + \frac{1}{9}$;

б) $\frac{3}{5} + \frac{2}{7}$;

в) $\frac{11}{15} - \frac{3}{5}$;

г) $\frac{5}{6} - \frac{1}{4}$.

1) Правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями: чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тем же.
Правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями: чтобы вычесть из одной дроби другую с таким же знаменателем, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить тем же.
Ответ: $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$ и $\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}$.

2)

а) Так как знаменатели дробей одинаковы, складываем их числители: $\frac{2}{9} + \frac{1}{9} = \frac{2+1}{9} = \frac{3}{9}$. Сокращаем полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3: $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$. Ответ: $\frac{1}{3}$.

б) Знаменатели дробей разные. Приводим дроби к наименьшему общему знаменателю, который равен $5 \cdot 7 = 35$: $\frac{3}{5} + \frac{2}{7} = \frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 7} + \frac{2 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{21}{35} + \frac{10}{35}$. Теперь складываем дроби с одинаковыми знаменателями: $\frac{21+10}{35} = \frac{31}{35}$. Ответ: $\frac{31}{35}$.

в) Знаменатели дробей разные. Приводим дроби к наименьшему общему знаменателю. Для 15 и 5 это 15. Домножаем вторую дробь на 3: $\frac{11}{15} - \frac{3}{5} = \frac{11}{15} - \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{11}{15} - \frac{9}{15}$. Теперь вычитаем дроби с одинаковыми знаменателями: $\frac{11-9}{15} = \frac{2}{15}$. Ответ: $\frac{2}{15}$.

г) Знаменатели дробей разные. Приводим дроби к наименьшему общему знаменателю. Для 6 и 4 это 12: $\frac{5}{6} - \frac{1}{4} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{10}{12} - \frac{3}{12}$. Теперь вычитаем дроби с одинаковыми знаменателями: $\frac{10-3}{12} = \frac{7}{12}$. Ответ: $\frac{7}{12}$.

2. 1) Сформулируйте и запишите с помощью букв правила умножения и деления дробей.

2) Выполните действия:

а) $\frac{7}{9} \cdot \frac{2}{5}$;

б) $\frac{14}{15} \cdot \frac{10}{49}$;

в) $\frac{4}{15} : \frac{2}{5}$.

1)

Правило умножения дробей: чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители, и это произведение станет числителем результата. Затем нужно перемножить их знаменатели, и это произведение станет знаменателем результата.
Правило деления дробей: чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь (делимое) умножить на дробь, обратную второй дроби (делителю).
Ответ: Запись правил с помощью букв:
Умножение: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$
Деление: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$

2)

а) Чтобы умножить дроби, перемножим их числители и знаменатели:
$\frac{7}{9} \cdot \frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 2}{9 \cdot 5} = \frac{14}{45}$
Ответ: $\frac{14}{45}$

б) Чтобы умножить дроби, запишем произведение под общей чертой и выполним сокращение перед вычислением. Сократим 14 и 49 на 7, а 10 и 15 на 5:
$\frac{14}{15} \cdot \frac{10}{49} = \frac{14 \cdot 10}{15 \cdot 49} = \frac{(2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 5)}{(3 \cdot 5) \cdot (7 \cdot 7)} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 7} = \frac{4}{21}$
Ответ: $\frac{4}{21}$

в) Чтобы разделить дроби, заменим деление на умножение, "перевернув" вторую дробь. Затем выполним сокращение. Сократим 4 и 2 на 2, а 5 и 15 на 5:
$\frac{4}{15} : \frac{2}{5} = \frac{4}{15} \cdot \frac{5}{2} = \frac{4 \cdot 5}{15 \cdot 2} = \frac{(2 \cdot 2) \cdot 5}{(3 \cdot 5) \cdot 2} = \frac{2}{3}$
Ответ: $\frac{2}{3}$

3. 1) Как называется число $2\frac{1}{3}$? Что означает эта запись?

