Страница 226 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

902 За 1 ч первая труба наполняет $ \frac{1}{40} $ бассейна, а вторая - $ \frac{1}{60} $ бассейна.

Ответьте на вопросы:

1) Какую часть бассейна наполнят за 1 ч две трубы вместе?

2) За сколько часов наполнится весь бассейн, если открыть обе трубы одновременно?

1) Какую часть бассейна наполнят за 1 ч две трубы вместе?

Чтобы найти, какую часть бассейна наполнят две трубы, работая вместе, за один час, необходимо сложить их производительности (части бассейна, которые они наполняют за 1 час).

Производительность первой трубы: $\frac{1}{40}$ бассейна в час.

Производительность второй трубы: $\frac{1}{60}$ бассейна в час.

Суммарная производительность равна сумме их производительностей: $\frac{1}{40} + \frac{1}{60}$.

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для 40 и 60 является 120.

$\frac{1}{40} + \frac{1}{60} = \frac{1 \cdot 3}{40 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{60 \cdot 2} = \frac{3}{120} + \frac{2}{120} = \frac{3+2}{120} = \frac{5}{120}$

Теперь сократим полученную дробь:

$\frac{5}{120} = \frac{5 \div 5}{120 \div 5} = \frac{1}{24}$

Таким образом, за 1 час две трубы вместе наполнят $\frac{1}{24}$ часть бассейна.

Ответ: $\frac{1}{24}$ часть бассейна.

2) За сколько часов наполнится весь бассейн, если открыть обе трубы одновременно?

Чтобы найти время, за которое наполнится весь бассейн, нужно принять весь объем бассейна за 1. Мы уже вычислили, что совместная производительность двух труб составляет $\frac{1}{24}$ бассейна в час.

Время наполнения можно найти, разделив весь объем работы (1) на совместную производительность ($\frac{1}{24}$):

Время = $\frac{\text{Объем работы}}{\text{Производительность}} = 1 \div \frac{1}{24}$

Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$1 \div \frac{1}{24} = 1 \cdot \frac{24}{1} = 24$ часа.

Следовательно, весь бассейн наполнится за 24 часа.

Ответ: за 24 часа.

903 а) Через первую трубу можно наполнить бак за 4 мин, через вторую – за 12 мин. За сколько минут можно наполнить бак через две трубы?

б) Одна бригада может выполнить работу за 6 дней, а другая – за 12 дней. За сколько дней две бригады выполнят ту же работу вместе?

а)

Чтобы решить задачу, сначала найдем, какую часть бака наполняет каждая труба за одну минуту, а затем сложим эти части, чтобы найти их совместную производительность. Весь объем бака примем за 1.

1. Производительность первой трубы:
Если первая труба наполняет весь бак (1) за 4 минуты, то за 1 минуту она наполнит $ \frac{1}{4} $ часть бака.

2. Производительность второй трубы:
Если вторая труба наполняет весь бак (1) за 12 минут, то за 1 минуту она наполнит $ \frac{1}{12} $ часть бака.

3. Совместная производительность двух труб:
Чтобы найти, какую часть бака наполнят обе трубы за 1 минуту, работая вместе, нужно сложить их производительности:
$ \frac{1}{4} + \frac{1}{12} $
Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$ \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} $
Таким образом, за 1 минуту обе трубы вместе наполняют $ \frac{1}{3} $ часть бака.

4. Время наполнения бака двумя трубами:
Чтобы найти общее время, нужно весь объем работы (1) разделить на совместную производительность $ ( \frac{1}{3} ) $:
$ 1 \div \frac{1}{3} = 1 \cdot 3 = 3 $ минуты.

Ответ: 3 минуты.

б)

Эта задача решается по аналогии с предыдущей. Примем всю работу за 1.

1. Производительность первой бригады:
Если первая бригада выполняет всю работу (1) за 6 дней, то за 1 день она выполнит $ \frac{1}{6} $ часть работы.

2. Производительность второй бригады:
Если вторая бригада выполняет всю работу (1) за 12 дней, то за 1 день она выполнит $ \frac{1}{12} $ часть работы.

3. Совместная производительность двух бригад:
Чтобы найти, какую часть работы выполнят обе бригады за 1 день, работая вместе, нужно сложить их производительности:
$ \frac{1}{6} + \frac{1}{12} $
Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$ \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} $
Таким образом, за 1 день обе бригады вместе выполнят $ \frac{1}{4} $ часть работы.

4. Время выполнения работы двумя бригадами:
Чтобы найти общее время, нужно весь объем работы (1) разделить на совместную производительность $ ( \frac{1}{4} ) $:
$ 1 \div \frac{1}{4} = 1 \cdot 4 = 4 $ дня.

Ответ: 4 дня.

904 а) На птицеферму привезли корм, которого хватило бы уткам на 30 дней, а гусям на 15 дней. Рассчитайте, хватит ли привезённого корма уткам и гусям вместе на 10 дней.

б) В турпоходе дежурные Оля и Юля должны начистить кастрюлю картофеля. Оля одна может справиться с этой работой за 15 мин, Юля – за 18 мин. Успеют ли они начистить кастрюлю картофеля за 10 мин, если будут работать вместе?

