Страница 216 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

865 Скорость электрички 50 км/ч. На своём маршруте она должна пройти три перегона длиной 12 км, 15 км и 18 км, сделав при этом две остановки по $ \frac{1}{20} $ ч. Сколько потребуется времени на весь маршрут?

Для того чтобы найти общее время на маршрут, нужно сложить время, затраченное на движение, и общее время остановок.

1. Вычислим общее расстояние маршрута.

Маршрут состоит из трех перегонов. Чтобы найти общую длину, сложим длины всех перегонов:

$S_{общ} = 12 \text{ км} + 15 \text{ км} + 18 \text{ км} = 45 \text{ км}$

2. Вычислим время, затраченное на движение.

Время движения ($t$) можно найти по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Скорость электрички $v = 50 \text{ км/ч}$.

Общее расстояние $S_{общ} = 45 \text{ км}$.

Подставим значения в формулу:

$t_{движения} = \frac{45}{50} = \frac{9}{10}$ ч

3. Вычислим общее время остановок.

Электричка делает две остановки, каждая по $\frac{1}{20}$ часа. Найдем общее время остановок:

$t_{остановок} = 2 \times \frac{1}{20} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$ ч

4. Вычислим общее время на весь маршрут.

Сложим время движения и время остановок:

$t_{общ} = t_{движения} + t_{остановок} = \frac{9}{10} \text{ ч} + \frac{1}{10} \text{ ч} = \frac{9 + 1}{10} \text{ ч} = \frac{10}{10} \text{ ч} = 1$ ч

Ответ: на весь маршрут потребуется 1 час.

866 Расстояние от А до В равно 110 км. На весь путь из пункта А в пункт В автомобиль затратил $1\frac{2}{3}$ ч, а на обратный путь — на 10 мин больше.

Определите скорость автомобиля в каждом направлении.

Для решения этой задачи нам нужно определить скорость автомобиля в каждом направлении (из A в B и обратно из B в A), используя основную формулу скорости: $v = \frac{S}{t}$, где $v$ — скорость, $S$ — расстояние, $t$ — время.

Определение скорости автомобиля из пункта A в пункт B

Известно, что расстояние от A до B равно $S = 110$ км, а время, затраченное на этот путь, составляет $t_{А→В} = 1\frac{2}{3}$ ч.

1. Для удобства расчетов переведем смешанное число в неправильную дробь:

$t_{А→В} = 1\frac{2}{3} \text{ ч} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} \text{ ч} = \frac{5}{3}$ ч.

2. Теперь можем вычислить скорость автомобиля на пути из A в B ($v_{А→В}$):

$v_{А→В} = \frac{S}{t_{А→В}} = \frac{110}{\frac{5}{3}} = 110 \cdot \frac{3}{5} = \frac{110 \cdot 3}{5} = 22 \cdot 3 = 66$ км/ч.

Ответ: скорость автомобиля на пути из пункта A в пункт B равна 66 км/ч.

Определение скорости автомобиля на обратном пути (из B в A)

Расстояние остается тем же: $S = 110$ км. Время на обратный путь ($t_{В→А}$) было на 10 минут больше, чем на путь из A в B.

1. Сначала переведем 10 минут в часы, так как время основного пути дано в часах. В одном часе 60 минут, поэтому:

$10 \text{ мин} = \frac{10}{60} \text{ ч} = \frac{1}{6}$ ч.

2. Теперь найдем общее время на обратный путь, прибавив $\frac{1}{6}$ ч ко времени $t_{А→В}$:

$t_{В→А} = t_{А→В} + \frac{1}{6} = \frac{5}{3} + \frac{1}{6}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю (в данном случае 6):

$t_{В→А} = \frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{6} = \frac{10}{6} + \frac{1}{6} = \frac{11}{6}$ ч.

3. Теперь вычислим скорость автомобиля на обратном пути ($v_{В→А}$):

$v_{В→А} = \frac{S}{t_{В→А}} = \frac{110}{\frac{11}{6}} = 110 \cdot \frac{6}{11} = \frac{110 \cdot 6}{11} = 10 \cdot 6 = 60$ км/ч.

Ответ: скорость автомобиля на обратном пути равна 60 км/ч.

867 Расстояние между пунктами А и В равно $20 \text{ км}$. Из пункта А вышел турист со скоростью $4 \text{ км/ч}$. Из пункта В одновременно навстречу ему выехал велосипедист со скоростью $12 \text{ км/ч}$. Через какое время они встретятся?

