Страница 200 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

782 Сравните числа:

а) $3\frac{1}{2}$ и $4\frac{1}{3}$;

б) $4\frac{3}{4}$ и $4\frac{1}{4}$;

в) $5\frac{1}{4}$ и $5\frac{1}{3}$;

г) $8\frac{2}{3}$ и $8\frac{2}{5}$.

а) Чтобы сравнить смешанные числа $3\frac{1}{2}$ и $4\frac{1}{3}$, в первую очередь нужно сравнить их целые части. Целая часть числа $3\frac{1}{2}$ равна 3, а целая часть числа $4\frac{1}{3}$ равна 4. Так как $3 < 4$, то и все число $3\frac{1}{2}$ меньше, чем $4\frac{1}{3}$.
Ответ: $3\frac{1}{2} < 4\frac{1}{3}$.

б) Сравним числа $4\frac{3}{4}$ и $4\frac{1}{4}$. Целые части этих чисел равны (оба равны 4). В этом случае нужно сравнить их дробные части: $\frac{3}{4}$ и $\frac{1}{4}$. Так как у этих дробей одинаковые знаменатели, большей будет та дробь, у которой больше числитель. Поскольку $3 > 1$, то $\frac{3}{4} > \frac{1}{4}$. Следовательно, $4\frac{3}{4} > 4\frac{1}{4}$.
Ответ: $4\frac{3}{4} > 4\frac{1}{4}$.

в) Сравним числа $5\frac{1}{4}$ и $5\frac{1}{3}$. Целые части этих чисел равны 5. Значит, нужно сравнить их дробные части: $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{3}$. Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 3 это 12.
Приводим первую дробь к знаменателю 12: $\frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12}$.
Приводим вторую дробь к знаменателю 12: $\frac{1}{3} = \frac{1 \times 4}{3 \times 4} = \frac{4}{12}$.
Теперь сравним полученные дроби $\frac{3}{12}$ и $\frac{4}{12}$. Так как $3 < 4$, то $\frac{3}{12} < \frac{4}{12}$. Следовательно, $\frac{1}{4} < \frac{1}{3}$, а значит $5\frac{1}{4} < 5\frac{1}{3}$.
Ответ: $5\frac{1}{4} < 5\frac{1}{3}$.

г) Сравним числа $8\frac{2}{3}$ и $8\frac{2}{5}$. Целые части этих чисел равны 8. Сравним их дробные части: $\frac{2}{3}$ и $\frac{2}{5}$. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 5 это 15.
Приводим первую дробь к знаменателю 15: $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 5}{3 \times 5} = \frac{10}{15}$.
Приводим вторую дробь к знаменателю 15: $\frac{2}{5} = \frac{2 \times 3}{5 \times 3} = \frac{6}{15}$.
Сравним дроби $\frac{10}{15}$ и $\frac{6}{15}$. Так как $10 > 6$, то $\frac{10}{15} > \frac{6}{15}$. Следовательно, $\frac{2}{3} > \frac{2}{5}$, а значит $8\frac{2}{3} > 8\frac{2}{5}$.
Ответ: $8\frac{2}{3} > 8\frac{2}{5}$.

783 a) Велосипедист проехал 23 км за 2 ч. Какой была скорость велосипедиста?

б) Пешеход прошёл 10 км со скоростью 4 км/ч. Сколько часов находился пешеход в пути?

а)

Чтобы найти скорость велосипедиста, необходимо разделить пройденное расстояние на время, за которое это расстояние было пройдено. Формула для расчёта скорости ($v$) выглядит так: $v = S / t$, где $S$ — это расстояние, а $t$ — это время.
По условию задачи:
Расстояние $S = 23$ км.
Время $t = 2$ ч.
Подставим эти значения в формулу:
$v = 23 \text{ км} / 2 \text{ ч} = 11,5$ км/ч.
Ответ: 11,5 км/ч.

б)

Чтобы найти, сколько часов пешеход находился в пути, нужно разделить расстояние, которое он прошёл, на его скорость. Формула для расчёта времени ($t$) выглядит так: $t = S / v$, где $S$ — это расстояние, а $v$ — это скорость.
По условию задачи:
Расстояние $S = 10$ км.
Скорость $v = 4$ км/ч.
Подставим эти значения в формулу:
$t = 10 \text{ км} / 4 \text{ км/ч} = 2,5$ ч.
Ответ: 2,5 часа.

784 Выразите в километрах:

а) 2 км 400 м, 1 км 750 м, 3 км 250 м, 6 км 200 м;

б) 3200 м, 1450 м, 5500 м, 20300 м.

