Страница 203 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

797 a) Сшили костюм. На юбку ушло $2 \frac{1}{2}$ м ткани, а на жакет - на $\frac{3}{4}$ м ткани больше. Сколько ткани ушло на костюм?

б) Вера и Коля вышли из своих домов, которые находятся на одной улице, и пошли навстречу друг другу. Вера прошла $1 \frac{2}{5}$ км, а Коля - на $\frac{3}{10}$ км больше. Чему равно расстояние между домами Веры и Коли?

а)

1. Сначала определим, сколько ткани ушло на пошив жакета. По условию, это на $\frac{3}{4}$ м больше, чем на юбку, на которую ушло $2\frac{1}{2}$ м. Для этого сложим количество ткани на юбку и разницу.
$2\frac{1}{2} + \frac{3}{4} = 2\frac{2}{4} + \frac{3}{4} = 2\frac{5}{4} = 3\frac{1}{4}$ м ткани ушло на жакет.

2. Теперь сложим количество ткани, ушедшее на юбку и на жакет, чтобы найти общий расход ткани на весь костюм.
$2\frac{1}{2} + 3\frac{1}{4} = 2\frac{2}{4} + 3\frac{1}{4} = 5\frac{3}{4}$ м ткани ушло на весь костюм.

Ответ: на костюм ушло $5\frac{3}{4}$ м ткани.

б)

1. Найдем расстояние, которое прошел Коля до встречи с Верой. Он прошел на $\frac{3}{10}$ км больше, чем Вера, которая прошла $1\frac{2}{5}$ км.
$1\frac{2}{5} + \frac{3}{10} = 1\frac{4}{10} + \frac{3}{10} = 1\frac{7}{10}$ км прошел Коля.

2. Расстояние между домами равно сумме путей, которые прошли Вера и Коля до встречи, так как они шли навстречу друг другу.
$1\frac{2}{5} + 1\frac{7}{10} = 1\frac{4}{10} + 1\frac{7}{10} = 2\frac{11}{10} = 3\frac{1}{10}$ км.

Ответ: расстояние между домами Веры и Коли равно $3\frac{1}{10}$ км.

798 Запишите одно за другим десять чисел, первое из которых равно 1, а каждое следующее на $ \frac{1}{2} $ больше предыдущего. Найдите сумму всех этих чисел.

Данная последовательность чисел представляет собой арифметическую прогрессию, так как каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа (разности прогрессии).

По условию задачи мы имеем следующие параметры прогрессии:

• Первый член прогрессии: $a_1 = 1$
• Разность прогрессии: $d = \frac{1}{2} = 0,5$
• Количество членов прогрессии: $n = 10$

Запишите одно за другим десять чисел

Для того чтобы найти все десять чисел, мы начнем с первого числа и будем последовательно прибавлять разность прогрессии $d = 0,5$.

$a_1 = 1$
$a_2 = a_1 + d = 1 + 0,5 = 1,5$
$a_3 = a_2 + d = 1,5 + 0,5 = 2$
$a_4 = a_3 + d = 2 + 0,5 = 2,5$
$a_5 = a_4 + d = 2,5 + 0,5 = 3$
$a_6 = a_5 + d = 3 + 0,5 = 3,5$
$a_7 = a_6 + d = 3,5 + 0,5 = 4$
$a_8 = a_7 + d = 4 + 0,5 = 4,5$
$a_9 = a_8 + d = 4,5 + 0,5 = 5$
$a_{10} = a_9 + d = 5 + 0,5 = 5,5$

Таким образом, искомая последовательность чисел: 1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5; 4; 4,5; 5; 5,5.

Найдите сумму всех этих чисел

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии используется формула:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

В нашем случае известны все необходимые значения: первый член $a_1 = 1$, последний (десятый) член $a_{10} = 5,5$ и количество членов $n = 10$.

Подставим эти значения в формулу для вычисления суммы:

$S_{10} = \frac{1 + 5,5}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{6,5}{2} \cdot 10$

$S_{10} = 3,25 \cdot 10$

$S_{10} = 32,5$

Ответ: последовательность чисел: 1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5; 4; 4,5; 5; 5,5. Сумма всех этих чисел равна 32,5.

799 Представьте смешанную дробь в виде неправильной дроби и найдите разность:

а) $1\frac{1}{4} - \frac{1}{2}$;

б) $2\frac{1}{2} - \frac{2}{3}$;

в) $3\frac{2}{3} - 2\frac{4}{5}$;

г) $2\frac{3}{4} - 1\frac{5}{6}$.

