Страница 210 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Найдите значение выражения (836–837).

836 а) $\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9}$;

б) $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5}$;

в) $\frac{4}{7} \cdot \frac{35}{36} \cdot \frac{3}{5}$;

г) $\frac{4}{5} \cdot \frac{10}{27} \cdot \frac{15}{16}$.

а) Чтобы найти значение выражения, нужно перемножить все числители и все знаменатели, а затем сократить полученную дробь.

Запишем произведение в виде одной дроби:

$ \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9} = \frac{3 \cdot 1 \cdot 4}{5 \cdot 2 \cdot 9} $

Сократим 3 в числителе и 9 в знаменателе на 3 (получим 1 и 3 соответственно):

$ \frac{1 \cdot 1 \cdot 4}{5 \cdot 2 \cdot 3} $

Теперь сократим 4 в числителе и 2 в знаменателе на 2 (получим 2 и 1 соответственно):

$ \frac{1 \cdot 1 \cdot 2}{5 \cdot 1 \cdot 3} = \frac{2}{15} $

Ответ: $ \frac{2}{15} $

б) Перемножим числители и знаменатели всех дробей:

$ \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} $

В этом выражении мы видим, что множители 2, 3 и 4 есть и в числителе, и в знаменателе. Сократим их:

$ \frac{1 \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{4}}{\cancel{2} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{4} \cdot 5} = \frac{1}{5} $

Ответ: $ \frac{1}{5} $

в) Запишем произведение в виде одной дроби:

$ \frac{4}{7} \cdot \frac{35}{36} \cdot \frac{3}{5} = \frac{4 \cdot 35 \cdot 3}{7 \cdot 36 \cdot 5} $

Выполним сокращение дроби по шагам. Сократим 4 и 36 на 4:

$ \frac{1 \cdot 35 \cdot 3}{7 \cdot 9 \cdot 5} $

Сократим 35 и 5 на 5:

$ \frac{1 \cdot 7 \cdot 3}{7 \cdot 9 \cdot 1} $

Сократим 7 в числителе и 7 в знаменателе:

$ \frac{1 \cdot 1 \cdot 3}{1 \cdot 9 \cdot 1} = \frac{3}{9} $

Наконец, сократим полученную дробь на 3:

$ \frac{3}{9} = \frac{1}{3} $

Ответ: $ \frac{1}{3} $

г) Запишем произведение в виде одной дроби:

$ \frac{4}{5} \cdot \frac{10}{27} \cdot \frac{15}{16} = \frac{4 \cdot 10 \cdot 15}{5 \cdot 27 \cdot 16} $

Выполним сокращение по шагам. Сократим 4 и 16 на 4:

$ \frac{1 \cdot 10 \cdot 15}{5 \cdot 27 \cdot 4} $

Сократим 10 и 5 на 5:

$ \frac{1 \cdot 2 \cdot 15}{1 \cdot 27 \cdot 4} $

Сократим 15 и 27 на 3:

$ \frac{1 \cdot 2 \cdot 5}{1 \cdot 9 \cdot 4} $

Теперь сократим 2 и 4 на 2:

$ \frac{1 \cdot 1 \cdot 5}{1 \cdot 9 \cdot 2} = \frac{5}{18} $

Ответ: $ \frac{5}{18} $

837 a) $(\frac{2}{9})^2$;

б) $(\frac{2}{3})^3$;

в) $(\frac{1}{4})^3$;

г) $(\frac{4}{3})^2$;

д) $(\frac{1}{5})^3$;

е) $(\frac{3}{7})^2$.

а) Чтобы возвести обыкновенную дробь в степень, необходимо возвести в эту степень ее числитель и знаменатель по отдельности. Правило выглядит так: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.

Применим это правило к данному выражению:

$(\frac{2}{9})^2 = \frac{2^2}{9^2} = \frac{4}{81}$.

Ответ: $\frac{4}{81}$.

б) Возведем дробь $\frac{2}{3}$ в третью степень (в куб), используя то же правило:

$(\frac{2}{3})^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}$.

Ответ: $\frac{8}{27}$.

в) Возведем дробь $\frac{1}{4}$ в третью степень:

$(\frac{1}{4})^3 = \frac{1^3}{4^3} = \frac{1}{64}$.

Ответ: $\frac{1}{64}$.

г) Возведем дробь $\frac{4}{3}$ во вторую степень (в квадрат):

$(\frac{4}{3})^2 = \frac{4^2}{3^2} = \frac{16}{9}$.

Ответ: $\frac{16}{9}$.

д) Возведем дробь $\frac{1}{5}$ в третью степень:

$(\frac{1}{5})^3 = \frac{1^3}{5^3} = \frac{1}{125}$.

Ответ: $\frac{1}{125}$.

