Страница 223 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

894 a) В книге две повести. Первая занимает 35 страниц, а вторая – $ \frac{2}{7} $ книги. Сколько всего страниц в книге?

б) Автомобиль едет из Старицы в Тверь. Проехав 36 км, автомобиль сделал остановку, и после этого ему осталось проехать $ \frac{2}{5} $ всего пути. Чему равна длина всего пути от Старицы до Твери?

а)

Пусть общее количество страниц в книге равно $x$. В книге две повести. Первая занимает 35 страниц, а вторая — $\frac{2}{7}$ книги. Следовательно, первая повесть занимает оставшуюся часть книги. Вычислим, какую долю от всей книги составляет первая повесть:

$1 - \frac{2}{7} = \frac{7}{7} - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$

Из условия мы знаем, что эта часть ($\frac{5}{7}$) равна 35 страницам. Чтобы найти целое по его части, нужно значение этой части разделить на соответствующую дробь. Найдем общее количество страниц $x$:

$x = 35 \div \frac{5}{7} = 35 \times \frac{7}{5} = \frac{35 \times 7}{5} = 7 \times 7 = 49$

Всего в книге 49 страниц.

Ответ: 49 страниц.

б)

Пусть вся длина пути от Старицы до Твери равна $y$ км. Автомобиль проехал 36 км, и после этого ему осталось проехать $\frac{2}{5}$ всего пути. Найдем, какую часть пути автомобиль уже проехал. Весь путь принимаем за 1.

$1 - \frac{2}{5} = \frac{5}{5} - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$

Таким образом, 36 км, которые проехал автомобиль, составляют $\frac{3}{5}$ от всего пути. Чтобы найти весь путь $y$, зная его часть, нужно разделить значение этой части на соответствующую дробь:

$y = 36 \div \frac{3}{5} = 36 \times \frac{5}{3} = \frac{36 \times 5}{3} = 12 \times 5 = 60$

Длина всего пути равна 60 км.

Ответ: 60 км.

895 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ Разберите способ решения задачи:

«Оля истратила треть имевшейся у неё суммы денег, а потом ещё 100 р. В итоге она истратила половину суммы. Сколько денег было у Оли первоначально?»

Чтобы разобраться в условии задачи, обратимся к рисунку 9.11.

$ \frac{1}{3} $ суммы

100 р.

$ \frac{1}{2} $ суммы

Рис. 9.11

1) Выясним, какую часть всей суммы составляют 100 р.:

$ \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} $

2) Мы знаем, что 100 р. — это $ \frac{1}{6} $ всей суммы. Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно найти целое по его части, т. е. 100 р. разделить на $ \frac{1}{6} $ или попросту 100 р. умножить на 6. Получим, что у Оли было 600 р.

Решите задачу:

а) На принтере сначала распечатали треть всей рукописи, потом ещё 10 страниц. В результате распечатали половину всей рукописи. Сколько страниц в рукописи?

б) При подготовке к диктанту по английскому языку Оля выучила чет- верть всех слов, заданных учителем. Если бы она выучила ещё 4 слова, то была бы выучена треть всех слов. Сколько слов надо выучить Оле?

а) На принтере сначала распечатали треть всей рукописи, потом ещё 10 страниц. В результате распечатали половину всей рукописи. Сколько страниц в рукописи?

Решение:

1. Узнаем, какую часть рукописи составляют 10 страниц. Для этого найдём разницу между половиной рукописи и третью рукописи:

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$

Таким образом, 10 страниц — это $\frac{1}{6}$ всей рукописи.

2. Теперь найдём общее количество страниц в рукописи. Если $\frac{1}{6}$ рукописи — это 10 страниц, то вся рукопись (целое) будет в 6 раз больше:

$10 \div \frac{1}{6} = 10 \times 6 = 60$ (страниц).

Ответ: 60 страниц.

б) При подготовке к диктанту по английскому языку Оля выучила четверть всех слов, заданных учителем. Если бы она выучила ещё 4 слова, то была бы выучена треть всех слов. Сколько слов надо выучить Оле?

Решение:

1. Выясним, какую часть от общего количества слов составляют 4 слова. Это разница между одной третью и одной четвертью всех слов:

$\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{1}{12}$

Значит, 4 слова составляют $\frac{1}{12}$ от общего количества слов, которые нужно выучить.