а)

Для решения этой задачи примем весь привезенный корм за единицу (1).

1. Определим, какую часть корма съедают утки за один день. Поскольку всего корма им хватает на 30 дней, их суточная норма потребления составляет $\frac{1}{30}$ всего корма.

2. Определим, какую часть корма съедают гуси за один день. Им корма хватает на 15 дней, следовательно, их суточная норма составляет $\frac{1}{15}$ всего корма.

3. Найдем, какую часть корма съедят утки и гуси вместе за один день. Для этого сложим их суточные нормы потребления:
$\frac{1}{30} + \frac{1}{15} = \frac{1}{30} + \frac{2}{30} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$

Таким образом, вместе утки и гуси съедают $\frac{1}{10}$ всего корма за один день.

4. Чтобы узнать, на сколько дней им хватит всего корма при совместном питании, нужно всю единицу (весь корм) разделить на их совместную дневную норму:
$1 : \frac{1}{10} = 1 \cdot 10 = 10$ (дней).

Расчет показывает, что корма хватит ровно на 10 дней.

Ответ: да, хватит.

б)

Для решения этой задачи примем всю работу по чистке кастрюли картофеля за единицу (1).

1. Определим производительность Оли. Она выполняет всю работу за 15 минут, значит, за одну минуту она выполняет $\frac{1}{15}$ часть работы.

2. Определим производительность Юли. Она выполняет всю работу за 18 минут, значит, за одну минуту она выполняет $\frac{1}{18}$ часть работы.

3. Найдем их совместную производительность, если они будут работать вместе. Для этого сложим их индивидуальные производительности. Найдем общий знаменатель для 15 и 18, он равен 90.
$\frac{1}{15} + \frac{1}{18} = \frac{6}{90} + \frac{5}{90} = \frac{11}{90}$

Таким образом, работая вместе, за одну минуту они выполняют $\frac{1}{11}$ часть всей работы.

4. Теперь определим, сколько времени им потребуется, чтобы выполнить всю работу вместе. Для этого всю работу (1) разделим на их совместную производительность:
$1 : \frac{11}{90} = 1 \cdot \frac{90}{11} = \frac{90}{11} = 8\frac{2}{11}$ (минут).

5. Сравним полученное время с требуемым временем 10 минут:
$8\frac{2}{11}$ минут < 10 минут.

Поскольку время, необходимое для выполнения работы вдвоем, меньше 10 минут, они успеют.

Ответ: да, успеют.

905 a) Ивану потребуется 4 ч, чтобы набрать текст доклада на компьютере. Пётр хуже владеет этим умением, и ему потребуется на эту работу 6 ч. Николай же сможет набрать этот текст за 12 ч. За какое время сделают эту работу мальчики, работая вместе?

б) Школьникам в летнем спортивном лагере дали задание покрасить ограду территории лагеря. Один отряд может выполнить эту работу за 2 ч, второй – за 3 ч, а третий – за 6 ч. За какое время выполнят эту работу школьники, если все три отряда будут работать вместе?

а)

Чтобы решить задачу, сначала определим производительность каждого мальчика, то есть какую часть работы каждый из них выполняет за 1 час. Всю работу по набору текста примем за 1 (одну целую).

1. Производительность Ивана: он выполняет всю работу за 4 часа, значит, за 1 час он выполняет $1 \div 4 = \frac{1}{4}$ часть работы.

2. Производительность Петра: он выполняет всю работу за 6 часов, значит, за 1 час он выполняет $1 \div 6 = \frac{1}{6}$ часть работы.

3. Производительность Николая: он выполняет всю работу за 12 часов, значит, за 1 час он выполняет $1 \div 12 = \frac{1}{12}$ часть работы.

4. Теперь найдем их общую производительность, сложив производительности каждого мальчика:

$\frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12}$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$\frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{3+2+1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

Таким образом, работая вместе, мальчики за 1 час выполняют $\frac{1}{2}$ всей работы.

5. Чтобы найти общее время, нужно всю работу (1) разделить на общую производительность ($\frac{1}{2}$):

$t = 1 \div \frac{1}{2} = 1 \cdot \frac{2}{1} = 2$ часа.

Ответ: 2 часа.

б)

Эта задача решается аналогично предыдущей. Примем всю работу по покраске ограды за 1 (одну целую).

1. Производительность первого отряда: $1 \div 2 = \frac{1}{2}$ часть работы в час.

2. Производительность второго отряда: $1 \div 3 = \frac{1}{3}$ часть работы в час.

3. Производительность третьего отряда: $1 \div 6 = \frac{1}{6}$ часть работы в час.

4. Найдем общую производительность, когда все три отряда работают вместе:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3+2+1}{6} = \frac{6}{6} = 1$

Общая производительность равна 1, что означает, что за 1 час отряды выполняют всю работу.

5. Найдем общее время, разделив всю работу (1) на общую производительность (1):

$t = 1 \div 1 = 1$ час.

Ответ: 1 час.