Номер 915, страница 228 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

9.7. Задачи на совместную работу. Глава 9. Действия с дробями - номер 915, страница 228.

915 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ Старинная задача. Разберите приём, которым решена задача на совместную работу: «Четыре плотника хотят построить дом. Первый плотник может построить дом за год, второй – за два года, третий – за три года, четвёртый – за четыре года. За сколько лет они построят дом при совместной работе?»

Решение (из книги «Арифметика» Л. Ф. Магницкого, 1703 г.)

На современном языке это решение можно изложить так. Посмотрим, сколько домов могут построить плотники за 12 лет. Первый плотник может построить 12 домов, второй – 6 домов, третий – 4 дома, четвёртый – 3 дома. Значит, за 12 лет они могут построить всего $12 + 6 + 4 + 3 = 25$ (домов).

Поэтому один дом вместе они построят за $12 : 25 = \frac{12}{25}$ (года). Понятно, почему при решении задачи был выбран именно промежуток в 12 лет: число 12 делится на каждое из чисел 2, 3 и 4, о которых говорится в задаче.

Решите таким же приёмом старинную задачу:

a) (Индия, VI в.) Слониха, слонёнок и слон пришли к озеру, чтобы напиться воды. Слон может выпить озеро за 3 ч, слониха – за 5 ч, а слонёнок – за 6 ч. За сколько времени они все вместе выпьют озеро?

б) (Россия, XVIII в.) Лошадь съедает воз сена за месяц, коза – за два месяца, овца – за три месяца. За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена?

а)

Для решения задачи используем приём, описанный в примере. Найдём общее время, которое будет кратно времени, за которое каждое животное в отдельности выпивает озеро. Для этого найдём наименьшее общее кратное (НОК) чисел 3, 5 и 6.

НОК(3, 5, 6) = 30.

Примем за расчётный период 30 часов. Теперь определим, сколько озёр выпьет каждое животное за это время:

1. Слон за 30 часов выпьет $30 \div 3 = 10$ озёр.

2. Слониха за 30 часов выпьет $30 \div 5 = 6$ озёр.

3. Слонёнок за 30 часов выпьет $30 \div 6 = 5$ озёр.

Вместе за 30 часов они выпьют $10 + 6 + 5 = 21$ озеро.

Чтобы узнать, за какое время они вместе выпьют одно озеро, нужно разделить общий промежуток времени на общее количество выпитых озёр:

$30 \div 21 = \frac{30}{21} = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7}$ часа.

Ответ: $1\frac{3}{7}$ часа.

б)

Решим эту задачу аналогично. Найдём наименьшее общее кратное (НОК) для времени, за которое каждое животное съедает воз сена: 1, 2 и 3 месяца.

НОК(1, 2, 3) = 6.

Примем за расчётный период 6 месяцев. Теперь определим, сколько возов сена съест каждое животное за это время:

1. Лошадь за 6 месяцев съест $6 \div 1 = 6$ возов сена.

2. Коза за 6 месяцев съест $6 \div 2 = 3$ воза сена.

3. Овца за 6 месяцев съест $6 \div 3 = 2$ воза сена.

Вместе за 6 месяцев они съедят $6 + 3 + 2 = 11$ возов сена.

Чтобы узнать, за какое время они вместе съедят один воз сена, нужно разделить общий промежуток времени на общее количество съеденных возов:

$6 \div 11 = \frac{6}{11}$ месяца.

Ответ: $\frac{6}{11}$ месяца.