Страница 228 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

914 Вниз по течению пароход идёт 2 ч, а вверх – 3 ч. Сколько времени между теми же пунктами будет плыть бревно?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ – расстояние между двумя пунктами.
• $v_п$ – собственная скорость парохода (скорость в стоячей воде).
• $v_т$ – скорость течения реки.

Скорость парохода при движении вниз по течению равна сумме его собственной скорости и скорости течения: $v_{по~теч.} = v_п + v_т$.

Скорость парохода при движении вверх против течения равна разности его собственной скорости и скорости течения: $v_{пр.~теч.} = v_п - v_т$.

Расстояние $S$ можно выразить через скорость и время для каждого направления движения:

1. По течению пароход идет 2 часа: $S = (v_п + v_т) \cdot 2$

2. Против течения пароход идет 3 часа: $S = (v_п - v_т) \cdot 3$

Из этих уравнений можно выразить скорости движения парохода:

$v_п + v_т = \frac{S}{2}$

$v_п - v_т = \frac{S}{3}$

Мы получили систему из двух линейных уравнений. Нам нужно найти время, за которое проплывет бревно. Бревно плывет со скоростью течения реки, то есть со скоростью $v_т$. Время движения бревна $t_б$ будет равно:

$t_б = \frac{S}{v_т}$

Чтобы найти $v_т$, вычтем из первого уравнения системы второе:

$(v_п + v_т) - (v_п - v_т) = \frac{S}{2} - \frac{S}{3}$

Раскроем скобки:

$v_п + v_т - v_п + v_т = \frac{3S - 2S}{6}$

$2v_т = \frac{S}{6}$

Отсюда найдем скорость течения:

$v_т = \frac{S}{12}$

Теперь можем подставить найденное значение $v_т$ в формулу для времени движения бревна:

$t_б = \frac{S}{v_т} = \frac{S}{\frac{S}{12}} = S \cdot \frac{12}{S} = 12$ часов.

Ответ: бревну потребуется 12 часов, чтобы проплыть между теми же пунктами.

915 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ Старинная задача. Разберите приём, которым решена задача на совместную работу: «Четыре плотника хотят построить дом. Первый плотник может построить дом за год, второй – за два года, третий – за три года, четвёртый – за четыре года. За сколько лет они построят дом при совместной работе?»

Решение (из книги «Арифметика» Л. Ф. Магницкого, 1703 г.)

На современном языке это решение можно изложить так. Посмотрим, сколько домов могут построить плотники за 12 лет. Первый плотник может построить 12 домов, второй – 6 домов, третий – 4 дома, четвёртый – 3 дома. Значит, за 12 лет они могут построить всего $12 + 6 + 4 + 3 = 25$ (домов).

Поэтому один дом вместе они построят за $12 : 25 = \frac{12}{25}$ (года). Понятно, почему при решении задачи был выбран именно промежуток в 12 лет: число 12 делится на каждое из чисел 2, 3 и 4, о которых говорится в задаче.

Решите таким же приёмом старинную задачу:

a) (Индия, VI в.) Слониха, слонёнок и слон пришли к озеру, чтобы напиться воды. Слон может выпить озеро за 3 ч, слониха – за 5 ч, а слонёнок – за 6 ч. За сколько времени они все вместе выпьют озеро?

б) (Россия, XVIII в.) Лошадь съедает воз сена за месяц, коза – за два месяца, овца – за три месяца. За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена?

а)

Для решения задачи используем приём, описанный в примере. Найдём общее время, которое будет кратно времени, за которое каждое животное в отдельности выпивает озеро. Для этого найдём наименьшее общее кратное (НОК) чисел 3, 5 и 6.

НОК(3, 5, 6) = 30.

Примем за расчётный период 30 часов. Теперь определим, сколько озёр выпьет каждое животное за это время:

1. Слон за 30 часов выпьет $30 \div 3 = 10$ озёр.

2. Слониха за 30 часов выпьет $30 \div 5 = 6$ озёр.

3. Слонёнок за 30 часов выпьет $30 \div 6 = 5$ озёр.