Для решения этой задачи необходимо найти скорость сближения туриста и велосипедиста. Так как они движутся навстречу друг другу, их общая скорость сближения будет равна сумме их индивидуальных скоростей.

1. Найдем скорость сближения.

Скорость туриста $v_1 = 4$ км/ч.
Скорость велосипедиста $v_2 = 12$ км/ч.
Скорость сближения $v_{сбл}$ вычисляется по формуле:
$v_{сбл} = v_1 + v_2$
$v_{сбл} = 4 \text{ км/ч} + 12 \text{ км/ч} = 16 \text{ км/ч}$.
Это значит, что за каждый час расстояние между туристом и велосипедистом сокращается на 16 км.

2. Найдем время до встречи.

Чтобы найти время $t$, через которое они встретятся, нужно общее расстояние $S$ разделить на скорость сближения $v_{сбл}$.
Общее расстояние $S = 20$ км.
Формула для нахождения времени:
$t = \frac{S}{v_{сбл}}$
Подставим известные значения:
$t = \frac{20 \text{ км}}{16 \text{ км/ч}} = \frac{20}{16} \text{ ч}$.

3. Упростим результат.

Сократим дробь $\frac{20}{16}$:
$\frac{20}{16} = \frac{5 \cdot 4}{4 \cdot 4} = \frac{5}{4}$ ч.
Переведем дробь в десятичный вид:
$\frac{5}{4} = 1,25$ ч.

Также можно выразить это время в часах и минутах. $1,25$ часа — это $1$ целый час и $0,25$ часа.
$0,25 \text{ ч} \times 60 \text{ мин/ч} = 15 \text{ минут}$.
Таким образом, они встретятся через 1 час 15 минут.

Ответ: через 1,25 часа (или 1 час 15 минут).

868 а) Собственная скорость теплохода 30 км/ч, скорость течения реки $4\frac{1}{2}$ км/ч. За какое время теплоход преодолеет 23 км по течению реки?

За какое время теплоход преодолеет 17 км против течения реки?

б) Расстояние между причалами 27 км. Сколько времени затратит моторная лодка на путь от одного причала до другого и обратно, если собственная скорость лодки равна 12 км/ч, а скорость течения реки равна 3 км/ч?

а)

Решим первую часть задачи: найдем время, за которое теплоход преодолеет 23 км по течению реки.
1. Сначала вычислим скорость теплохода по течению. Она равна сумме собственной скорости теплохода и скорости течения реки:
$v_{по~течению} = v_{собственная} + v_{течения} = 30 + 4\frac{1}{2} = 30 + 4,5 = 34,5$ км/ч.
2. Теперь найдем время, разделив расстояние на полученную скорость ($t = S/v$):
$t = \frac{23}{34,5} = \frac{230}{345} = \frac{46}{69} = \frac{2}{3}$ часа.
3. Для удобства переведем часы в минуты:
$\frac{2}{3} \cdot 60 = 40$ минут.
Ответ: 40 минут.

Теперь решим вторую часть задачи: найдем время, за которое теплоход преодолеет 17 км против течения реки.
1. Вычислим скорость теплохода против течения. Она равна разности собственной скорости теплохода и скорости течения реки:
$v_{против~течения} = v_{собственная} - v_{течения} = 30 - 4\frac{1}{2} = 30 - 4,5 = 25,5$ км/ч.
2. Найдем время, разделив расстояние на скорость:
$t = \frac{17}{25,5} = \frac{170}{255} = \frac{34}{51} = \frac{2}{3}$ часа.
3. Переведем часы в минуты:
$\frac{2}{3} \cdot 60 = 40$ минут.
Ответ: 40 минут.

б)

Чтобы найти общее время, которое моторная лодка затратит на путь туда и обратно, нужно сложить время движения по течению и время движения против течения.
1. Рассчитаем время движения по течению.
Скорость лодки по течению: $v_{по~течению} = 12 + 3 = 15$ км/ч.
Время в пути по течению: $t_1 = \frac{27}{15} = \frac{9}{5} = 1,8$ часа.
2. Рассчитаем время движения против течения (обратный путь).
Скорость лодки против течения: $v_{против~течения} = 12 - 3 = 9$ км/ч.
Время в пути против течения: $t_2 = \frac{27}{9} = 3$ часа.
3. Найдем общее время в пути, сложив время движения туда и обратно:
$t_{общее} = t_1 + t_2 = 1,8 + 3 = 4,8$ часа.
4. Переведем десятичную часть часа ($0,8$ ч) в минуты:
$0,8 \cdot 60 = 48$ минут.
Таким образом, общее время в пути составляет 4 часа 48 минут.
Ответ: 4 часа 48 минут.