е) Возведем дробь $\frac{3}{7}$ во вторую степень:

$(\frac{3}{7})^2 = \frac{3^2}{7^2} = \frac{9}{49}$.

Ответ: $\frac{9}{49}$.

838 Каждый из рисунков (рис. 9.5, а, б) задаёт некоторую задачу. Выясните, что известно, и найдите неизвестные величины.

a) $AB = 3\frac{1}{2}\text{ м}$

$AD = 2\frac{1}{5}\text{ м}$

$P = ? S = ?$

б) $LM = 6\frac{1}{2}\text{ м}$

$P = 20\text{ м}$

$S = ?$

Рис. 9.5

а)

В этой задаче дан прямоугольник ABCD, у которого известны длины двух смежных сторон: $BC = 3\frac{1}{2}$ м и $CD = 2\frac{1}{5}$ м. Необходимо найти его периметр (P) и площадь (S).

1. Находим периметр (P).

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2 \cdot (a + b)$, где $a$ и $b$ – длины его смежных сторон.

$P = 2 \cdot (3\frac{1}{2} + 2\frac{1}{5})$

Чтобы сложить смешанные числа, приведем их дробные части к общему знаменателю 10:

$3\frac{1}{2} = 3\frac{5}{10}$

$2\frac{1}{5} = 2\frac{2}{10}$

Теперь выполним сложение и умножение:

$P = 2 \cdot (3\frac{5}{10} + 2\frac{2}{10}) = 2 \cdot 5\frac{7}{10}$

Переведем смешанное число в неправильную дробь и вычислим:

$P = 2 \cdot \frac{57}{10} = \frac{114}{10} = 11\frac{4}{10} = 11\frac{2}{5}$ м.

2. Находим площадь (S).

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \cdot b$.

$S = 3\frac{1}{2} \cdot 2\frac{1}{5}$

Переведем смешанные числа в неправильные дроби:

$3\frac{1}{2} = \frac{7}{2}$

$2\frac{1}{5} = \frac{11}{5}$

Теперь перемножим дроби:

$S = \frac{7}{2} \cdot \frac{11}{5} = \frac{7 \cdot 11}{2 \cdot 5} = \frac{77}{10} = 7\frac{7}{10}$ м².

Ответ: $P = 11\frac{2}{5}$ м, $S = 7\frac{7}{10}$ м².

б)

В этой задаче дан прямоугольник KLMN, у которого известна длина одной стороны $LM = 6\frac{1}{2}$ м и периметр $P = 20$ м. Необходимо найти длину неизвестной стороны (например, KN) и площадь (S).

1. Находим неизвестную сторону (b).

Периметр прямоугольника равен $P = 2 \cdot (a + b)$. Мы можем найти сумму длин двух смежных сторон (полупериметр), разделив периметр на 2:

$a + b = P \div 2 = 20 \div 2 = 10$ м.

Теперь, зная одну сторону ($a = 6\frac{1}{2}$ м), найдем вторую:

$b = 10 - a = 10 - 6\frac{1}{2} = 9\frac{2}{2} - 6\frac{1}{2} = 3\frac{1}{2}$ м.

2. Находим площадь (S).

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. Теперь нам известны обе стороны.

$S = 6\frac{1}{2} \cdot 3\frac{1}{2}$

Переведем смешанные числа в неправильные дроби:

$6\frac{1}{2} = \frac{13}{2}$

$3\frac{1}{2} = \frac{7}{2}$

Теперь перемножим дроби:

$S = \frac{13}{2} \cdot \frac{7}{2} = \frac{13 \cdot 7}{2 \cdot 2} = \frac{91}{4} = 22\frac{3}{4}$ м².

Ответ: неизвестная сторона равна $3\frac{1}{2}$ м, $S = 22\frac{3}{4}$ м².

839 a) Одна швея может выполнить работу за 4 ч, другая — за 5 ч. Какую часть работы они выполнят, работая вместе, за 2 ч? за $ \frac{3}{4} $ ч?

б) Рабочий может выполнить заказ за 4 ч, а его ученик — за 8 ч. Успеют ли они выполнить весь заказ за $ 2\frac{2}{3} $ ч, если будут работать вместе?

а)

Для решения задачи примем всю работу за единицу (1).

1. Найдем производительность (скорость работы) каждой швеи. Производительность — это часть работы, выполняемая за единицу времени (в данном случае, за 1 час).

• Производительность первой швеи: $1 \div 4 = \frac{1}{4}$ работы в час.
• Производительность второй швеи: $1 \div 5 = \frac{1}{5}$ работы в час.

2. Найдем их общую производительность при совместной работе, сложив их индивидуальные производительности:

$\frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{5}{20} + \frac{4}{20} = \frac{9}{20}$ работы в час.

