Номер 847, страница 211 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

9.4. Умножение дробей. Глава 9. Действия с дробями - номер 847, страница 211.

847 ИЩЕМ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ

Вычислите значение каждого из выражений:

$2 - \frac{1}{2}$, $3 - \frac{1}{3}$, $4 - \frac{1}{4}$, $5 - \frac{1}{5}$.

Запишите следующую разность в цепочке данных выражений. Догадайтесь, чему она равна (проверьте вычислением). Какая разность будет на 10-м месте? Не вычисляя, запишите её значение.

Вычислите значение каждого из выражений:

$2 - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$

$3 - \frac{1}{3} = \frac{9}{3} - \frac{1}{3} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$

$4 - \frac{1}{4} = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4} = 3\frac{3}{4}$

$5 - \frac{1}{5} = \frac{25}{5} - \frac{1}{5} = \frac{24}{5} = 4\frac{4}{5}$

Ответ: $1\frac{1}{2}$; $2\frac{2}{3}$; $3\frac{3}{4}$; $4\frac{4}{5}$.

Запишите следующую разность в цепочке данных выражений. Догадайтесь, чему она равна (проверьте вычислением).

Сначала проанализируем последовательность выражений. Каждое выражение имеет вид $n - \frac{1}{n}$. В представленной цепочке $n$ последовательно принимает значения 2, 3, 4, 5. Следовательно, следующим членом последовательности будет выражение при $n=6$.

Следующая разность в цепочке: $6 - \frac{1}{6}$.

Теперь посмотрим на результаты вычислений: $1\frac{1}{2}$, $2\frac{2}{3}$, $3\frac{3}{4}$, $4\frac{4}{5}$. Можно заметить, что результат вычисления выражения $n - \frac{1}{n}$ равен смешанному числу $(n-1)\frac{n-1}{n}$.

Основываясь на этой закономерности, можно предположить, что значение выражения $6 - \frac{1}{6}$ будет равно $(6-1)\frac{6-1}{6} = 5\frac{5}{6}$.

Проверим это предположение прямым вычислением:

$6 - \frac{1}{6} = \frac{36}{6} - \frac{1}{6} = \frac{35}{6} = 5\frac{5}{6}$.

Предположение подтвердилось.

Ответ: Следующая разность в цепочке — $6 - \frac{1}{6}$, ее значение равно $5\frac{5}{6}$.

Какая разность будет на 10-м месте? Не вычисляя, запишите её значение.

В данной последовательности на первом месте стоит выражение с $n=2$, на втором месте — с $n=3$, и так далее. Таким образом, номер $k$ в последовательности связан с числом $n$ формулой $n = k + 1$.

Следовательно, на 10-м месте ($k=10$) будет стоять разность, у которой $n = 10 + 1 = 11$.

Сама разность будет иметь вид: $11 - \frac{1}{11}$.

Используя установленную ранее закономерность, что значение выражения $n - \frac{1}{n}$ равно $(n-1)\frac{n-1}{n}$, мы можем записать результат без вычислений.

Для $n=11$ значение будет равно $(11-1)\frac{11-1}{11} = 10\frac{10}{11}$.

Ответ: Разность на 10-м месте — $11 - \frac{1}{11}$, её значение — $10\frac{10}{11}$.