Вычислите (869–871).

869 a) $( \frac{3}{4} + \frac{1}{6} ) \cdot 3 + ( \frac{5}{6} - \frac{1}{2} ) : \frac{2}{9}$

б) $( 1\frac{1}{5} + 2\frac{3}{10} ) : \frac{1}{2} + ( 6\frac{3}{4} - 2\frac{2}{3} ) : 1\frac{1}{6}$

а) $(\frac{3}{4} + \frac{1}{6}) \cdot 3 + (\frac{5}{6} - \frac{1}{2}) : \frac{2}{9}$

Решим пример по действиям, соблюдая порядок их выполнения.

1. Сначала выполним сложение в первых скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 6 это 12.
$\frac{3}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{9}{12} + \frac{2}{12} = \frac{11}{12}$

2. Теперь выполним вычитание во вторых скобках. Общий знаменатель для 6 и 2 это 6.
$\frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{5}{6} - \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{5}{6} - \frac{3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

3. Следующее действие - умножение результата первых скобок на 3.
$\frac{11}{12} \cdot 3 = \frac{11 \cdot 3}{12} = \frac{33}{12} = \frac{11}{4}$

4. Затем выполним деление результата вторых скобок на $\frac{2}{9}$. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь.
$\frac{1}{3} : \frac{2}{9} = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{2} = \frac{1 \cdot 9}{3 \cdot 2} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$

5. Последнее действие - сложение результатов 3-го и 4-го действий. Приведем дроби к общему знаменателю 4.
$\frac{11}{4} + \frac{3}{2} = \frac{11}{4} + \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{11}{4} + \frac{6}{4} = \frac{17}{4}$

6. Преобразуем полученную неправильную дробь в смешанное число.
$\frac{17}{4} = 4\frac{1}{4}$

Ответ: $4\frac{1}{4}$

б) $(1\frac{1}{5} + 2\frac{3}{10}) : \frac{1}{2} + (6\frac{3}{4} - 2\frac{2}{3}) : 1\frac{1}{6}$

Решим пример по действиям. Сначала преобразуем все смешанные числа в неправильные дроби.

1. Выполним сложение в первых скобках. Общий знаменатель для 5 и 10 это 10.
$1\frac{1}{5} + 2\frac{3}{10} = \frac{6}{5} + \frac{23}{10} = \frac{6 \cdot 2}{5 \cdot 2} + \frac{23}{10} = \frac{12}{10} + \frac{23}{10} = \frac{35}{10} = \frac{7}{2}$

2. Выполним вычитание во вторых скобках. Общий знаменатель для 4 и 3 это 12.
$6\frac{3}{4} - 2\frac{2}{3} = \frac{27}{4} - \frac{8}{3} = \frac{27 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{8 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{81}{12} - \frac{32}{12} = \frac{49}{12}$

3. Теперь выполним первое деление.
$\frac{7}{2} : \frac{1}{2} = \frac{7}{2} \cdot \frac{2}{1} = \frac{7 \cdot 2}{2 \cdot 1} = 7$

4. Выполним второе деление. Сначала преобразуем делитель $1\frac{1}{6}$ в неправильную дробь $\frac{7}{6}$.
$\frac{49}{12} : 1\frac{1}{6} = \frac{49}{12} : \frac{7}{6} = \frac{49}{12} \cdot \frac{6}{7} = \frac{49 \cdot 6}{12 \cdot 7} = \frac{7 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{7}{2}$

5. Сложим результаты 3-го и 4-го действий.
$7 + \frac{7}{2} = \frac{14}{2} + \frac{7}{2} = \frac{21}{2}$

6. Преобразуем полученную неправильную дробь в смешанное число.
$\frac{21}{2} = 10\frac{1}{2}$

Ответ: $10\frac{1}{2}$

870 a) $(\frac{7}{15} + \frac{7}{30} + \frac{4}{5}) : (2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2});$

б) $(\frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15}) : (\frac{3}{5} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4}).$

а) $(\frac{7}{15} + \frac{7}{30} + \frac{4}{5}) : (2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2})$

1. Выполним действие в первой скобке. Найдем общий знаменатель для дробей $\frac{7}{15}$, $\frac{7}{30}$ и $\frac{4}{5}$. Наименьший общий знаменатель для чисел 15, 30 и 5 равен 30.

