Страница 206 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

817 а) От куска шёлковой ткани отрезали $6\frac{2}{5}$ м, потом ещё $3\frac{3}{10}$ м, после чего осталось $1\frac{1}{2}$ м. Сколько всего метров шёлка было в куске?

б) Турист проехал на автобусе $2\frac{1}{5}$ ч, потом на попутной машине $1\frac{3}{10}$ ч и ещё шёл пешком четверть часа. Сколько часов турист был в пути?

а) Чтобы найти первоначальную длину куска шёлка, необходимо сложить длины всех его частей: двух отрезанных и одной оставшейся. Суммируем длины этих частей: $6\frac{2}{5} \text{ м} + 3\frac{3}{10} \text{ м} + 1\frac{1}{2} \text{ м}$. Для сложения смешанных чисел приведём их дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 5, 10 и 2 равен 10.
$6\frac{2}{5} = 6\frac{2 \times 2}{5 \times 2} = 6\frac{4}{10}$
$1\frac{1}{2} = 1\frac{1 \times 5}{2 \times 5} = 1\frac{5}{10}$
Теперь выполним сложение:
$6\frac{4}{10} + 3\frac{3}{10} + 1\frac{5}{10} = (6+3+1) + (\frac{4}{10} + \frac{3}{10} + \frac{5}{10}) = 10 + \frac{4+3+5}{10} = 10 + \frac{12}{10}$
Преобразуем неправильную дробь $\frac{12}{10}$ в смешанное число: $\frac{12}{10} = 1\frac{2}{10}$. Сократим дробную часть: $1\frac{2}{10} = 1\frac{1}{5}$.
Теперь сложим целую часть с полученным смешанным числом:
$10 + 1\frac{1}{5} = 11\frac{1}{5}$ (м).
Ответ: всего в куске было $11\frac{1}{5}$ м шёлка.

б) Чтобы найти общее время, которое турист был в пути, нужно сложить все промежутки времени. Время в пути на автобусе: $2\frac{1}{5}$ ч.
Время в пути на попутной машине: $1\frac{3}{10}$ ч.
Время в пути пешком: четверть часа, то есть $\frac{1}{4}$ ч.
Сложим все временные отрезки:
$2\frac{1}{5} + 1\frac{3}{10} + \frac{1}{4}$
Приведём дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 5, 10 и 4 равен 20.
$2\frac{1}{5} = 2\frac{1 \times 4}{5 \times 4} = 2\frac{4}{20}$
$1\frac{3}{10} = 1\frac{3 \times 2}{10 \times 2} = 1\frac{6}{20}$
$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 5}{4 \times 5} = \frac{5}{20}$
Теперь выполним сложение:
$2\frac{4}{20} + 1\frac{6}{20} + \frac{5}{20} = (2+1) + (\frac{4}{20} + \frac{6}{20} + \frac{5}{20}) = 3 + \frac{4+6+5}{20} = 3 + \frac{15}{20}$
Сократим дробную часть: $\frac{15}{20} = \frac{15 \div 5}{20 \div 5} = \frac{3}{4}$.
Таким образом, общее время в пути составляет $3\frac{3}{4}$ часа.
Ответ: турист был в пути $3\frac{3}{4}$ часа.

818 а) Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля. Один может проехать расстояние за 3 ч, а другой — за 2 ч. Какая часть расстояния будет между ними через 1 ч?

б) С двух турбаз одновременно навстречу друг другу вышли два туриста. Один турист может пройти расстояние между турбазами за 5 ч, а другой — за 3 ч. Какая часть расстояния окажется между ними через 1 ч?

а) Примем все расстояние между пунктами А и В за 1.
Скорость первого автомобиля, который может проехать все расстояние за 3 часа, составляет $\frac{1}{3}$ всего расстояния в час.
Скорость второго автомобиля, который может проехать все расстояние за 2 часа, составляет $\frac{1}{2}$ всего расстояния в час.
Поскольку автомобили движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Найдем их общую скорость сближения:
$v_{сбл} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2}$
Приведем дроби к общему знаменателю 6:
$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}$
Это значит, что за 1 час автомобили вместе проедут $\frac{5}{6}$ всего расстояния.
Чтобы найти, какая часть расстояния останется между ними через 1 час, нужно из всего расстояния (1) вычесть ту часть, которую они проехали вместе:
$1 - \frac{5}{6} = \frac{6}{6} - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$
Ответ: $\frac{1}{6}$

б) Примем все расстояние между турбазами за 1.
Скорость первого туриста, который может пройти все расстояние за 5 часов, составляет $\frac{1}{5}$ всего расстояния в час.
Скорость второго туриста, который может пройти все расстояние за 3 часа, составляет $\frac{1}{3}$ всего расстояния в час.
Поскольку туристы идут навстречу друг другу, найдем их скорость сближения, сложив их скорости:
$v_{сбл} = \frac{1}{5} + \frac{1}{3}$
Приведем дроби к общему знаменателю 15:
$\frac{1}{5} + \frac{1}{3} = \frac{3}{15} + \frac{5}{15} = \frac{8}{15}$
Это значит, что за 1 час туристы вместе пройдут $\frac{8}{15}$ всего расстояния.
Чтобы найти, какая часть расстояния окажется между ними через 1 час, вычтем из всего расстояния (1) пройденную ими часть:
$1 - \frac{8}{15} = \frac{15}{15} - \frac{8}{15} = \frac{7}{15}$
Ответ: $\frac{7}{15}$

819 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

Найдите неверные утверждения и опровергните их с помощью контрпримера.