Вместе за 30 часов они выпьют $10 + 6 + 5 = 21$ озеро.

Чтобы узнать, за какое время они вместе выпьют одно озеро, нужно разделить общий промежуток времени на общее количество выпитых озёр:

$30 \div 21 = \frac{30}{21} = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7}$ часа.

Ответ: $1\frac{3}{7}$ часа.

б)

Решим эту задачу аналогично. Найдём наименьшее общее кратное (НОК) для времени, за которое каждое животное съедает воз сена: 1, 2 и 3 месяца.

НОК(1, 2, 3) = 6.

Примем за расчётный период 6 месяцев. Теперь определим, сколько возов сена съест каждое животное за это время:

1. Лошадь за 6 месяцев съест $6 \div 1 = 6$ возов сена.

2. Коза за 6 месяцев съест $6 \div 2 = 3$ воза сена.

3. Овца за 6 месяцев съест $6 \div 3 = 2$ воза сена.

Вместе за 6 месяцев они съедят $6 + 3 + 2 = 11$ возов сена.

Чтобы узнать, за какое время они вместе съедят один воз сена, нужно разделить общий промежуток времени на общее количество съеденных возов:

$6 \div 11 = \frac{6}{11}$ месяца.

Ответ: $\frac{6}{11}$ месяца.

916 Какое из чисел больше:

а) $(\frac{1}{3})^4$ или $(\frac{1}{2})^3$;

б) $(\frac{1}{10})^5$ или $(\frac{1}{100})^2$;

в) $(\frac{1}{10})^3$ или $(\frac{1}{5})^2$?

а) Чтобы сравнить числа $(\frac{1}{3})^4$ и $(\frac{1}{2})^3$, вычислим их значения.

Первое число: $(\frac{1}{3})^4 = \frac{1^4}{3^4} = \frac{1}{81}$.

Второе число: $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}$.

Теперь сравним дроби $\frac{1}{81}$ и $\frac{1}{8}$. При сравнении дробей с одинаковыми числителями (в данном случае, 1), большей является та дробь, у которой знаменатель меньше. Так как $8 < 81$, то $\frac{1}{8} > \frac{1}{81}$.

Следовательно, $(\frac{1}{2})^3 > (\frac{1}{3})^4$.

Ответ: $(\frac{1}{2})^3$.

б) Чтобы сравнить числа $(\frac{1}{10})^5$ и $(\frac{1}{100})^2$, приведем их к одному основанию.

Мы знаем, что $\frac{1}{100} = \frac{1}{10^2} = (\frac{1}{10})^2$.

Тогда второе число можно записать как: $(\frac{1}{100})^2 = ((\frac{1}{10})^2)^2 = (\frac{1}{10})^{2 \cdot 2} = (\frac{1}{10})^4$.

Теперь задача сводится к сравнению чисел $(\frac{1}{10})^5$ и $(\frac{1}{10})^4$. Так как основание степени $\frac{1}{10}$ меньше 1 ($0 < \frac{1}{10} < 1$), то из двух степеней с этим основанием больше та, у которой показатель степени меньше. Поскольку $4 < 5$, то $(\frac{1}{10})^4 > (\frac{1}{10})^5$.

Следовательно, $(\frac{1}{100})^2 > (\frac{1}{10})^5$.

Ответ: $(\frac{1}{100})^2$.

в) Чтобы сравнить числа $(\frac{1}{10})^3$ и $(\frac{1}{5})^2$, вычислим их значения.

Первое число: $(\frac{1}{10})^3 = \frac{1^3}{10^3} = \frac{1}{1000}$.

Второе число: $(\frac{1}{5})^2 = \frac{1^2}{5^2} = \frac{1}{25}$.

Теперь сравним дроби $\frac{1}{1000}$ и $\frac{1}{25}$. При сравнении дробей с одинаковыми числителями, большей является та дробь, у которой знаменатель меньше. Так как $25 < 1000$, то $\frac{1}{25} > \frac{1}{1000}$.

Следовательно, $(\frac{1}{5})^2 > (\frac{1}{10})^3$.

Ответ: $(\frac{1}{5})^2$.