2. Найдём общее количество слов. Если $\frac{1}{12}$ от всех слов — это 4 слова, то общее количество слов (целое) будет в 12 раз больше:

$4 \div \frac{1}{12} = 4 \times 12 = 48$ (слов).

Ответ: 48 слов.

896 Туристы прошли свой маршрут за два дня. В первый день они прошли $\frac{3}{10}$ маршрута и ещё $4\frac{1}{2}$ км, во второй день - $\frac{3}{5}$ маршрута и оставшиеся $2\frac{1}{2}$ км. Чему равна длина маршрута?

Для решения задачи обозначим общую длину маршрута переменной $x$ (в километрах). Весь маршрут состоит из двух частей, пройденных за два дня.

Расстояние, пройденное в первый день, равно $\frac{3}{10}$ всего маршрута и еще $4\frac{1}{2}$ км. Это можно записать как выражение: $(\frac{3}{10}x + 4\frac{1}{2})$ км.

Расстояние, пройденное во второй день, равно $\frac{3}{5}$ всего маршрута и еще $2\frac{1}{2}$ км. Это можно записать как выражение: $(\frac{3}{5}x + 2\frac{1}{2})$ км.

Сумма расстояний, пройденных за первый и второй дни, равна общей длине маршрута $x$. Составим уравнение:

$(\frac{3}{10}x + 4\frac{1}{2}) + (\frac{3}{5}x + 2\frac{1}{2}) = x$

Сначала сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и числовые слагаемые:

$(\frac{3}{10}x + \frac{3}{5}x) + (4\frac{1}{2} + 2\frac{1}{2}) = x$

Теперь выполним сложение в каждой группе. Приведем дроби с $x$ к общему знаменателю 10:

$\frac{3}{10}x + \frac{6}{10}x = \frac{9}{10}x$

Сложим смешанные числа:

$4\frac{1}{2} + 2\frac{1}{2} = (4+2) + (\frac{1}{2}+\frac{1}{2}) = 6 + 1 = 7$

Подставим полученные значения обратно в уравнение:

$\frac{9}{10}x + 7 = x$

Теперь решим это уравнение. Перенесем слагаемое с $x$ из левой части в правую:

$7 = x - \frac{9}{10}x$

Представим $x$ как $\frac{10}{10}x$ для удобства вычитания:

$7 = \frac{10}{10}x - \frac{9}{10}x$

$7 = \frac{1}{10}x$

Чтобы найти $x$, нужно умножить обе части уравнения на 10:

$x = 7 \cdot 10 = 70$

Следовательно, длина всего маршрута равна 70 км.

Ответ: 70 км.

897 Старинная задача. Трое выиграли некоторую сумму денег. На долю первого пришлась $\frac{1}{4}$ этой суммы, на долю второго $\frac{1}{7}$, а на долю третьего – 17 флоринов. Как велик весь выигрыш?

Пусть вся выигранная сумма денег равна $x$ флоринов. Тогда доля первого игрока составляет $\frac{1}{4}x$ флоринов, а доля второго — $\frac{1}{7}x$ флоринов. Доля третьего игрока известна и равна 17 флоринам.

Сумма долей всех троих игроков должна быть равна всей сумме выигрыша. Можем составить уравнение:
$\frac{1}{4}x + \frac{1}{7}x + 17 = x$

Другой способ решения — найти, какую долю от всего выигрыша составляют 17 флоринов третьего игрока. Для этого сначала сложим доли первого и второго игроков. Приведем дроби к общему знаменателю, который равен 28:
$\frac{1}{4} + \frac{1}{7} = \frac{7 \cdot 1}{7 \cdot 4} + \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 7} = \frac{7}{28} + \frac{4}{28} = \frac{11}{28}$

Эта сумма, $\frac{11}{28}$, представляет собой общую долю первого и второго игроков. Весь выигрыш можно принять за 1. Тогда доля третьего игрока составляет:
$1 - \frac{11}{28} = \frac{28}{28} - \frac{11}{28} = \frac{17}{28}$

Из условия мы знаем, что эта доля равна 17 флоринам. Если $\frac{17}{28}$ от всего выигрыша ($x$) равны 17, то мы можем найти весь выигрыш:
$\frac{17}{28}x = 17$
$x = 17 \div \frac{17}{28}$
$x = 17 \cdot \frac{28}{17}$
$x = 28$

Таким образом, весь выигрыш составил 28 флоринов.

Ответ: 28 флоринов.