3. Теперь рассчитаем, какую часть работы они выполнят за указанное время, умножив общую производительность на время.

• За 2 часа они выполнят: $\frac{9}{20} \times 2 = \frac{18}{20} = \frac{9}{10}$ работы.
• За $\frac{3}{4}$ часа они выполнят: $\frac{9}{20} \times \frac{3}{4} = \frac{27}{80}$ работы.

Ответ: за 2 ч они выполнят $\frac{9}{10}$ работы, а за $\frac{3}{4}$ ч – $\frac{27}{80}$ работы.

б)

Примем весь заказ за единицу (1).

1. Найдем производительность рабочего и его ученика.

• Производительность рабочего: $1 \div 4 = \frac{1}{4}$ заказа в час.
• Производительность ученика: $1 \div 8 = \frac{1}{8}$ заказа в час.

2. Найдем их общую производительность при совместной работе:

$\frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$ заказа в час.

3. Определим, какую часть заказа они выполнят за $2\frac{2}{3}$ часа. Сначала представим время в виде неправильной дроби:

$2\frac{2}{3} = \frac{2 \times 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$ часа.

4. Умножим общую производительность на время:

$\frac{3}{8} \times \frac{8}{3} = 1$.

Результат равен 1, что означает, что они выполнят весь заказ целиком.

Ответ: да, они успеют выполнить весь заказ.

840 РАССУЖДАЕМ Вычислите значение выражения (постарайтесь найти рациональное решение):

а) $1\frac{1}{12} \cdot 1\frac{1}{13} \cdot 1\frac{1}{14} \cdot 1\frac{1}{15} \cdot 1\frac{1}{16} \cdot 1\frac{1}{17};$

в) $3\frac{2}{7} \cdot 1\frac{1}{3} + 3\frac{2}{7} \cdot 1\frac{2}{3};$

б) $9 \cdot 1\frac{1}{9} \cdot 11 \cdot 1\frac{1}{11} \cdot 13 \cdot 1\frac{1}{13};$

г) $4\frac{3}{7} \cdot 8\frac{4}{9} - 4\frac{3}{7} \cdot 6\frac{4}{9}.$

а) Чтобы найти значение выражения $1\frac{1}{12} \cdot 1\frac{1}{13} \cdot 1\frac{1}{14} \cdot 1\frac{1}{15} \cdot 1\frac{1}{16} \cdot 1\frac{1}{17}$, представим каждую смешанную дробь в виде неправильной дроби. Например, $1\frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 12 + 1}{12} = \frac{13}{12}$. Сделав это для всех множителей, получим следующее произведение:
$\frac{13}{12} \cdot \frac{14}{13} \cdot \frac{15}{14} \cdot \frac{16}{15} \cdot \frac{17}{16} \cdot \frac{18}{17}$.
В этом произведении числитель каждой дроби (кроме последней) сокращается со знаменателем следующей дроби:
$\frac{\cancel{13}}{12} \cdot \frac{\cancel{14}}{\cancel{13}} \cdot \frac{\cancel{15}}{\cancel{14}} \cdot \frac{\cancel{16}}{\cancel{15}} \cdot \frac{\cancel{17}}{\cancel{16}} \cdot \frac{18}{\cancel{17}} = \frac{18}{12}$.
Сократим полученную дробь на 6:
$\frac{18}{12} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.
Ответ: $1\frac{1}{2}$.

б) Рассмотрим выражение $9 \cdot 1\frac{1}{9} \cdot 11 \cdot 1\frac{1}{11} \cdot 13 \cdot 1\frac{1}{13}$. Для рационального решения сгруппируем множители и преобразуем смешанные дроби в неправильные:
$(9 \cdot 1\frac{1}{9}) \cdot (11 \cdot 1\frac{1}{11}) \cdot (13 \cdot 1\frac{1}{13}) = (9 \cdot \frac{10}{9}) \cdot (11 \cdot \frac{12}{11}) \cdot (13 \cdot \frac{14}{13})$.
В каждой группе множителей целое число и знаменатель дроби сокращаются:
$(\cancel{9} \cdot \frac{10}{\cancel{9}}) \cdot (\cancel{11} \cdot \frac{12}{\cancel{11}}) \cdot (\cancel{13} \cdot \frac{14}{\cancel{13}}) = 10 \cdot 12 \cdot 14$.
Остается вычислить произведение:
$10 \cdot 12 \cdot 14 = 120 \cdot 14 = 1680$.
Ответ: 1680.