917 Дана последовательность разностей: $ \frac{1}{3} - \frac{1}{6}, \frac{1}{5} - \frac{1}{10}, \frac{1}{7} - \frac{1}{14}, \ldots $

1) Продолжите эту последовательность, записав ещё три разности.

2) Вычислите значения первых трёх разностей. Догадайтесь, чему равны значения следующих трёх разностей, и проверьте себя вычислением.

1) Для того чтобы продолжить последовательность, найдем закономерность в ее членах.
Первые дроби в разностях ($\frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \frac{1}{7}, \ldots$) имеют в знаменателях последовательные нечетные числа, начиная с 3. Следующие три знаменателя в этой последовательности: 9, 11, 13.
Вторые дроби в разностях ($\frac{1}{6}, \frac{1}{10}, \frac{1}{14}, \ldots$) имеют в знаменателях числа, которые в два раза больше знаменателей первых дробей в той же разности ($6 = 3 \cdot 2$, $10 = 5 \cdot 2$, $14 = 7 \cdot 2$).
Таким образом, следующие три разности в последовательности будут: $\frac{1}{9} - \frac{1}{18}$, $\frac{1}{11} - \frac{1}{22}$ и $\frac{1}{13} - \frac{1}{26}$.

Ответ: $\frac{1}{9} - \frac{1}{18}, \frac{1}{11} - \frac{1}{22}, \frac{1}{13} - \frac{1}{26}$.

2) Сначала вычислим значения первых трёх разностей:
$\frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$
$\frac{1}{5} - \frac{1}{10} = \frac{2}{10} - \frac{1}{10} = \frac{1}{10}$
$\frac{1}{7} - \frac{1}{14} = \frac{2}{14} - \frac{1}{14} = \frac{1}{14}$
Можно заметить, что значение каждой разности равно второй дроби (вычитаемому). Предположим, что эта закономерность сохранится и для следующих трёх разностей. Тогда их значения должны быть равны $\frac{1}{18}, \frac{1}{22}$ и $\frac{1}{26}$.
Проверим эту догадку вычислением:
$\frac{1}{9} - \frac{1}{18} = \frac{2}{18} - \frac{1}{18} = \frac{1}{18}$
$\frac{1}{11} - \frac{1}{22} = \frac{2}{22} - \frac{1}{22} = \frac{1}{22}$
$\frac{1}{13} - \frac{1}{26} = \frac{2}{26} - \frac{1}{26} = \frac{1}{26}$
Наша догадка верна.

Ответ: Значения первых трёх разностей: $\frac{1}{6}, \frac{1}{10}, \frac{1}{14}$. Значения следующих трёх разностей: $\frac{1}{18}, \frac{1}{22}, \frac{1}{26}$.

918 Вычислите:

а) $ \frac{3}{5} + \frac{3}{7} + \frac{9}{7} \cdot \frac{4}{15}; $

б) $ (\frac{7}{9} - \frac{1}{6}) : \frac{2}{9} \cdot \frac{21}{22}; $

в) $ \frac{7}{8} + \frac{5}{8} \cdot \frac{1}{3} + \frac{2}{3}; $

г) $ (\frac{1}{6} + \frac{3}{14}) : (\frac{5}{21} - \frac{1}{14}). $

а) $\frac{3}{5} + \frac{3}{7} + \frac{9}{7} \cdot \frac{4}{15}$
Сначала выполняем умножение, затем сложение.
1. Умножение: $\frac{9}{7} \cdot \frac{4}{15} = \frac{9 \cdot 4}{7 \cdot 15}$. Сократим 9 и 15 на 3: $\frac{3 \cdot 4}{7 \cdot 5} = \frac{12}{35}$.
2. Теперь выражение выглядит так: $\frac{3}{5} + \frac{3}{7} + \frac{12}{35}$.
3. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5, 7 и 35 это 35. $\frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 7} + \frac{3 \cdot 5}{7 \cdot 5} + \frac{12}{35} = \frac{21}{35} + \frac{15}{35} + \frac{12}{35}$.
4. Складываем числители: $\frac{21 + 15 + 12}{35} = \frac{48}{35}$.
5. Выделим целую часть: $\frac{48}{35} = 1\frac{13}{35}$.
Ответ: $1\frac{13}{35}$.