а) $1\frac{1}{4} - \frac{1}{2}$

Чтобы найти разность, сначала представим смешанную дробь $1\frac{1}{4}$ в виде неправильной дроби. Для этого умножим целую часть на знаменатель и прибавим числитель, а знаменатель оставим прежним: $1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$.

Теперь вычтем из полученной дроби $\frac{1}{2}$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 2 это 4. $\frac{5}{4} - \frac{1}{2} = \frac{5}{4} - \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{5}{4} - \frac{2}{4} = \frac{5-2}{4} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$

б) $2\frac{1}{2} - \frac{2}{3}$

Представим смешанную дробь $2\frac{1}{2}$ в виде неправильной дроби: $2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$.

Теперь найдем разность $\frac{5}{2} - \frac{2}{3}$. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2 и 3 это 6. $\frac{5}{2} - \frac{2}{3} = \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{15}{6} - \frac{4}{6} = \frac{15-4}{6} = \frac{11}{6}$.

Результат можно представить в виде смешанной дроби: $\frac{11}{6} = 1\frac{5}{6}$.

Ответ: $\frac{11}{6}$

в) $3\frac{2}{3} - 2\frac{4}{5}$

Представим обе смешанные дроби в виде неправильных дробей: $3\frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{11}{3}$. $2\frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{14}{5}$.

Теперь найдем разность полученных дробей. Наименьший общий знаменатель для 3 и 5 это 15. $\frac{11}{3} - \frac{14}{5} = \frac{11 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{14 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{55}{15} - \frac{42}{15} = \frac{55-42}{15} = \frac{13}{15}$.

Ответ: $\frac{13}{15}$

г) $2\frac{3}{4} - 1\frac{5}{6}$

Представим обе смешанные дроби в виде неправильных дробей: $2\frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{11}{4}$. $1\frac{5}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{11}{6}$.

Теперь найдем разность. Наименьший общий знаменатель для 4 и 6 это 12. $\frac{11}{4} - \frac{11}{6} = \frac{11 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{11 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{33}{12} - \frac{22}{12} = \frac{33-22}{12} = \frac{11}{12}$.

Ответ: $\frac{11}{12}$

800 Вычислите:

а) $1 - \frac{1}{3}$;

б) $1 - \frac{3}{4}$;

в) $1 - \frac{11}{20}$;

г) $1 - \frac{7}{10}$;

д) $1 - \frac{16}{17}$.

Образец. $1 - \frac{5}{6} = \frac{6}{6} - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$.

а) Чтобы вычесть дробь из единицы, представим 1 в виде дроби со знаменателем 3, то есть $1 = \frac{3}{3}$. Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{3 - 1}{3} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

б) Представим 1 в виде дроби со знаменателем 4, то есть $1 = \frac{4}{4}$. Выполним вычитание:

$1 - \frac{3}{4} = \frac{4}{4} - \frac{3}{4} = \frac{4 - 3}{4} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

в) Представим 1 в виде дроби со знаменателем 20, то есть $1 = \frac{20}{20}$. Выполним вычитание:

$1 - \frac{11}{20} = \frac{20}{20} - \frac{11}{20} = \frac{20 - 11}{20} = \frac{9}{20}$

Ответ: $\frac{9}{20}$

г) Представим 1 в виде дроби со знаменателем 10, то есть $1 = \frac{10}{10}$. Выполним вычитание:

$1 - \frac{7}{10} = \frac{10}{10} - \frac{7}{10} = \frac{10 - 7}{10} = \frac{3}{10}$

Ответ: $\frac{3}{10}$

д) Представим 1 в виде дроби со знаменателем 17, то есть $1 = \frac{17}{17}$. Выполним вычитание:

$1 - \frac{16}{17} = \frac{17}{17} - \frac{16}{17} = \frac{17 - 16}{17} = \frac{1}{17}$

Ответ: $\frac{1}{17}$

801 а) Турист прошёл $ \frac{2}{5} $ пути. Какую часть пути ему осталось пройти? Какая часть пути больше? На сколько?

б) Прочитали $ \frac{1}{4} $ всей книги. Какую часть книги осталось прочитать? Больше или меньше половины книги осталось прочитать? На сколько?

