Номер 843, страница 211 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

9.4. Умножение дробей. Глава 9. Действия с дробями - номер 843, страница 211.

843 НАБЛЮДАЕМ Рассмотрите последовательность чисел:

$\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2}\right)^2, \left(\frac{1}{2}\right)^3, \dots$

Начиная с какого показателя степени числа в этой последовательности будут меньше $\frac{1}{10}$? $\frac{1}{100}$? $\frac{1}{1000}$?

Данная последовательность чисел представляет собой степени числа $\frac{1}{2}$. Общий член этой последовательности можно записать формулой $a_n = (\frac{1}{2})^n = \frac{1}{2^n}$, где $n$ — натуральное число, являющееся показателем степени.

Чтобы найти, начиная с какого показателя степени $n$ члены последовательности будут меньше заданного числа, нужно решить соответствующее неравенство для каждого случая.

...будут меньше $\frac{1}{10}$?

Мы ищем наименьшее натуральное число $n$, для которого выполняется неравенство: $(\frac{1}{2})^n < \frac{1}{10}$ Это неравенство равносильно следующему: $\frac{1}{2^n} < \frac{1}{10}$ Поскольку обе части неравенства положительны, мы можем взять обратные им числа, изменив при этом знак неравенства на противоположный: $2^n > 10$ Теперь подберем наименьшее натуральное $n$, удовлетворяющее этому условию, проверяя степени числа 2: $2^3 = 8$ (не больше 10) $2^4 = 16$ (больше 10) Следовательно, наименьший показатель степени, при котором неравенство выполняется, это 4.

Ответ: 4.

...будут меньше $\frac{1}{100}$?

Аналогично, решаем неравенство: $(\frac{1}{2})^n < \frac{1}{100}$ Это неравенство равносильно $2^n > 100$. Продолжим проверку степеней числа 2: $2^6 = 64$ (не больше 100) $2^7 = 128$ (больше 100) Таким образом, наименьший показатель степени, удовлетворяющий условию, равен 7.

Ответ: 7.

...будут меньше $\frac{1}{1000}$?

Решаем неравенство: $(\frac{1}{2})^n < \frac{1}{1000}$ Это неравенство равносильно $2^n > 1000$. Продолжим проверку степеней числа 2: $2^9 = 512$ (не больше 1000) $2^{10} = 1024$ (больше 1000) Следовательно, наименьший показатель степени, удовлетворяющий условию, равен 10.

Ответ: 10.