Образец. Выразим 3 км 500 м в километрах.

Так как 500 м = $\frac{1}{2}$ км, то 3 км 500 м = $3\frac{1}{2}$ км.

Для решения этой задачи воспользуемся основным соотношением между километрами и метрами: $1 \text{ километр} = 1000 \text{ метров}$. Отсюда следует, что $1 \text{ метр} = \frac{1}{1000} \text{ километра}$.

а) Выразим в километрах значения, состоящие из километров и метров. Для этого нужно перевести метры в километры и прибавить к имеющимся километрам.

2 км 400 м:
Переводим метры в километры: $400 \text{ м} = \frac{400}{1000} \text{ км}$. Сокращаем полученную дробь: $\frac{400}{1000} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
Складываем целую и дробную части: $2 \text{ км} + \frac{2}{5} \text{ км} = 2\frac{2}{5} \text{ км}$.

1 км 750 м:
Переводим метры в километры: $750 \text{ м} = \frac{750}{1000} \text{ км}$. Сокращаем дробь: $\frac{750}{1000} = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$.
Складываем целую и дробную части: $1 \text{ км} + \frac{3}{4} \text{ км} = 1\frac{3}{4} \text{ км}$.

3 км 250 м:
Переводим метры в километры: $250 \text{ м} = \frac{250}{1000} \text{ км}$. Сокращаем дробь: $\frac{250}{1000} = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.
Складываем целую и дробную части: $3 \text{ км} + \frac{1}{4} \text{ км} = 3\frac{1}{4} \text{ км}$.

6 км 200 м:
Переводим метры в километры: $200 \text{ м} = \frac{200}{1000} \text{ км}$. Сокращаем дробь: $\frac{200}{1000} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Складываем целую и дробную части: $6 \text{ км} + \frac{1}{5} \text{ км} = 6\frac{1}{5} \text{ км}$.

Ответ: $2\frac{2}{5}$ км; $1\frac{3}{4}$ км; $3\frac{1}{4}$ км; $6\frac{1}{5}$ км.

б) Выразим в километрах значения, данные в метрах. Для этого разделим количество метров на 1000 и, если возможно, выделим целую часть и сократим дробную.

3200 м:
$3200 \text{ м} = \frac{3200}{1000} \text{ км} = 3\frac{200}{1000} \text{ км}$. Сокращаем дробную часть: $3\frac{2}{10} \text{ км} = 3\frac{1}{5} \text{ км}$.

1450 м:
$1450 \text{ м} = \frac{1450}{1000} \text{ км} = 1\frac{450}{1000} \text{ км}$. Сокращаем дробную часть: $1\frac{45}{100} \text{ км} = 1\frac{9}{20} \text{ км}$.

5500 м:
$5500 \text{ м} = \frac{5500}{1000} \text{ км} = 5\frac{500}{1000} \text{ км}$. Сокращаем дробную часть: $5\frac{5}{10} \text{ км} = 5\frac{1}{2} \text{ км}$.

20 300 м:
$20300 \text{ м} = \frac{20300}{1000} \text{ км} = 20\frac{300}{1000} \text{ км}$. Сокращаем дробную часть: $20\frac{3}{10} \text{ км}$.

Ответ: $3\frac{1}{5}$ км; $1\frac{9}{20}$ км; $5\frac{1}{2}$ км; $20\frac{3}{10}$ км.

785 Выразите в часах:

а) 2 ч 20 мин, 1 ч 30 мин, 3 ч 15 мин, 5 ч 24 мин;

б) 90 мин, 250 мин, 180 мин, 165 мин.

Для того чтобы выразить время в часах, необходимо минуты представить в виде доли часа. Для этого количество минут нужно разделить на 60, так как 1 час равен 60 минутам.

а)

2 ч 20 мин: Целая часть составляет 2 часа. Дробную часть находим, переводя минуты в часы: $ 20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \text{ ч} $.
Складываем целую и дробную части: $ 2 + \frac{1}{3} = 2\frac{1}{3} \text{ ч} $.
Ответ: $ 2\frac{1}{3} $ ч.

1 ч 30 мин: Целая часть составляет 1 час. Дробная часть: $ 30 \text{ мин} = \frac{30}{60} \text{ ч} = \frac{1}{2} \text{ ч} $.
Складываем целую и дробную части: $ 1 + \frac{1}{2} = 1\frac{1}{2} \text{ ч} $.
Ответ: $ 1\frac{1}{2} $ ч.

3 ч 15 мин: Целая часть составляет 3 часа. Дробная часть: $ 15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4} \text{ ч} $.
Складываем целую и дробную части: $ 3 + \frac{1}{4} = 3\frac{1}{4} \text{ ч} $.
Ответ: $ 3\frac{1}{4} $ ч.

