Страница 221 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

883 а) В классе 32 ученика, $ \frac{3}{4} $ из них приняло участие в лыжной гонке.

Сколько учеников участвовало в лыжной гонке?

б) От тесьмы, длина которой 10 м, отрезали $ \frac{2}{5} $ её длины, чтобы завязать коробку с подарками. Сколько метров тесьмы отрезали?

а) Чтобы найти количество учеников, принявших участие в лыжной гонке, необходимо общее число учеников в классе умножить на долю участников. В классе 32 ученика, а доля участников составляет $ \frac{3}{4} $.

Для нахождения части от числа нужно умножить это число на данную дробь:

$ 32 \cdot \frac{3}{4} = \frac{32 \cdot 3}{4} = 8 \cdot 3 = 24 $ (ученика).

Таким образом, в лыжной гонке участвовало 24 ученика.

Ответ: 24 ученика.

б) Чтобы определить, сколько метров тесьмы отрезали, нужно её общую длину умножить на ту часть, которую отрезали. Общая длина тесьмы составляет 10 м, а отрезали $ \frac{2}{5} $ её длины.

Выполним вычисление:

$ 10 \cdot \frac{2}{5} = \frac{10 \cdot 2}{5} = \frac{20}{5} = 4 $ (м).

Следовательно, отрезали 4 метра тесьмы.

Ответ: 4 метра.

884 а) В коробке 300 разноцветных шариков. Синие шарики составляют $\frac{4}{15}$ всех шариков, красные — $\frac{3}{20}$, жёлтые — $\frac{2}{25}$. Сколько в коробке шариков каждого из этих цветов?

б) На странице 2000 букв, причём $\frac{1}{20}$ всех букв составляет буква «а», $\frac{3}{50}$ — буква «и», $\frac{3}{100}$ — буква «м», $\frac{3}{1000}$ — буква «ь». Сколько раз встречается на странице каждая из этих букв?

а)

Чтобы найти количество шариков каждого цвета, необходимо общее количество шариков (300) умножить на долю, которую составляет каждый цвет.

1. Количество синих шариков:
$300 \cdot \frac{4}{15} = \frac{300 \cdot 4}{15} = 20 \cdot 4 = 80$ синих шариков.

2. Количество красных шариков:
$300 \cdot \frac{3}{20} = \frac{300 \cdot 3}{20} = 15 \cdot 3 = 45$ красных шариков.

3. Количество жёлтых шариков:
$300 \cdot \frac{2}{25} = \frac{300 \cdot 2}{25} = 12 \cdot 2 = 24$ жёлтых шарика.

Ответ: в коробке 80 синих, 45 красных и 24 жёлтых шарика.

б)

Чтобы найти, сколько раз встречается каждая буква на странице, нужно общее количество букв (2000) умножить на соответствующую долю.

1. Количество букв «а»:
$2000 \cdot \frac{1}{20} = \frac{2000}{20} = 100$ раз.

2. Количество букв «и»:
$2000 \cdot \frac{3}{50} = \frac{2000 \cdot 3}{50} = 40 \cdot 3 = 120$ раз.

3. Количество букв «м»:
$2000 \cdot \frac{3}{100} = \frac{2000 \cdot 3}{100} = 20 \cdot 3 = 60$ раз.

4. Количество букв «ь»:
$2000 \cdot \frac{3}{1000} = \frac{2000 \cdot 3}{1000} = 2 \cdot 3 = 6$ раз.

Ответ: буква «а» встречается 100 раз, буква «и» – 120 раз, буква «м» – 60 раз, а буква «ь» – 6 раз.

885 a) Велосипедисты за три дня проехали 144 км. В первый день они проехали $\frac{1}{3}$ всего пути, а во второй $-$ $\frac{5}{12}$ всего пути. Сколько километров они проехали в третий день?

б) Автотуристы за три дня проехали 360 км. В первый день они проехали $\frac{2}{5}$, а во второй день $-$ $\frac{3}{8}$ всего пути. Сколько километров проехали автотуристы в третий день?

а)

1. Сначала найдем, какую часть всего пути проехали велосипедисты за первые два дня. Для этого сложим доли, которые они проехали в первый и второй дни. Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$\frac{1}{3} + \frac{5}{12} = \frac{1 \times 4}{3 \times 4} + \frac{5}{12} = \frac{4}{12} + \frac{5}{12} = \frac{9}{12}$

Таким образом, за два дня велосипедисты проехали $\frac{9}{12}$ всего пути.

