Номер 919, страница 228 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

9.7. Задачи на совместную работу. Глава 9. Действия с дробями - номер 919, страница 228.

919 Выполните в тетради следующие построения: отметьте в узле сетки точку $A$; отступите на 7 клеток вправо и отметьте точку $B$; от точки $B$ отступите на 2 клетки вправо и на 5 клеток вверх, отметьте точку $C$; от точки $C$ отступите на 5 клеток влево и на 4 клетки вверх, отметьте точку $D$. Постройте треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$. Выполните необходимые измерения и определите, у какого из этих треугольников периметр больше.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат, где одна клетка соответствует единице длины. Поместим точку $A$ в начало координат.

1. Построение и определение координат точек

• Точка $A$ находится в начале координат, ее координаты $A(0; 0)$.
• Чтобы найти точку $B$, отступаем от точки $A$ на 7 клеток вправо. Ее координаты $B(7; 0)$.
• Чтобы найти точку $C$, отступаем от точки $B$ на 2 клетки вправо и 5 клеток вверх. Ее координаты $C(7+2; 0+5)$, то есть $C(9; 5)$.
• Чтобы найти точку $D$, отступаем от точки $C$ на 5 клеток влево и 4 клетки вверх. Ее координаты $D(9-5; 5+4)$, то есть $D(4; 9)$.

Теперь, имея координаты вершин, мы можем найти длины сторон каждого треугольника и вычислить их периметры.

2. Расчет периметра треугольника ABC

Периметр треугольника $ABC$ ($P_{ABC}$) равен сумме длин его сторон: $P_{ABC} = |AB| + |BC| + |AC|$.

• Длина стороны $AB$ — это расстояние между точками $A(0; 0)$ и $B(7; 0)$, которое равно 7. $|AB| = 7$.
• Длину стороны $BC$ найдем по теореме Пифагора. Она является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными разности координат по осям X и Y: $\Delta x = 9-7=2$ и $\Delta y = 5-0=5$.
  $|BC| = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$.
• Длину стороны $AC$ найдем аналогично. Катеты равны $\Delta x = 9-0=9$ и $\Delta y = 5-0=5$.
  $|AC| = \sqrt{9^2 + 5^2} = \sqrt{81 + 25} = \sqrt{106}$.

Таким образом, периметр треугольника $ABC$ равен:
$P_{ABC} = 7 + \sqrt{29} + \sqrt{106}$.
Приблизительно: $P_{ABC} \approx 7 + 5.39 + 10.30 \approx 22.69$ единиц.

Ответ: $P_{ABC} = 7 + \sqrt{29} + \sqrt{106}$.

3. Расчет периметра треугольника ABD

Периметр треугольника $ABD$ ($P_{ABD}$) равен сумме длин его сторон: $P_{ABD} = |AB| + |BD| + |AD|$.

• Сторона $AB$ является общей для обоих треугольников, ее длина $|AB| = 7$.
• Длину стороны $BD$ найдем по теореме Пифагора. Катеты равны $\Delta x = 7-4=3$ и $\Delta y = 9-0=9$.
  $|BD| = \sqrt{3^2 + 9^2} = \sqrt{9 + 81} = \sqrt{90}$.
• Длину стороны $AD$ найдем аналогично. Катеты равны $\Delta x = 4-0=4$ и $\Delta y = 9-0=9$.
  $|AD| = \sqrt{4^2 + 9^2} = \sqrt{16 + 81} = \sqrt{97}$.

Таким образом, периметр треугольника $ABD$ равен:
$P_{ABD} = 7 + \sqrt{90} + \sqrt{97}$.
Приблизительно: $P_{ABD} \approx 7 + 9.49 + 9.85 \approx 26.34$ единиц.

Ответ: $P_{ABD} = 7 + \sqrt{90} + \sqrt{97}$.

4. Сравнение периметров

Чтобы определить, у какого треугольника периметр больше, сравним их значения:
$P_{ABC} = 7 + \sqrt{29} + \sqrt{106}$
$P_{ABD} = 7 + \sqrt{90} + \sqrt{97}$

Поскольку сторона $AB$ у треугольников общая, нам достаточно сравнить сумму двух других сторон: $\sqrt{29} + \sqrt{106}$ и $\sqrt{90} + \sqrt{97}$.

Сравним числа под корнями: $29 < 90$ и $106 > 97$. Простое сравнение невозможно, но можно заметить, что оба числа во второй сумме значительно больше. Воспользуемся приближенными вычислениями, которые мы уже сделали:
$|BC|+|AC| \approx 5.39 + 10.30 = 15.69$
$|BD|+|AD| \approx 9.49 + 9.85 = 19.34$

Поскольку $19.34 > 15.69$, можно сделать вывод, что $P_{ABD} > P_{ABC}$.

Периметр треугольника $ABD$ больше, чем периметр треугольника $ABC$.

Ответ: Периметр треугольника $ABD$ больше.