в) В выражении $3\frac{2}{7} \cdot 1\frac{1}{3} + 3\frac{2}{7} \cdot 1\frac{2}{3}$ есть общий множитель $3\frac{2}{7}$. Воспользуемся распределительным свойством умножения $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b+c)$ и вынесем его за скобки:
$3\frac{2}{7} \cdot (1\frac{1}{3} + 1\frac{2}{3})$.
Сначала выполним действие в скобках:
$1\frac{1}{3} + 1\frac{2}{3} = (1+1) + (\frac{1}{3} + \frac{2}{3}) = 2 + \frac{3}{3} = 2 + 1 = 3$.
Теперь исходное выражение упростилось до $3\frac{2}{7} \cdot 3$.
Преобразуем смешанную дробь в неправильную и умножим:
$3\frac{2}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{23}{7}$.
$\frac{23}{7} \cdot 3 = \frac{69}{7} = 9\frac{6}{7}$.
Ответ: $9\frac{6}{7}$.

г) В выражении $4\frac{3}{7} \cdot 8\frac{4}{9} - 4\frac{3}{7} \cdot 6\frac{4}{9}$ также применим распределительное свойство $a \cdot b - a \cdot c = a \cdot (b-c)$, вынеся за скобки общий множитель $4\frac{3}{7}$:
$4\frac{3}{7} \cdot (8\frac{4}{9} - 6\frac{4}{9})$.
Выполним вычитание в скобках:
$8\frac{4}{9} - 6\frac{4}{9} = (8-6) + (\frac{4}{9} - \frac{4}{9}) = 2 + 0 = 2$.
Теперь выражение имеет вид $4\frac{3}{7} \cdot 2$.
Переведем смешанную дробь в неправильную и найдем произведение:
$4\frac{3}{7} = \frac{4 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{31}{7}$.
$\frac{31}{7} \cdot 2 = \frac{62}{7} = 8\frac{6}{7}$.
Ответ: $8\frac{6}{7}$.

841 ИЩЕМ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ Даны выражения:

$1 - \frac{1}{2}$, $(1 - \frac{1}{2}) \cdot (1 - \frac{1}{3})$, $(1 - \frac{1}{2}) \cdot (1 - \frac{1}{3}) \cdot (1 - \frac{1}{4})$

1) Вычислите значение каждого из выражений.

2) Подметьте закономерность, по которой составляют данные выражения, и запишите следующее выражение. Догадайтесь, не вычисляя, чему равно его значение. Проверьте себя с помощью вычислений.

1) Вычислим значение каждого из выражений.

Первое выражение:
$1 - \frac{1}{2} = \frac{2}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Второе выражение:
$(1 - \frac{1}{2}) \cdot (1 - \frac{1}{3}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{3}{3} - \frac{1}{3}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Третье выражение:
$(1 - \frac{1}{2}) \cdot (1 - \frac{1}{3}) \cdot (1 - \frac{1}{4}) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}) \cdot (1 - \frac{1}{4}) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{4}{4} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 4} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

Ответ: значения выражений равны соответственно $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{4}$.

2) Проанализируем полученные результаты. Значение первого выражения, последний множитель которого $(1 - \frac{1}{2})$, равно $\frac{1}{2}$. Значение второго выражения, последний множитель которого $(1 - \frac{1}{3})$, равно $\frac{1}{3}$. Значение третьего выражения, последний множитель которого $(1 - \frac{1}{4})$, равно $\frac{1}{4}$.

Закономерность заключается в том, что каждое следующее выражение получается путем умножения предыдущего на новый множитель вида $(1 - \frac{1}{n})$, где $n$ на единицу больше знаменателя в последнем множителе предыдущего выражения. При этом значение всего выражения равно дроби $\frac{1}{n}$, где $n$ — знаменатель в последнем множителе.

Следуя этой закономерности, следующее (четвертое) выражение в последовательности будет:
$(1 - \frac{1}{2}) \cdot (1 - \frac{1}{3}) \cdot (1 - \frac{1}{4}) \cdot (1 - \frac{1}{5})$

Можно догадаться, что его значение будет равно $\frac{1}{5}$, по аналогии с предыдущими результатами.

Проверим себя с помощью вычислений. Мы уже знаем, что произведение первых трех множителей равно $\frac{1}{4}$:
$(1 - \frac{1}{2}) \cdot (1 - \frac{1}{3}) \cdot (1 - \frac{1}{4}) \cdot (1 - \frac{1}{5}) = \frac{1}{4} \cdot (1 - \frac{1}{5}) = \frac{1}{4} \cdot (\frac{5}{5} - \frac{1}{5}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{1 \cdot 4}{4 \cdot 5} = \frac{1}{5}$
Предположение оказалось верным.

Ответ: следующее выражение — $(1 - \frac{1}{2}) \cdot (1 - \frac{1}{3}) \cdot (1 - \frac{1}{4}) \cdot (1 - \frac{1}{5})$, его значение равно $\frac{1}{5}$.