5 ч 24 мин: Целая часть составляет 5 часов. Дробная часть: $ 24 \text{ мин} = \frac{24}{60} \text{ ч} = \frac{2}{5} \text{ ч} $.
Складываем целую и дробную части: $ 5 + \frac{2}{5} = 5\frac{2}{5} \text{ ч} $.
Ответ: $ 5\frac{2}{5} $ ч.

б)

90 мин: Чтобы перевести 90 минут в часы, делим количество минут на 60.
$ \frac{90}{60} \text{ ч} = \frac{3}{2} \text{ ч} = 1\frac{1}{2} \text{ ч} $.
Ответ: $ 1\frac{1}{2} $ ч.

250 мин: Чтобы перевести 250 минут в часы, делим количество минут на 60.
$ \frac{250}{60} \text{ ч} = \frac{25}{6} \text{ ч} = 4\frac{1}{6} \text{ ч} $.
Ответ: $ 4\frac{1}{6} $ ч.

180 мин: Чтобы перевести 180 минут в часы, делим количество минут на 60.
$ \frac{180}{60} \text{ ч} = 3 \text{ ч} $.
Ответ: 3 ч.

165 мин: Чтобы перевести 165 минут в часы, делим количество минут на 60.
$ \frac{165}{60} \text{ ч} = \frac{11}{4} \text{ ч} = 2\frac{3}{4} \text{ ч} $.
Ответ: $ 2\frac{3}{4} $ ч.

786 Выполните сложение и представьте результат в виде смешанной дроби:

а) $ \frac{11}{12} + \frac{7}{12}; $

б) $ \frac{11}{24} + \frac{2}{3}; $

в) $ \frac{3}{4} + \frac{4}{5}; $

г) $ \frac{4}{15} + \frac{17}{20}; $

д) $ \frac{5}{12} + \frac{11}{18}; $

е) $ \frac{5}{6} + \frac{7}{18}. $

а) Чтобы сложить дроби $ \frac{11}{12} $ и $ \frac{7}{12} $, нужно сложить их числители, так как знаменатели у них одинаковые: $ \frac{11}{12} + \frac{7}{12} = \frac{11 + 7}{12} = \frac{18}{12} $. Получилась неправильная дробь. Чтобы представить ее в виде смешанной дроби, сначала сократим ее, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 6: $ \frac{18 \div 6}{12 \div 6} = \frac{3}{2} $. Теперь выделим целую часть: $ \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} $. Ответ: $ 1\frac{1}{2} $

б) Чтобы сложить дроби $ \frac{11}{24} $ и $ \frac{2}{3} $, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 24 и 3 — это 24. Для второй дроби найдем дополнительный множитель: $ 24 \div 3 = 8 $. Умножим числитель и знаменатель второй дроби на 8: $ \frac{2}{3} = \frac{2 \times 8}{3 \times 8} = \frac{16}{24} $. Теперь выполним сложение: $ \frac{11}{24} + \frac{16}{24} = \frac{11 + 16}{24} = \frac{27}{24} $. Преобразуем неправильную дробь в смешанную. Выделим целую часть: $ \frac{27}{24} = 1\frac{3}{24} $. Сократим дробную часть на 3: $ \frac{3 \div 3}{24 \div 3} = \frac{1}{8} $. Таким образом, результат равен $ 1\frac{1}{8} $. Ответ: $ 1\frac{1}{8} $

в) Для сложения дробей $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{4}{5} $ найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ) для 4 и 5. Так как числа 4 и 5 взаимно простые, их НОЗ равен их произведению: $ 4 \times 5 = 20 $. Приведем дроби к знаменателю 20. Дополнительный множитель для первой дроби $ 20 \div 4 = 5 $, для второй — $ 20 \div 5 = 4 $. $ \frac{3 \times 5}{4 \times 5} + \frac{4 \times 4}{5 \times 4} = \frac{15}{20} + \frac{16}{20} = \frac{15 + 16}{20} = \frac{31}{20} $. Выделим целую часть из неправильной дроби: $ \frac{31}{20} = 1\frac{11}{20} $. Ответ: $ 1\frac{11}{20} $

