Номер 917, страница 228 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

9.7. Задачи на совместную работу. Глава 9. Действия с дробями - номер 917, страница 228.

917 Дана последовательность разностей: $ \frac{1}{3} - \frac{1}{6}, \frac{1}{5} - \frac{1}{10}, \frac{1}{7} - \frac{1}{14}, \ldots $

1) Продолжите эту последовательность, записав ещё три разности.

2) Вычислите значения первых трёх разностей. Догадайтесь, чему равны значения следующих трёх разностей, и проверьте себя вычислением.

1) Для того чтобы продолжить последовательность, найдем закономерность в ее членах.
Первые дроби в разностях ($\frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \frac{1}{7}, \ldots$) имеют в знаменателях последовательные нечетные числа, начиная с 3. Следующие три знаменателя в этой последовательности: 9, 11, 13.
Вторые дроби в разностях ($\frac{1}{6}, \frac{1}{10}, \frac{1}{14}, \ldots$) имеют в знаменателях числа, которые в два раза больше знаменателей первых дробей в той же разности ($6 = 3 \cdot 2$, $10 = 5 \cdot 2$, $14 = 7 \cdot 2$).
Таким образом, следующие три разности в последовательности будут: $\frac{1}{9} - \frac{1}{18}$, $\frac{1}{11} - \frac{1}{22}$ и $\frac{1}{13} - \frac{1}{26}$.

Ответ: $\frac{1}{9} - \frac{1}{18}, \frac{1}{11} - \frac{1}{22}, \frac{1}{13} - \frac{1}{26}$.

2) Сначала вычислим значения первых трёх разностей:
$\frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$
$\frac{1}{5} - \frac{1}{10} = \frac{2}{10} - \frac{1}{10} = \frac{1}{10}$
$\frac{1}{7} - \frac{1}{14} = \frac{2}{14} - \frac{1}{14} = \frac{1}{14}$
Можно заметить, что значение каждой разности равно второй дроби (вычитаемому). Предположим, что эта закономерность сохранится и для следующих трёх разностей. Тогда их значения должны быть равны $\frac{1}{18}, \frac{1}{22}$ и $\frac{1}{26}$.
Проверим эту догадку вычислением:
$\frac{1}{9} - \frac{1}{18} = \frac{2}{18} - \frac{1}{18} = \frac{1}{18}$
$\frac{1}{11} - \frac{1}{22} = \frac{2}{22} - \frac{1}{22} = \frac{1}{22}$
$\frac{1}{13} - \frac{1}{26} = \frac{2}{26} - \frac{1}{26} = \frac{1}{26}$
Наша догадка верна.

Ответ: Значения первых трёх разностей: $\frac{1}{6}, \frac{1}{10}, \frac{1}{14}$. Значения следующих трёх разностей: $\frac{1}{18}, \frac{1}{22}, \frac{1}{26}$.