Номер 911, страница 227 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

9.7. Задачи на совместную работу. Глава 9. Действия с дробями - номер 911, страница 227.

911 Лодка прошла некоторое расстояние по озеру за 4 ч. Такое же расстояние плот проплывает по реке за 12 ч. Сколько времени затратит лодка на такой же путь:

а) по течению реки;

б) против течения реки?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

$S$ – расстояние, которое прошла лодка (и плот).

$v_л$ – собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде).

$v_т$ – скорость течения реки.

$t_л$ – время движения лодки по озеру, равное 4 ч.

$t_п$ – время движения плота по реке, равное 12 ч.

1. Найдем собственную скорость лодки. Поскольку в озере нет течения, лодка движется со своей собственной скоростью. Используем формулу пути $S = v \cdot t$:

$S = v_л \cdot t_л$

$S = v_л \cdot 4$

Отсюда выразим скорость лодки: $v_л = \frac{S}{4}$. Это означает, что за 1 час лодка проходит $\frac{1}{4}$ всего расстояния.

2. Найдем скорость течения реки. Плот не имеет собственной скорости, он движется со скоростью течения реки:

$S = v_т \cdot t_п$

$S = v_т \cdot 12$

Отсюда выразим скорость течения: $v_т = \frac{S}{12}$. Это означает, что за 1 час течение проносит плот на $\frac{1}{12}$ всего расстояния.

Теперь можем рассчитать время движения лодки по реке.

а) по течению реки

При движении по течению скорость лодки равна сумме ее собственной скорости и скорости течения:

$v_{по\;теч.} = v_л + v_т = \frac{S}{4} + \frac{S}{12}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$v_{по\;теч.} = \frac{3S}{12} + \frac{S}{12} = \frac{4S}{12} = \frac{S}{3}$

Найдем время, которое лодка затратит на путь по течению:

$t_{по\;теч.} = \frac{S}{v_{по\;теч.}} = \frac{S}{\frac{S}{3}} = S \cdot \frac{3}{S} = 3$ часа.

Ответ: 3 часа.

б) против течения реки

При движении против течения скорость лодки равна разности ее собственной скорости и скорости течения:

$v_{против\;теч.} = v_л - v_т = \frac{S}{4} - \frac{S}{12}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$v_{против\;теч.} = \frac{3S}{12} - \frac{S}{12} = \frac{2S}{12} = \frac{S}{6}$

Найдем время, которое лодка затратит на путь против течения:

$t_{против\;теч.} = \frac{S}{v_{против\;теч.}} = \frac{S}{\frac{S}{6}} = S \cdot \frac{6}{S} = 6$ часов.

Ответ: 6 часов.