г) Сложим дроби $ \frac{4}{15} $ и $ \frac{17}{20} $. Найдем наименьший общий знаменатель для 15 и 20. Разложим числа на простые множители: $ 15 = 3 \times 5 $, $ 20 = 2^2 \times 5 $. НОЗ(15, 20) = $ 2^2 \times 3 \times 5 = 60 $. Приведем дроби к знаменателю 60. Дополнительный множитель для первой дроби $ 60 \div 15 = 4 $, для второй — $ 60 \div 20 = 3 $. $ \frac{4 \times 4}{15 \times 4} + \frac{17 \times 3}{20 \times 3} = \frac{16}{60} + \frac{51}{60} = \frac{16 + 51}{60} = \frac{67}{60} $. Выделим целую часть: $ \frac{67}{60} = 1\frac{7}{60} $. Ответ: $ 1\frac{7}{60} $

д) Для сложения $ \frac{5}{12} + \frac{11}{18} $ найдем НОЗ для 12 и 18. Разложим на множители: $ 12 = 2^2 \times 3 $, $ 18 = 2 \times 3^2 $. НОЗ(12, 18) = $ 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36 $. Приведем дроби к знаменателю 36. Дополнительный множитель для первой дроби $ 36 \div 12 = 3 $, для второй — $ 36 \div 18 = 2 $. $ \frac{5 \times 3}{12 \times 3} + \frac{11 \times 2}{18 \times 2} = \frac{15}{36} + \frac{22}{36} = \frac{15 + 22}{36} = \frac{37}{36} $. Выделим целую часть: $ \frac{37}{36} = 1\frac{1}{36} $. Ответ: $ 1\frac{1}{36} $

е) Сложим дроби $ \frac{5}{6} $ и $ \frac{7}{18} $. Наименьший общий знаменатель для 6 и 18 — это 18, так как 18 делится на 6. Дополнительный множитель для первой дроби равен $ 18 \div 6 = 3 $. $ \frac{5 \times 3}{6 \times 3} + \frac{7}{18} = \frac{15}{18} + \frac{7}{18} = \frac{15 + 7}{18} = \frac{22}{18} $. Сократим полученную дробь на 2: $ \frac{22 \div 2}{18 \div 2} = \frac{11}{9} $. Выделим целую часть: $ \frac{11}{9} = 1\frac{2}{9} $. Ответ: $ 1\frac{2}{9} $

787 а) На тренировке Антон сначала $\frac{5}{12}$ ч разминался, а после разминки $\frac{3}{4}$ ч занимался с тренером. Сколько времени Антон тренировался? Выразите ответ сначала в часах, а затем в часах и минутах.

б) Автобус прошёл расстояние между городом и посёлком с одной остановкой, которая заняла $\frac{3}{10}$ ч. До остановки автобус шёл $\frac{4}{5}$ ч, а после остановки $-$ $\frac{2}{3}$ ч. Сколько времени затратил пассажир этого автобуса на весь путь? Выразите ответ сначала в часах, а затем в часах и минутах.

а) Чтобы найти общее время тренировки, нужно сложить время разминки и время занятий с тренером.
1. Найдём общее время в часах. Для этого сложим дроби $\frac{5}{12}$ и $\frac{3}{4}$. Приведём их к общему знаменателю 12:
$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$
Теперь сложим время:
$\frac{5}{12} + \frac{9}{12} = \frac{14}{12} = \frac{7}{6}$ ч.
Выделим целую часть: $\frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}$ ч.
2. Теперь выразим ответ в часах и минутах. Мы уже знаем, что тренировка длилась 1 полный час и еще $\frac{1}{6}$ часа. Переведём $\frac{1}{6}$ часа в минуты. В одном часе 60 минут:
$\frac{1}{6} \cdot 60 = 10$ минут.
Таким образом, общее время тренировки составляет 1 час 10 минут.
Ответ: Антон тренировался $\frac{7}{6}$ ч (или $1\frac{1}{6}$ ч), что составляет 1 час 10 минут.

б) Чтобы найти общее время, которое пассажир затратил на весь путь, нужно сложить время в пути до остановки, время самой остановки и время в пути после остановки.
1. Найдём общее время в часах. Для этого сложим дроби $\frac{4}{5}$, $\frac{3}{10}$ и $\frac{2}{3}$. Найдём общий знаменатель для 5, 10 и 3. Это число 30.
Приведём дроби к общему знаменателю:
$\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{24}{30}$
$\frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{9}{30}$
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 10}{3 \cdot 10} = \frac{20}{30}$
Теперь сложим время:
$\frac{24}{30} + \frac{9}{30} + \frac{20}{30} = \frac{24+9+20}{30} = \frac{53}{30}$ ч.
Выделим целую часть: $\frac{53}{30} = 1\frac{23}{30}$ ч.
2. Теперь выразим ответ в часах и минутах. Путь занял 1 полный час и еще $\frac{23}{30}$ часа. Переведём $\frac{23}{30}$ часа в минуты:
$\frac{23}{30} \cdot 60 = 23 \cdot 2 = 46$ минут.
Таким образом, общее время в пути составляет 1 час 46 минут.
Ответ: пассажир затратил на весь путь $\frac{53}{30}$ ч (или $1\frac{23}{30}$ ч), что составляет 1 час 46 минут.