б) $(\frac{7}{9} - \frac{1}{6}) : \frac{2}{9} \cdot \frac{21}{22}$
Выполняем действия в скобках, затем деление и умножение по порядку.
1. Вычитание в скобках. Общий знаменатель для 9 и 6 это 18. $\frac{7}{9} - \frac{1}{6} = \frac{7 \cdot 2}{18} - \frac{1 \cdot 3}{18} = \frac{14 - 3}{18} = \frac{11}{18}$.
2. Теперь выполняем деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь. $\frac{11}{18} : \frac{2}{9} = \frac{11}{18} \cdot \frac{9}{2}$. Сократим 18 и 9 на 9: $\frac{11}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{11}{4}$.
3. Теперь выполняем умножение: $\frac{11}{4} \cdot \frac{21}{22}$. Сократим 11 и 22 на 11: $\frac{1}{4} \cdot \frac{21}{2} = \frac{21}{8}$.
4. Выделим целую часть: $\frac{21}{8} = 2\frac{5}{8}$.
Ответ: $2\frac{5}{8}$.

в) $\frac{7}{8} + \frac{5}{8} \cdot \frac{1}{3} + \frac{2}{3}$
Сначала выполняем умножение, затем сложение.
1. Умножение: $\frac{5}{8} \cdot \frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 1}{8 \cdot 3} = \frac{5}{24}$.
2. Теперь выражение выглядит так: $\frac{7}{8} + \frac{5}{24} + \frac{2}{3}$.
3. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 8, 24 и 3 это 24. $\frac{7 \cdot 3}{8 \cdot 3} + \frac{5}{24} + \frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{21}{24} + \frac{5}{24} + \frac{16}{24}$.
4. Складываем числители: $\frac{21 + 5 + 16}{24} = \frac{42}{24}$.
5. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 6: $\frac{42 : 6}{24 : 6} = \frac{7}{4}$.
6. Выделим целую часть: $\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$.
Ответ: $1\frac{3}{4}$.

г) $(\frac{1}{6} + \frac{3}{14}) : (\frac{5}{21} - \frac{1}{14})$
Сначала выполняем действия в каждой из скобок, затем деление.
1. Сложение в первой скобке. Общий знаменатель для 6 и 14 это 42. $\frac{1}{6} + \frac{3}{14} = \frac{1 \cdot 7}{42} + \frac{3 \cdot 3}{42} = \frac{7 + 9}{42} = \frac{16}{42}$. Сократим на 2: $\frac{8}{21}$.
2. Вычитание во второй скобке. Общий знаменатель для 21 и 14 это 42. $\frac{5}{21} - \frac{1}{14} = \frac{5 \cdot 2}{42} - \frac{1 \cdot 3}{42} = \frac{10 - 3}{42} = \frac{7}{42}$. Сократим на 7: $\frac{1}{6}$.
3. Теперь выполняем деление: $\frac{8}{21} : \frac{1}{6} = \frac{8}{21} \cdot \frac{6}{1} = \frac{8 \cdot 6}{21}$. Сократим 6 и 21 на 3: $\frac{8 \cdot 2}{7} = \frac{16}{7}$.
4. Выделим целую часть: $\frac{16}{7} = 2\frac{2}{7}$.
Ответ: $2\frac{2}{7}$.

919 Выполните в тетради следующие построения: отметьте в узле сетки точку $A$; отступите на 7 клеток вправо и отметьте точку $B$; от точки $B$ отступите на 2 клетки вправо и на 5 клеток вверх, отметьте точку $C$; от точки $C$ отступите на 5 клеток влево и на 4 клетки вверх, отметьте точку $D$. Постройте треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$. Выполните необходимые измерения и определите, у какого из этих треугольников периметр больше.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат, где одна клетка соответствует единице длины. Поместим точку $A$ в начало координат.