$\frac{7}{15} + \frac{7}{30} + \frac{4}{5} = \frac{7 \cdot 2}{15 \cdot 2} + \frac{7}{30} + \frac{4 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{14}{30} + \frac{7}{30} + \frac{24}{30} = \frac{14+7+24}{30} = \frac{45}{30}$

Сократим полученную дробь: $\frac{45}{30} = \frac{3 \cdot 15}{2 \cdot 15} = \frac{3}{2}$.

2. Выполним действие во второй скобке. Представим 2 как $\frac{2}{1}$ и найдем общий знаменатель для дробей $\frac{2}{1}$, $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$. Наименьший общий знаменатель для чисел 1, 3 и 2 равен 6.

$2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 6}{1 \cdot 6} - \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} - \frac{2}{6} - \frac{3}{6} = \frac{12-2-3}{6} = \frac{7}{6}$

3. Разделим результат первого действия на результат второго действия. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

$\frac{3}{2} : \frac{7}{6} = \frac{3}{2} \cdot \frac{6}{7} = \frac{3 \cdot 6}{2 \cdot 7} = \frac{18}{14} = \frac{9}{7} = 1\frac{2}{7}$

Ответ: $1\frac{2}{7}$

б) $(\frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15}) : (\frac{3}{5} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4})$

1. Выполним действие в первой скобке. Найдем общий знаменатель для дробей $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{10}$ и $\frac{1}{15}$. Наименьший общий знаменатель для чисел 6, 10 и 15 равен 30.

$\frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 3}{10 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{5}{30} + \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5+3+2}{30} = \frac{10}{30}$

Сократим полученную дробь: $\frac{10}{30} = \frac{1}{3}$.

2. Выполним действие во второй скобке. Найдем общий знаменатель для дробей $\frac{3}{5}$, $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{4}$. Наименьший общий знаменатель для чисел 5, 3 и 4 равен 60.

$\frac{3}{5} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 12}{5 \cdot 12} - \frac{1 \cdot 20}{3 \cdot 20} - \frac{1 \cdot 15}{4 \cdot 15} = \frac{36}{60} - \frac{20}{60} - \frac{15}{60} = \frac{36-20-15}{60} = \frac{1}{60}$

3. Разделим результат первого действия на результат второго действия.

$\frac{1}{3} : \frac{1}{60} = \frac{1}{3} \cdot \frac{60}{1} = \frac{60}{3} = 20$

Ответ: 20

871 a) $17 : \left(\frac{3}{5} + \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{7}{8} - \frac{1}{4}\right) \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^2;$

б) $70 : \left(\frac{5}{8} + \frac{5}{6}\right) + \left(3\frac{1}{9} - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(\frac{3}{10}\right)^2.$

а) $17 : (\frac{3}{5} + \frac{1}{4}) + (\frac{7}{8} - \frac{1}{4}) \cdot (\frac{4}{5})^2$

Для решения примера необходимо соблюдать порядок действий: сначала выполняются операции в скобках, затем возведение в степень, после этого умножение и деление, и в последнюю очередь – сложение и вычитание. Решим пример по шагам:

1. Найдем сумму в первых скобках:
$\frac{3}{5} + \frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 4}{20} + \frac{1 \cdot 5}{20} = \frac{12 + 5}{20} = \frac{17}{20}$

2. Найдем разность во вторых скобках:
$\frac{7}{8} - \frac{1}{4} = \frac{7}{8} - \frac{1 \cdot 2}{8} = \frac{7 - 2}{8} = \frac{5}{8}$

3. Возведем дробь в степень:
$(\frac{4}{5})^2 = \frac{4^2}{5^2} = \frac{16}{25}$

4. Теперь подставим полученные результаты в исходное выражение и выполним оставшиеся действия в правильном порядке (сначала деление и умножение, затем сложение).

Выполним деление:
$17 : \frac{17}{20} = 17 \cdot \frac{20}{17} = \frac{17 \cdot 20}{17} = 20$

Выполним умножение:
$\frac{5}{8} \cdot \frac{16}{25} = \frac{5 \cdot 16}{8 \cdot 25} = \frac{\cancel{5}^1 \cdot \cancel{16}^2}{\cancel{8}^1 \cdot \cancel{25}^5} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 5} = \frac{2}{5}$

5. Выполним сложение:
$20 + \frac{2}{5} = 20\frac{2}{5}$

Ответ: $20\frac{2}{5}$

б) $70 : (\frac{5}{8} + \frac{5}{6}) + (3\frac{1}{9} - \frac{1}{3}) \cdot (\frac{3}{10})^2$

Решим пример по действиям, соблюдая их порядок.

