Номер 841, страница 210 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

9.4. Умножение дробей. Глава 9. Действия с дробями - номер 841, страница 210.

841 ИЩЕМ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ Даны выражения:

$1 - \frac{1}{2}$, $(1 - \frac{1}{2}) \cdot (1 - \frac{1}{3})$, $(1 - \frac{1}{2}) \cdot (1 - \frac{1}{3}) \cdot (1 - \frac{1}{4})$

1) Вычислите значение каждого из выражений.

2) Подметьте закономерность, по которой составляют данные выражения, и запишите следующее выражение. Догадайтесь, не вычисляя, чему равно его значение. Проверьте себя с помощью вычислений.

1) Вычислим значение каждого из выражений.

Первое выражение:
$1 - \frac{1}{2} = \frac{2}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Второе выражение:
$(1 - \frac{1}{2}) \cdot (1 - \frac{1}{3}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{3}{3} - \frac{1}{3}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Третье выражение:
$(1 - \frac{1}{2}) \cdot (1 - \frac{1}{3}) \cdot (1 - \frac{1}{4}) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}) \cdot (1 - \frac{1}{4}) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{4}{4} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 4} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

Ответ: значения выражений равны соответственно $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{4}$.

2) Проанализируем полученные результаты. Значение первого выражения, последний множитель которого $(1 - \frac{1}{2})$, равно $\frac{1}{2}$. Значение второго выражения, последний множитель которого $(1 - \frac{1}{3})$, равно $\frac{1}{3}$. Значение третьего выражения, последний множитель которого $(1 - \frac{1}{4})$, равно $\frac{1}{4}$.

Закономерность заключается в том, что каждое следующее выражение получается путем умножения предыдущего на новый множитель вида $(1 - \frac{1}{n})$, где $n$ на единицу больше знаменателя в последнем множителе предыдущего выражения. При этом значение всего выражения равно дроби $\frac{1}{n}$, где $n$ — знаменатель в последнем множителе.

Следуя этой закономерности, следующее (четвертое) выражение в последовательности будет:
$(1 - \frac{1}{2}) \cdot (1 - \frac{1}{3}) \cdot (1 - \frac{1}{4}) \cdot (1 - \frac{1}{5})$

Можно догадаться, что его значение будет равно $\frac{1}{5}$, по аналогии с предыдущими результатами.

Проверим себя с помощью вычислений. Мы уже знаем, что произведение первых трех множителей равно $\frac{1}{4}$:
$(1 - \frac{1}{2}) \cdot (1 - \frac{1}{3}) \cdot (1 - \frac{1}{4}) \cdot (1 - \frac{1}{5}) = \frac{1}{4} \cdot (1 - \frac{1}{5}) = \frac{1}{4} \cdot (\frac{5}{5} - \frac{1}{5}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{1 \cdot 4}{4 \cdot 5} = \frac{1}{5}$
Предположение оказалось верным.

Ответ: следующее выражение — $(1 - \frac{1}{2}) \cdot (1 - \frac{1}{3}) \cdot (1 - \frac{1}{4}) \cdot (1 - \frac{1}{5})$, его значение равно $\frac{1}{5}$.