1. Построение и определение координат точек

• Точка $A$ находится в начале координат, ее координаты $A(0; 0)$.
• Чтобы найти точку $B$, отступаем от точки $A$ на 7 клеток вправо. Ее координаты $B(7; 0)$.
• Чтобы найти точку $C$, отступаем от точки $B$ на 2 клетки вправо и 5 клеток вверх. Ее координаты $C(7+2; 0+5)$, то есть $C(9; 5)$.
• Чтобы найти точку $D$, отступаем от точки $C$ на 5 клеток влево и 4 клетки вверх. Ее координаты $D(9-5; 5+4)$, то есть $D(4; 9)$.

Теперь, имея координаты вершин, мы можем найти длины сторон каждого треугольника и вычислить их периметры.

2. Расчет периметра треугольника ABC

Периметр треугольника $ABC$ ($P_{ABC}$) равен сумме длин его сторон: $P_{ABC} = |AB| + |BC| + |AC|$.

• Длина стороны $AB$ — это расстояние между точками $A(0; 0)$ и $B(7; 0)$, которое равно 7. $|AB| = 7$.
• Длину стороны $BC$ найдем по теореме Пифагора. Она является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными разности координат по осям X и Y: $\Delta x = 9-7=2$ и $\Delta y = 5-0=5$.
  $|BC| = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$.
• Длину стороны $AC$ найдем аналогично. Катеты равны $\Delta x = 9-0=9$ и $\Delta y = 5-0=5$.
  $|AC| = \sqrt{9^2 + 5^2} = \sqrt{81 + 25} = \sqrt{106}$.

Таким образом, периметр треугольника $ABC$ равен:
$P_{ABC} = 7 + \sqrt{29} + \sqrt{106}$.
Приблизительно: $P_{ABC} \approx 7 + 5.39 + 10.30 \approx 22.69$ единиц.

Ответ: $P_{ABC} = 7 + \sqrt{29} + \sqrt{106}$.

3. Расчет периметра треугольника ABD

Периметр треугольника $ABD$ ($P_{ABD}$) равен сумме длин его сторон: $P_{ABD} = |AB| + |BD| + |AD|$.

• Сторона $AB$ является общей для обоих треугольников, ее длина $|AB| = 7$.
• Длину стороны $BD$ найдем по теореме Пифагора. Катеты равны $\Delta x = 7-4=3$ и $\Delta y = 9-0=9$.
  $|BD| = \sqrt{3^2 + 9^2} = \sqrt{9 + 81} = \sqrt{90}$.
• Длину стороны $AD$ найдем аналогично. Катеты равны $\Delta x = 4-0=4$ и $\Delta y = 9-0=9$.
  $|AD| = \sqrt{4^2 + 9^2} = \sqrt{16 + 81} = \sqrt{97}$.

Таким образом, периметр треугольника $ABD$ равен:
$P_{ABD} = 7 + \sqrt{90} + \sqrt{97}$.
Приблизительно: $P_{ABD} \approx 7 + 9.49 + 9.85 \approx 26.34$ единиц.

Ответ: $P_{ABD} = 7 + \sqrt{90} + \sqrt{97}$.

4. Сравнение периметров

Чтобы определить, у какого треугольника периметр больше, сравним их значения:
$P_{ABC} = 7 + \sqrt{29} + \sqrt{106}$
$P_{ABD} = 7 + \sqrt{90} + \sqrt{97}$

Поскольку сторона $AB$ у треугольников общая, нам достаточно сравнить сумму двух других сторон: $\sqrt{29} + \sqrt{106}$ и $\sqrt{90} + \sqrt{97}$.

Сравним числа под корнями: $29 < 90$ и $106 > 97$. Простое сравнение невозможно, но можно заметить, что оба числа во второй сумме значительно больше. Воспользуемся приближенными вычислениями, которые мы уже сделали:
$|BC|+|AC| \approx 5.39 + 10.30 = 15.69$
$|BD|+|AD| \approx 9.49 + 9.85 = 19.34$

Поскольку $19.34 > 15.69$, можно сделать вывод, что $P_{ABD} > P_{ABC}$.

Периметр треугольника $ABD$ больше, чем периметр треугольника $ABC$.

Ответ: Периметр треугольника $ABD$ больше.