Номер 848, страница 211 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

9.4. Умножение дробей. Глава 9. Действия с дробями - номер 848, страница 211.

848 Какой из кругов (рис. 9.6) составлен из двух равных частей? Нарисуйте эту часть круга в тетради.

Рис. 9.6

Чтобы определить, какой из кругов составлен из двух равных частей, необходимо проанализировать, являются ли эти части одинаковыми по форме и площади (то есть, конгруэнтными). Сделаем это для каждого рисунка.

а)

Рассмотрим круг на рисунке а). Разделяющая линия представляет собой S-образную кривую, которая проходит через центр круга. Эта кривая состоит из двух одинаковых полуокружностей, построенных на двух соседних радиусах, лежащих на одной прямой (диаметре). У такой фигуры есть центральная симметрия. Если мысленно повернуть верхнюю часть на 180 градусов ($180^\circ$) вокруг центра большого круга, она в точности совпадет с нижней частью. Это означает, что обе части равны.

Также можно доказать равенство площадей. Пусть радиус большого круга равен $R$. Тогда его общая площадь $S_{круг} = \pi R^2$. Разделяющая линия образована двумя полуокружностями, радиус каждой из которых равен $r = R/2$. Площадь верхней фигуры можно рассчитать как площадь верхней половины большого круга, из которой вырезана правая маленькая полуокружность и к которой добавлена левая маленькая полуокружность. $S_{верх} = (\frac{1}{2}\pi R^2) - (\frac{1}{2}\pi r^2) + (\frac{1}{2}\pi r^2) = \frac{1}{2}\pi R^2$. Площадь верхней части составляет ровно половину площади всего круга. Следовательно, площадь нижней части также равна половине, и части равны.

б)

Рассмотрим круг на рисунке б). Здесь разделяющая линия также состоит из двух полуокружностей радиусом $r=R/2$, но обе они выгнуты в одну сторону (вверх). Уже визуально можно определить, что верхняя часть круга значительно меньше нижней. Такая фигура не обладает симметрией, которая бы обеспечивала равенство частей.

Проверим это расчетом площадей. Площадь верхней части равна площади верхней половины большого круга минус площади двух маленьких полуокружностей: $S_{верх} = \frac{1}{2}\pi R^2 - 2 \cdot (\frac{1}{2}\pi r^2) = \frac{1}{2}\pi R^2 - \pi (\frac{R}{2})^2 = \frac{1}{2}\pi R^2 - \frac{1}{4}\pi R^2 = \frac{1}{4}\pi R^2$. Площадь нижней части равна площади нижней половины большого круга плюс площади двух маленьких полуокружностей: $S_{низ} = \frac{1}{2}\pi R^2 + 2 \cdot (\frac{1}{2}\pi r^2) = \frac{1}{2}\pi R^2 + \pi (\frac{R}{2})^2 = \frac{1}{2}\pi R^2 + \frac{1}{4}\pi R^2 = \frac{3}{4}\pi R^2$. Поскольку $S_{верх} \neq S_{низ}$, части круга на рисунке б) не равны.

Таким образом, круг, составленный из двух равных частей, — это круг на рисунке а).

Для выполнения второй части задания нужно нарисовать одну из этих равных частей. Она выглядит как половина круга, у которой с одной стороны от центра по диаметру вырезан полукруг, а с другой стороны такой же полукруг добавлен.

Изображение этой части:

Ответ: Круг, изображенный на рисунке а), составлен из двух равных частей.