2. Весь путь примем за единицу (1). Чтобы найти, какую часть пути они проехали в третий день, вычтем из единицы часть пути, пройденную за первые два дня:

$1 - \frac{9}{12} = \frac{12}{12} - \frac{9}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

В третий день велосипедисты проехали $\frac{1}{4}$ всего пути.

3. Теперь найдем, сколько километров составляет эта часть. Для этого умножим общее расстояние на долю третьего дня:

$144 \text{ км} \times \frac{1}{4} = \frac{144}{4} = 36 \text{ км.}$

Ответ: 36 км.

б)

1. Сначала определим, какую часть всего пути проехали автотуристы за первые два дня. Для этого сложим дроби. Общий знаменатель для 5 и 8 равен 40:

$\frac{2}{5} + \frac{3}{8} = \frac{2 \times 8}{5 \times 8} + \frac{3 \times 5}{8 \times 5} = \frac{16}{40} + \frac{15}{40} = \frac{31}{40}$

За два дня автотуристы проехали $\frac{31}{40}$ всего пути.

2. Весь путь принимаем за единицу (1). Найдем, какая часть пути осталась на третий день:

$1 - \frac{31}{40} = \frac{40}{40} - \frac{31}{40} = \frac{9}{40}$

В третий день автотуристам осталось проехать $\frac{9}{40}$ всего пути.

3. Теперь вычислим, сколько это километров от общего расстояния в 360 км:

$360 \text{ км} \times \frac{9}{40} = \frac{360}{40} \times 9 = 9 \times 9 = 81 \text{ км.}$

Ответ: 81 км.

886 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ Разберите два способа решения задачи: «Ребята заработали 3500 р. На подарки к Новому году для ребят подшефного детского сада они потратили $\frac{5}{7}$ всех денег. Сколько денег осталось?»

Способ 1.

1) $3500 \cdot \frac{5}{7} = 2500$ (р.) — столько денег потратили.

2) $3500 - 2500 = 1000$ (р.) — столько денег осталось.

Способ 2.

1) $1 - \frac{5}{7} = \frac{2}{7}$ — такая часть денег осталась.

2) $3500 \cdot \frac{2}{7} = 1000$ (р.) — столько денег осталось.

Решите задачу:

а) В тетради 24 страницы. В ней уже исписано $\frac{5}{8}$ всех страниц. Сколько в тетради чистых страниц?

б) На дереве сидело 15 птиц. Подул ветер, и $\frac{3}{5}$ из них улетело. Сколько птиц осталось на дереве?

а)

Способ 1:

1. Сначала найдем, сколько страниц в тетради уже исписано. Для этого общее количество страниц (24) умножим на долю исписанных страниц ($\frac{5}{8}$):
$24 \cdot \frac{5}{8} = \frac{24 \cdot 5}{8} = 3 \cdot 5 = 15$ (страниц) – исписано.

2. Теперь вычтем из общего количества страниц количество исписанных, чтобы найти, сколько чистых страниц осталось:
$24 - 15 = 9$ (страниц).

Способ 2:

1. Сначала найдем, какая часть страниц в тетради осталась чистой. Всю тетрадь примем за 1. Тогда часть чистых страниц равна:
$1 - \frac{5}{8} = \frac{8}{8} - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$ (от всех страниц).

2. Теперь найдем количество чистых страниц, умножив общее количество страниц на эту долю:
$24 \cdot \frac{3}{8} = \frac{24 \cdot 3}{8} = 3 \cdot 3 = 9$ (страниц).

Ответ: 9 страниц.

б)

Способ 1:

1. Сначала найдем, сколько птиц улетело. Для этого общее количество птиц (15) умножим на долю улетевших ($\frac{3}{5}$):
$15 \cdot \frac{3}{5} = \frac{15 \cdot 3}{5} = 3 \cdot 3 = 9$ (птиц) – улетело.

2. Теперь вычтем из общего количества птиц количество улетевших, чтобы найти, сколько птиц осталось на дереве:
$15 - 9 = 6$ (птиц).

Способ 2:

1. Сначала найдем, какая часть птиц осталась на дереве. Всех птиц примем за 1. Тогда оставшаяся часть равна:
$1 - \frac{3}{5} = \frac{5}{5} - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ (от всех птиц).

2. Теперь найдем количество оставшихся птиц, умножив их общее количество на эту долю:
$15 \cdot \frac{2}{5} = \frac{15 \cdot 2}{5} = 3 \cdot 2 = 6$ (птиц).

Ответ: 6 птиц.