1. Вычислим сумму в первых скобках. Общий знаменатель для 8 и 6 равен 24.
$\frac{5}{8} + \frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 3}{24} + \frac{5 \cdot 4}{24} = \frac{15 + 20}{24} = \frac{35}{24}$

2. Вычислим разность во вторых скобках. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь.
$3\frac{1}{9} - \frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 9 + 1}{9} - \frac{1}{3} = \frac{28}{9} - \frac{1}{3}$
Приведем дроби к общему знаменателю 9:
$\frac{28}{9} - \frac{1 \cdot 3}{9} = \frac{28 - 3}{9} = \frac{25}{9}$

3. Возведем дробь в степень:
$(\frac{3}{10})^2 = \frac{3^2}{10^2} = \frac{9}{100}$

4. Подставим вычисленные значения в выражение и выполним оставшиеся действия.

Выполним деление:
$70 : \frac{35}{24} = 70 \cdot \frac{24}{35} = \frac{70 \cdot 24}{35} = \frac{\cancel{70}^2 \cdot 24}{\cancel{35}^1} = 2 \cdot 24 = 48$

Выполним умножение:
$\frac{25}{9} \cdot \frac{9}{100} = \frac{25 \cdot 9}{9 \cdot 100} = \frac{\cancel{25}^1 \cdot \cancel{9}^1}{\cancel{9}^1 \cdot \cancel{100}^4} = \frac{1}{4}$

5. Выполним сложение:
$48 + \frac{1}{4} = 48\frac{1}{4}$

Ответ: $48\frac{1}{4}$

872 РАССУЖДАЕМ Сравните значения выражений, не выполняя вычислений:

а) $999 \cdot \frac{3}{4}$ и $999 : \frac{3}{4}$;

б) $\frac{5}{7} \cdot 1\frac{1}{8}$ и $\frac{5}{7} : 1\frac{1}{8}$;

в) $\frac{20}{9}$ и $\left(\frac{20}{9}\right)^2$;

г) $15 : \frac{7}{8}$ и $15 : \left(\frac{7}{8}\right)^2$.

а) Сравним выражения $999 \cdot \frac{3}{4}$ и $999 : \frac{3}{4}$. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь, поэтому $999 : \frac{3}{4} = 999 \cdot \frac{4}{3}$. Теперь задача сводится к сравнению выражений $999 \cdot \frac{3}{4}$ и $999 \cdot \frac{4}{3}$. Так как первый множитель (999) в обоих выражениях одинаков и положителен, то больше будет то произведение, у которого второй множитель больше. Сравним вторые множители: $\frac{3}{4}$ и $\frac{4}{3}$. Дробь $\frac{3}{4}$ правильная, то есть $\frac{3}{4} < 1$. Дробь $\frac{4}{3}$ неправильная, то есть $\frac{4}{3} > 1$. Отсюда следует, что $\frac{3}{4} < \frac{4}{3}$, а значит и $999 \cdot \frac{3}{4} < 999 \cdot \frac{4}{3}$. Ответ: $999 \cdot \frac{3}{4} < 999 : \frac{3}{4}$.

б) Сравним выражения $\frac{5}{7} \cdot 1\frac{1}{8}$ и $\frac{5}{7} : 1\frac{1}{8}$. В обоих выражениях первое число одинаково ($\frac{5}{7}$), а второе число $1\frac{1}{8} > 1$. При умножении положительного числа на число, большее 1, результат увеличивается, то есть $\frac{5}{7} \cdot 1\frac{1}{8} > \frac{5}{7}$. При делении положительного числа на число, большее 1, результат уменьшается, то есть $\frac{5}{7} : 1\frac{1}{8} < \frac{5}{7}$. Таким образом, результат умножения больше результата деления. Ответ: $\frac{5}{7} \cdot 1\frac{1}{8} > \frac{5}{7} : 1\frac{1}{8}$.