а) Весь путь принимаем за единицу (1). Турист прошёл $\frac{2}{5}$ пути. Чтобы найти, какую часть пути ему осталось пройти, нужно из всего пути вычесть пройденную часть:
$1 - \frac{2}{5} = \frac{5}{5} - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$
Итак, туристу осталось пройти $\frac{3}{5}$ пути.
Теперь сравним пройденную часть ($\frac{2}{5}$) и оставшуюся ($\frac{3}{5}$). Так как знаменатели дробей одинаковы, сравниваем их числители. Поскольку $3 > 2$, то $\frac{3}{5} > \frac{2}{5}$. Значит, оставшаяся часть пути больше.
Чтобы узнать, на сколько больше оставшаяся часть, вычтем из большей дроби меньшую:
$\frac{3}{5} - \frac{2}{5} = \frac{1}{5}$
Оставшаяся часть пути больше пройденной на $\frac{1}{5}$.
Ответ: осталось пройти $\frac{3}{5}$ пути; оставшаяся часть больше пройденной на $\frac{1}{5}$.

б) Всю книгу принимаем за единицу (1). Прочитали $\frac{1}{4}$ всей книги. Чтобы найти, какую часть книги осталось прочитать, нужно из целой книги вычесть прочитанную часть:
$1 - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
Осталось прочитать $\frac{3}{4}$ книги.
Теперь сравним оставшуюся часть ($\frac{3}{4}$) с половиной книги ($\frac{1}{2}$). Чтобы сравнить дроби, приведём их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 4 и 2 — это 4.
$\frac{1}{2} = \frac{1 \times 2}{2 \times 2} = \frac{2}{4}$
Сравниваем $\frac{3}{4}$ и $\frac{2}{4}$. Так как $3 > 2$, то $\frac{3}{4} > \frac{2}{4}$. Это значит, что осталось прочитать больше половины книги.
Чтобы узнать, на сколько больше, вычтем из оставшейся части половину книги:
$\frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4}$
Осталось прочитать на $\frac{1}{4}$ больше половины книги.
Ответ: осталось прочитать $\frac{3}{4}$ книги; это больше половины книги на $\frac{1}{4}$.

Выполните вычитание (802–805).

802 a) $3 - \frac{1}{2}$;

в) $5 - \frac{2}{5}$;

д) $8 - \frac{2}{3}$;

б) $4 - \frac{1}{9}$;

г) $6 - \frac{3}{7}$;

е) $10 - \frac{5}{6}$.

Образец. $4 - \frac{5}{6} = 3 + 1 - \frac{5}{6} = 3 + \frac{1}{6} = 3\frac{1}{6}$.

а) Для выполнения вычитания представим целое число в виде суммы целой части, на единицу меньшей, и единицы, выраженной в виде дроби с необходимым знаменателем.

$3 - \frac{1}{2} = 2 + 1 - \frac{1}{2} = 2 + \frac{2}{2} - \frac{1}{2} = 2 + \frac{2-1}{2} = 2 + \frac{1}{2} = 2\frac{1}{2}$

Ответ: $2\frac{1}{2}$

б) Выполним вычитание по аналогии с предыдущим примером.

$4 - \frac{1}{9} = 3 + 1 - \frac{1}{9} = 3 + \frac{9}{9} - \frac{1}{9} = 3 + \frac{9-1}{9} = 3 + \frac{8}{9} = 3\frac{8}{9}$

Ответ: $3\frac{8}{9}$

в) $5 - \frac{2}{5} = 4 + 1 - \frac{2}{5} = 4 + \frac{5}{5} - \frac{2}{5} = 4 + \frac{5-2}{5} = 4 + \frac{3}{5} = 4\frac{3}{5}$

Ответ: $4\frac{3}{5}$

г) $6 - \frac{3}{7} = 5 + 1 - \frac{3}{7} = 5 + \frac{7}{7} - \frac{3}{7} = 5 + \frac{7-3}{7} = 5 + \frac{4}{7} = 5\frac{4}{7}$

Ответ: $5\frac{4}{7}$

д) $8 - \frac{2}{3} = 7 + 1 - \frac{2}{3} = 7 + \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = 7 + \frac{3-2}{3} = 7 + \frac{1}{3} = 7\frac{1}{3}$

Ответ: $7\frac{1}{3}$

е) $10 - \frac{5}{6} = 9 + 1 - \frac{5}{6} = 9 + \frac{6}{6} - \frac{5}{6} = 9 + \frac{6-5}{6} = 9 + \frac{1}{6} = 9\frac{1}{6}$

Ответ: $9\frac{1}{6}$