2) Представьте число $7\frac{2}{5}$ в виде неправильной дроби. Выделите целую часть из дроби $\frac{30}{7}$.

1) Как называется число $2\frac{1}{3}$? Что означает эта запись?

Число $2\frac{1}{3}$ называется смешанным числом. Оно состоит из целой части (в данном случае это 2) и дробной части (в данном случае это $\frac{1}{3}$). Эта запись означает сумму целой и дробной частей: $2\frac{1}{3} = 2 + \frac{1}{3}$.

Ответ: Число $2\frac{1}{3}$ — это смешанное число, которое означает сумму $2 + \frac{1}{3}$.

2) Представьте число $7\frac{2}{5}$ в виде неправильной дроби. Выделите целую часть из дроби $\frac{30}{7}$.

Преобразование смешанного числа в неправильную дробь:

Чтобы представить смешанное число $7\frac{2}{5}$ в виде неправильной дроби, нужно умножить его целую часть на знаменатель дробной части и прибавить к результату числитель. Полученное число будет числителем неправильной дроби, а знаменатель останется прежним.

$7\frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{35 + 2}{5} = \frac{37}{5}$

Выделение целой части из неправильной дроби:

Чтобы выделить целую часть из дроби $\frac{30}{7}$, нужно разделить числитель (30) на знаменатель (7) с остатком. Неполное частное будет целой частью, а остаток от деления — новым числителем.

$30 \div 7 = 4$ (остаток $2$), так как $4 \cdot 7 + 2 = 28 + 2 = 30$.

Таким образом, целая часть равна 4, а дробная часть равна $\frac{2}{7}$.

$\frac{30}{7} = 4\frac{2}{7}$

Ответ: $7\frac{2}{5} = \frac{37}{5}$; целая часть дроби $\frac{30}{7}$ равна 4, и в виде смешанного числа дробь записывается как $4\frac{2}{7}$.

4. Выполните действия:

а) $3\frac{3}{4} + 1\frac{1}{2}$;

б) $2\frac{5}{6} - 1\frac{5}{12}$;

в) $4 - 1\frac{2}{3}$;

г) $3\frac{2}{7} - \frac{6}{7}$;

д) $1\frac{1}{3} \cdot 4$;

е) $3\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5}$;

ж) $2\frac{1}{4} : 3$;

з) $20 : 2\frac{1}{2}$.

а) $3\frac{3}{4} + 1\frac{1}{2}$
Для сложения смешанных чисел сложим отдельно их целые и дробные части.
Сложим целые части: $3 + 1 = 4$.
Сложим дробные части, приведя их к общему знаменателю 4:
$\frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} + \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3+2}{4} = \frac{5}{4}$.
Преобразуем неправильную дробь $\frac{5}{4}$ в смешанное число: $\frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$.
Теперь сложим полученные результаты: $4 + 1\frac{1}{4} = 5\frac{1}{4}$.
Ответ: $5\frac{1}{4}$.

б) $2\frac{5}{6} - 1\frac{5}{12}$
Для вычитания смешанных чисел вычтем отдельно их целые и дробные части.
Вычтем целые части: $2 - 1 = 1$.
Вычтем дробные части, приведя их к общему знаменателю 12:
$\frac{5}{6} - \frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} - \frac{5}{12} = \frac{10}{12} - \frac{5}{12} = \frac{10-5}{12} = \frac{5}{12}$.
Сложим полученные результаты: $1 + \frac{5}{12} = 1\frac{5}{12}$.
Ответ: $1\frac{5}{12}$.

в) $4 - 1\frac{2}{3}$
Представим число 4 в виде смешанного числа со знаменателем 3:
$4 = 3 + 1 = 3 + \frac{3}{3} = 3\frac{3}{3}$.
Теперь выполним вычитание:
$3\frac{3}{3} - 1\frac{2}{3} = (3-1) + (\frac{3}{3} - \frac{2}{3}) = 2 + \frac{1}{3} = 2\frac{1}{3}$.
Ответ: $2\frac{1}{3}$.