в) Сравним число $\frac{20}{9}$ и его квадрат $(\frac{20}{9})^2$. Возведение в квадрат — это умножение числа на само себя: $(\frac{20}{9})^2 = \frac{20}{9} \cdot \frac{20}{9}$. Определим, больше или меньше единицы число $\frac{20}{9}$. Так как числитель 20 больше знаменателя 9, то дробь $\frac{20}{9} > 1$. При умножении числа, которое больше 1, на себя, результат становится еще больше. Следовательно, $\frac{20}{9} \cdot \frac{20}{9} > \frac{20}{9}$. Ответ: $\frac{20}{9} < (\frac{20}{9})^2$.

г) Сравним выражения $15 : \frac{7}{8}$ и $15 : (\frac{7}{8})^2$. В обоих выражениях делимое одинаково и равно 15. При делении на положительные числа, чем меньше делитель, тем больше частное. Сравним делители: $\frac{7}{8}$ и $(\frac{7}{8})^2$. Дробь $\frac{7}{8}$ является правильной, то есть $0 < \frac{7}{8} < 1$. При возведении в квадрат положительной правильной дроби ее значение уменьшается. Это происходит потому, что мы умножаем число, меньшее 1, на другое число, меньшее 1, что дает еще меньший результат. Таким образом, $(\frac{7}{8})^2 < \frac{7}{8}$. Так как делитель во втором выражении меньше, то результат деления будет больше. Значит, $15 : (\frac{7}{8})^2 > 15 : \frac{7}{8}$. Ответ: $15 : \frac{7}{8} < 15 : (\frac{7}{8})^2$.

873 Выполняя домашнюю работу, Толя заметил время, которое ушло на приготовление каждого урока: на работу с картой, на решение задачи, на заучивание стихотворения. Используя полученные данные, он составил две задачи. Решите их и попробуйте сами составить задачи, используя свои данные.

a) Задания по географии и математике ученик выполнял $\frac{1}{4}$ ч, причём работа с картой заняла на $\frac{1}{20}$ ч меньше, чем решение задачи. Сколько времени потребовалось на каждое задание?

б) На работу с картой и заучивание стихотворения ученик затратил $\frac{2}{5}$ ч, причём на заучивание стихотворения ушло в 3 раза больше времени, чем на работу с картой. Сколько времени заняло каждое задание?

а)

Обозначим время, которое ушло на решение задачи по математике, как $x$ часов, а время, которое ушло на работу с картой, как $y$ часов.

Из условия задачи известно, что на оба задания ученик потратил $\frac{1}{4}$ часа. Это можно записать в виде первого уравнения:
$x + y = \frac{1}{4}$

Также известно, что работа с картой заняла на $\frac{1}{20}$ часа меньше, чем решение задачи. Это дает нам второе уравнение:
$y = x - \frac{1}{20}$

Мы получили систему из двух уравнений. Для ее решения подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:
$x + (x - \frac{1}{20}) = \frac{1}{4}$

Решим полученное уравнение:
$2x - \frac{1}{20} = \frac{1}{4}$
$2x = \frac{1}{4} + \frac{1}{20}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 20:
$2x = \frac{5}{20} + \frac{1}{20}$
$2x = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$

Теперь найдем $x$ — время, затраченное на решение задачи:
$x = \frac{3}{10} \div 2 = \frac{3}{20}$ часа.

Теперь, зная $x$, найдем $y$ — время, затраченное на работу с картой:
$y = \frac{3}{20} - \frac{1}{20} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$ часа.

Ответ: на решение задачи потребовалось $\frac{3}{20}$ часа, а на работу с картой — $\frac{1}{10}$ часа.

б)

Пусть время, затраченное на работу с картой, равно $x$ часов, а время на заучивание стихотворения — $y$ часов.

По условию, на оба задания ученик потратил $\frac{2}{5}$ часа. Составим первое уравнение:
$x + y = \frac{2}{5}$

Также известно, что на заучивание стихотворения ушло в 3 раза больше времени, чем на работу с картой. Составим второе уравнение:
$y = 3x$

Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:
$x + 3x = \frac{2}{5}$

Решим полученное уравнение:
$4x = \frac{2}{5}$

Найдем $x$ — время, затраченное на работу с картой:
$x = \frac{2}{5} \div 4 = \frac{2}{5 \times 4} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$ часа.

Теперь найдем $y$ — время, затраченное на заучивание стихотворения:
$y = 3 \times x = 3 \times \frac{1}{10} = \frac{3}{10}$ часа.

Ответ: на работу с картой ушло $\frac{1}{10}$ часа, а на заучивание стихотворения — $\frac{3}{10}$ часа.