788. Сколько чисел в римской нумерации можно записать, используя цифры X и L?

Для решения этой задачи необходимо вспомнить правила записи чисел в римской системе счисления, используя только предоставленные цифры: X (10) и L (50).

Основные правила, которые нам понадобятся:
1. Принцип сложения: Когда цифры записаны в порядке убывания их значений, их значения складываются. Например, $LX = 50 + 10 = 60$.
2. Принцип вычитания: Когда меньшая цифра стоит перед большей, её значение вычитается из значения большей. В нашем случае, X (10) может стоять перед L (50) для образования числа $XL = 50 - 10 = 40$.
3. Правила повторения: Цифры, обозначающие степени десяти (I, X, C, M), могут повторяться до трёх раз подряд. Цифры, обозначающие половину от степени десяти (V, L, D), не могут повторяться. Таким образом, XXX (30) — это корректная запись, а LL (100) — некорректная.

Теперь перечислим все возможные комбинации цифр X и L, которые образуют правильные римские числа, и отсортируем их по возрастанию:

1. X — это число 10.
2. XX — это число 20 ($10 + 10$).
3. XXX — это число 30 ($10 + 10 + 10$). Запись XXXX невозможна, так как цифра X не может повторяться более трех раз.
4. XL — это число 40 ($50 - 10$). Используется принцип вычитания.
5. L — это число 50.
6. LX — это число 60 ($50 + 10$).
7. LXX — это число 70 ($50 + 10 + 10$).
8. LXXX — это число 80 ($50 + 10 + 10 + 10$).

Другие комбинации, такие как LL или XXL, являются некорректными согласно правилам римской нумерации. Таким образом, всего можно составить 8 различных чисел.

Ответ: 8.

789 а) Учащиеся пятых классов посадили 40 деревьев. Учащиеся 5А класса посадили 16 деревьев, а остальные деревья посадили учащиеся 5Б. Какую часть деревьев посадил каждый класс?

б) Учитель математики взял на проверку 20 тетрадей у учащихся 5 класса и 12 тетрадей у учащихся 10 класса. Какую часть всех взятых на проверку тетрадей составляют тетради пятиклассников? тетради десятиклассников?

а)

1. Сначала найдем, сколько деревьев посадили учащиеся 5Б класса. Для этого из общего количества деревьев (40) вычтем количество деревьев, посаженных 5А классом (16):
$40 - 16 = 24$ (дерева) - посадили учащиеся 5Б класса.

2. Теперь определим, какую часть от общего числа деревьев посадил каждый класс. Для этого нужно количество деревьев, посаженных классом, разделить на общее количество деревьев.

Часть деревьев, посаженная 5А классом, составляет $\frac{16}{40}$. Сократим эту дробь, разделив числитель и знаменатель на 8:
$\frac{16}{40} = \frac{16 \div 8}{40 \div 8} = \frac{2}{5}$

Часть деревьев, посаженная 5Б классом, составляет $\frac{24}{40}$. Сократим эту дробь, разделив числитель и знаменатель на 8:
$\frac{24}{40} = \frac{24 \div 8}{40 \div 8} = \frac{3}{5}$

Ответ: учащиеся 5А класса посадили $\frac{2}{5}$ всех деревьев, а учащиеся 5Б класса — $\frac{3}{5}$ всех деревьев.

б)

1. Найдем общее количество тетрадей, которые учитель взял на проверку. Для этого сложим количество тетрадей учащихся 5 класса (20) и 10 класса (12):
$20 + 12 = 32$ (тетради) - всего.

2. Определим, какую часть от общего количества составляют тетради пятиклассников. Для этого разделим количество их тетрадей на общее число тетрадей и сократим полученную дробь:
$\frac{20}{32} = \frac{20 \div 4}{32 \div 4} = \frac{5}{8}$

3. Определим, какую часть от общего количества составляют тетради десятиклассников. Для этого разделим количество их тетрадей на общее число тетрадей и сократим полученную дробь:
$\frac{12}{32} = \frac{12 \div 4}{32 \div 4} = \frac{3}{8}$

Ответ: тетради пятиклассников составляют $\frac{5}{8}$ всех тетрадей, а тетради десятиклассников — $\frac{3}{8}$ всех тетрадей.