г) $3\frac{2}{7} - \frac{6}{7}$
Дробная часть уменьшаемого ($\frac{2}{7}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{6}{7}$). Поэтому "займем" единицу у целой части.
$3\frac{2}{7} = 2 + 1 + \frac{2}{7} = 2 + \frac{7}{7} + \frac{2}{7} = 2\frac{9}{7}$.
Теперь выполним вычитание:
$2\frac{9}{7} - \frac{6}{7} = 2 + (\frac{9}{7} - \frac{6}{7}) = 2 + \frac{3}{7} = 2\frac{3}{7}$.
Ответ: $2\frac{3}{7}$.

д) $1\frac{1}{3} \cdot 4$
Чтобы умножить смешанное число на целое число, сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби:
$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$.
Теперь умножим полученную дробь на 4:
$\frac{4}{3} \cdot 4 = \frac{4 \cdot 4}{3} = \frac{16}{3}$.
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{16}{3} = 5\frac{1}{3}$.
Ответ: $5\frac{1}{3}$.

е) $3\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5}$
Чтобы умножить смешанное число на дробь, представим смешанное число в виде неправильной дроби:
$3\frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{13}{4}$.
Теперь выполним умножение дробей. Можно сократить 2 и 4 на 2:
$\frac{13}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{13 \cdot 2}{4 \cdot 5} = \frac{13 \cdot 1}{2 \cdot 5} = \frac{13}{10}$.
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{13}{10} = 1\frac{3}{10}$.
Ответ: $1\frac{3}{10}$.

ж) $2\frac{1}{4} : 3$
Чтобы разделить смешанное число на целое, представим смешанное число в виде неправильной дроби:
$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$.
Деление на число равносильно умножению на обратное ему число. Обратное к 3 - это $\frac{1}{3}$.
$\frac{9}{4} : 3 = \frac{9}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{9 \cdot 1}{4 \cdot 3}$.
Сократим 9 и 3 на 3:
$\frac{9 \cdot 1}{4 \cdot 3} = \frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 1} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$.

з) $20 : 2\frac{1}{2}$
Чтобы разделить целое число на смешанное, представим смешанное число в виде неправильной дроби:
$2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$.
Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь. Обратная к $\frac{5}{2}$ - это $\frac{2}{5}$.
$20 : \frac{5}{2} = 20 \cdot \frac{2}{5} = \frac{20 \cdot 2}{5}$.
Сократим 20 и 5 на 5:
$\frac{20 \cdot 2}{5} = \frac{4 \cdot 2}{1} = 8$.
Ответ: $8$.

5. Найдите значение выражения:

а) $\frac{3}{7} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{4}{9}\right)$;

б) $\frac{4}{5} - \frac{1}{4} : \frac{5}{6}$.

a)

Решим выражение $ \frac{3}{7} \cdot (\frac{1}{3} + \frac{4}{9}) $ по действиям.

1. Первым действием выполним сложение в скобках. Для этого необходимо привести дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 9 — это 9. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на 3.

$ \frac{1}{3} + \frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{4}{9} = \frac{3}{9} + \frac{4}{9} = \frac{3+4}{9} = \frac{7}{9} $

2. Вторым действием выполним умножение результата первого действия на $ \frac{3}{7} $.

$ \frac{3}{7} \cdot \frac{7}{9} = \frac{3 \cdot 7}{7 \cdot 9} $

Сократим дробь: 7 в числителе и знаменателе сокращаются. Также можно сократить 3 и 9 на 3.

$ \frac{3 \cdot 7}{7 \cdot 9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} $

Ответ: $ \frac{1}{3} $

б)

Решим выражение $ \frac{4}{5} - \frac{1}{4} \div \frac{5}{6} $ по действиям.

1. Согласно порядку выполнения математических операций, сначала выполняется деление. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую).

