Номер 840, страница 210 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

9.4. Умножение дробей. Глава 9. Действия с дробями - номер 840, страница 210.

840 РАССУЖДАЕМ Вычислите значение выражения (постарайтесь найти рациональное решение):

а) $1\frac{1}{12} \cdot 1\frac{1}{13} \cdot 1\frac{1}{14} \cdot 1\frac{1}{15} \cdot 1\frac{1}{16} \cdot 1\frac{1}{17};$

в) $3\frac{2}{7} \cdot 1\frac{1}{3} + 3\frac{2}{7} \cdot 1\frac{2}{3};$

б) $9 \cdot 1\frac{1}{9} \cdot 11 \cdot 1\frac{1}{11} \cdot 13 \cdot 1\frac{1}{13};$

г) $4\frac{3}{7} \cdot 8\frac{4}{9} - 4\frac{3}{7} \cdot 6\frac{4}{9}.$

а) Чтобы найти значение выражения $1\frac{1}{12} \cdot 1\frac{1}{13} \cdot 1\frac{1}{14} \cdot 1\frac{1}{15} \cdot 1\frac{1}{16} \cdot 1\frac{1}{17}$, представим каждую смешанную дробь в виде неправильной дроби. Например, $1\frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 12 + 1}{12} = \frac{13}{12}$. Сделав это для всех множителей, получим следующее произведение:
$\frac{13}{12} \cdot \frac{14}{13} \cdot \frac{15}{14} \cdot \frac{16}{15} \cdot \frac{17}{16} \cdot \frac{18}{17}$.
В этом произведении числитель каждой дроби (кроме последней) сокращается со знаменателем следующей дроби:
$\frac{\cancel{13}}{12} \cdot \frac{\cancel{14}}{\cancel{13}} \cdot \frac{\cancel{15}}{\cancel{14}} \cdot \frac{\cancel{16}}{\cancel{15}} \cdot \frac{\cancel{17}}{\cancel{16}} \cdot \frac{18}{\cancel{17}} = \frac{18}{12}$.
Сократим полученную дробь на 6:
$\frac{18}{12} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.
Ответ: $1\frac{1}{2}$.

б) Рассмотрим выражение $9 \cdot 1\frac{1}{9} \cdot 11 \cdot 1\frac{1}{11} \cdot 13 \cdot 1\frac{1}{13}$. Для рационального решения сгруппируем множители и преобразуем смешанные дроби в неправильные:
$(9 \cdot 1\frac{1}{9}) \cdot (11 \cdot 1\frac{1}{11}) \cdot (13 \cdot 1\frac{1}{13}) = (9 \cdot \frac{10}{9}) \cdot (11 \cdot \frac{12}{11}) \cdot (13 \cdot \frac{14}{13})$.
В каждой группе множителей целое число и знаменатель дроби сокращаются:
$(\cancel{9} \cdot \frac{10}{\cancel{9}}) \cdot (\cancel{11} \cdot \frac{12}{\cancel{11}}) \cdot (\cancel{13} \cdot \frac{14}{\cancel{13}}) = 10 \cdot 12 \cdot 14$.
Остается вычислить произведение:
$10 \cdot 12 \cdot 14 = 120 \cdot 14 = 1680$.
Ответ: 1680.

в) В выражении $3\frac{2}{7} \cdot 1\frac{1}{3} + 3\frac{2}{7} \cdot 1\frac{2}{3}$ есть общий множитель $3\frac{2}{7}$. Воспользуемся распределительным свойством умножения $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b+c)$ и вынесем его за скобки:
$3\frac{2}{7} \cdot (1\frac{1}{3} + 1\frac{2}{3})$.
Сначала выполним действие в скобках:
$1\frac{1}{3} + 1\frac{2}{3} = (1+1) + (\frac{1}{3} + \frac{2}{3}) = 2 + \frac{3}{3} = 2 + 1 = 3$.
Теперь исходное выражение упростилось до $3\frac{2}{7} \cdot 3$.
Преобразуем смешанную дробь в неправильную и умножим:
$3\frac{2}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{23}{7}$.
$\frac{23}{7} \cdot 3 = \frac{69}{7} = 9\frac{6}{7}$.
Ответ: $9\frac{6}{7}$.

г) В выражении $4\frac{3}{7} \cdot 8\frac{4}{9} - 4\frac{3}{7} \cdot 6\frac{4}{9}$ также применим распределительное свойство $a \cdot b - a \cdot c = a \cdot (b-c)$, вынеся за скобки общий множитель $4\frac{3}{7}$:
$4\frac{3}{7} \cdot (8\frac{4}{9} - 6\frac{4}{9})$.
Выполним вычитание в скобках:
$8\frac{4}{9} - 6\frac{4}{9} = (8-6) + (\frac{4}{9} - \frac{4}{9}) = 2 + 0 = 2$.
Теперь выражение имеет вид $4\frac{3}{7} \cdot 2$.
Переведем смешанную дробь в неправильную и найдем произведение:
$4\frac{3}{7} = \frac{4 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{31}{7}$.
$\frac{31}{7} \cdot 2 = \frac{62}{7} = 8\frac{6}{7}$.
Ответ: $8\frac{6}{7}$.