$ \frac{1}{4} \div \frac{5}{6} = \frac{1}{4} \cdot \frac{6}{5} = \frac{1 \cdot 6}{4 \cdot 5} = \frac{6}{20} $

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2.

$ \frac{6 \div 2}{20 \div 2} = \frac{3}{10} $

2. Теперь выполним вычитание.

$ \frac{4}{5} - \frac{3}{10} $

Приведем дроби к общему знаменателю 10. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на 2.

$ \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{3}{10} = \frac{8}{10} - \frac{3}{10} = \frac{8-3}{10} = \frac{5}{10} $

Сократим полученный результат, разделив числитель и знаменатель на 5.

$ \frac{5 \div 5}{10 \div 5} = \frac{1}{2} $

Ответ: $ \frac{1}{2} $

6. Старший брат покрасил $\frac{7}{10}$ забора, а младший – $\frac{1}{4}$. Какая часть забора осталась неокрашенной?

Для того чтобы определить, какая часть забора осталась неокрашенной, сначала необходимо вычислить, какую часть забора покрасили оба брата вместе. Для этого сложим дроби, обозначающие работу каждого из них.

1. Найдем общую часть забора, которую покрасили братья. Для этого нужно сложить дроби $ \frac{7}{10} $ и $ \frac{1}{4} $. Чтобы это сделать, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для знаменателей 10 и 4 — это 20.

Приведем первую дробь к знаменателю 20, умножив числитель и знаменатель на 2:

$ \frac{7}{10} = \frac{7 \cdot 2}{10 \cdot 2} = \frac{14}{20} $

Приведем вторую дробь к знаменателю 20, умножив числитель и знаменатель на 5:

$ \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{5}{20} $

Теперь сложим полученные дроби:

$ \frac{14}{20} + \frac{5}{20} = \frac{14+5}{20} = \frac{19}{20} $

Таким образом, братья вместе покрасили $ \frac{19}{20} $ забора.

2. Теперь найдем, какая часть забора осталась непокрашенной. Весь забор представляет собой единицу, или $ 1 $. Чтобы найти оставшуюся часть, нужно из целого вычесть покрашенную часть.

Представим $ 1 $ в виде дроби со знаменателем 20: $ 1 = \frac{20}{20} $.

Вычтем из всей длины забора покрашенную часть:

$ \frac{20}{20} - \frac{19}{20} = \frac{20-19}{20} = \frac{1}{20} $

Ответ: $ \frac{1}{20} $ часть забора осталась непокрашенной.

7. В одной коробке $7\frac{1}{2}$ кг яблок, а в другой – в 3 раза меньше. Сколько килограммов яблок в двух коробках?

Для того чтобы найти общее количество яблок в двух коробках, нужно сначала вычислить, сколько килограммов яблок во второй коробке, а затем сложить это количество с количеством яблок в первой коробке.

1. Вычислим массу яблок во второй коробке.

В первой коробке $7 \frac{1}{2}$ кг яблок. Во второй коробке в 3 раза меньше, значит, массу яблок в первой коробке нужно разделить на 3.
Сначала преобразуем смешанное число $7 \frac{1}{2}$ в неправильную дробь:
$7 \frac{1}{2} = \frac{7 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{15}{2}$
Теперь разделим полученное значение на 3:
$\frac{15}{2} \div 3 = \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{15}{6}$
Сократим дробь и выделим целую часть:
$\frac{15}{6} = \frac{5}{2} = 2 \frac{1}{2}$ кг.
Итак, во второй коробке находится $2 \frac{1}{2}$ кг яблок.

2. Найдем, сколько килограммов яблок в двух коробках вместе.

Для этого сложим массу яблок из первой и второй коробок:
$7 \frac{1}{2} + 2 \frac{1}{2} = (7 + 2) + (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) = 9 + \frac{2}{2} = 9 + 1 = 10$ кг.

Ответ: 10 кг.