1) Чётное число имеет только чётные делители.

2) Нечётное число имеет только нечётные делители.

3) Число, оканчивающееся цифрой 4, делится на 4.

4) Число, оканчивающееся цифрой 5, не делится на 3.

Неверными являются утверждения 1, 3 и 4. Вот их опровержения с контрпримерами:

1) Чётное число имеет только чётные делители.

Это утверждение неверно. Любое целое число, включая чётные, имеет своим делителем число 1, которое является нечётным. Таким образом, у любого чётного числа есть как минимум один нечётный делитель.

Контрпример: возьмём чётное число 6. Его делителями являются числа 1, 2, 3 и 6. Среди них есть нечётные делители 1 и 3, что опровергает данное утверждение.

Ответ: Утверждение неверно.

3) Число, оканчивающееся цифрой 4, делится на 4.

Это утверждение неверно. Согласно признаку делимости на 4, число делится на 4 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4. Тот факт, что последняя цифра равна 4, не гарантирует делимости всего числа на 4.

Контрпример: рассмотрим число 14. Оно оканчивается на цифру 4, но не делится на 4 нацело: $14 \div 4 = 3$ (остаток 2). Следовательно, утверждение ложно.

Ответ: Утверждение неверно.

4) Число, оканчивающееся цифрой 5, не делится на 3.

Это утверждение неверно. Делимость числа на 3 зависит не от его последней цифры, а от суммы всех его цифр. Согласно признаку делимости на 3, число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

Контрпример: рассмотрим число 15. Оно оканчивается на цифру 5. Сумма его цифр равна $1 + 5 = 6$. Так как 6 делится на 3, то и само число 15 делится на 3 ($15 \div 3 = 5$). Следовательно, утверждение ложно.

Ответ: Утверждение неверно.

820 Какие размеры может иметь прямоугольник площадью 150 $см^2$, если длины его сторон выражаются целыми числами, кратными 5?

Пусть стороны прямоугольника равны a и b. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. По условию задачи, площадь равна 150 см², следовательно, $a \cdot b = 150$.

Также по условию, длины сторон a и b выражаются целыми числами, кратными 5. Это означает, что их можно представить в виде $a = 5k$ и $b = 5m$, где k и m – некоторые натуральные числа (поскольку длина стороны не может быть нулевой или отрицательной).

Подставим эти выражения в формулу площади:
$(5k) \cdot (5m) = 150$
$25 \cdot k \cdot m = 150$

Чтобы найти произведение k и m, разделим обе части уравнения на 25:
$k \cdot m = 150 / 25$
$k \cdot m = 6$

Теперь нам нужно найти все пары натуральных чисел (k, m), произведение которых равно 6. Поскольку размеры прямоугольника a и b симметричны (прямоугольник со сторонами a x b такой же, как и b x a), нам достаточно найти уникальные пары множителей для числа 6.
Таких пар две:
1) $k=1$, $m=6$
2) $k=2$, $m=3$

Для каждой пары (k, m) найдем соответствующие размеры сторон a и b:
1) Если $k=1$ и $m=6$, то стороны прямоугольника равны $a = 5 \cdot 1 = 5$ см и $b = 5 \cdot 6 = 30$ см.
2) Если $k=2$ и $m=3$, то стороны прямоугольника равны $a = 5 \cdot 2 = 10$ см и $b = 5 \cdot 3 = 15$ см.

Оба варианта удовлетворяют всем условиям задачи: стороны являются целыми числами, кратными 5, а их произведение дает площадь 150 см².

Ответ: прямоугольник может иметь размеры 5 см и 30 см или 10 см и 15 см.

821 Расположите в порядке убывания числа:

а) $\frac{2}{3}, \frac{3}{2}, \frac{3}{4}, \frac{4}{3};$

б) $\frac{5}{3}, \frac{4}{7}, \frac{3}{5}, \frac{7}{4}.$

а) Чтобы расположить числа $ \frac{2}{3} $, $ \frac{3}{2} $, $ \frac{3}{4} $, $ \frac{4}{3} $ в порядке убывания, сравним их. Для этого можно привести все дроби к общему знаменателю или сравнить их по-другому.

Разделим дроби на две группы: правильные (числитель меньше знаменателя, значение меньше 1) и неправильные (числитель больше знаменателя, значение больше 1).
Правильные дроби: $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{3}{4} $.
Неправильные дроби: $ \frac{3}{2} $ и $ \frac{4}{3} $.

Любая неправильная дробь больше любой правильной. Сначала сравним между собой неправильные дроби, а затем правильные.

1. Сравним неправильные дроби $ \frac{3}{2} $ и $ \frac{4}{3} $.
Приведем их к общему знаменателю 6:
$ \frac{3}{2} = \frac{3 \times 3}{2 \times 3} = \frac{9}{6} $
$ \frac{4}{3} = \frac{4 \times 2}{3 \times 2} = \frac{8}{6} $
Так как $ 9 > 8 $, то $ \frac{9}{6} > \frac{8}{6} $, следовательно $ \frac{3}{2} > \frac{4}{3} $.

2. Сравним правильные дроби $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{3}{4} $.
Приведем их к общему знаменателю 12:
$ \frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12} $
$ \frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12} $
Так как $ 9 > 8 $, то $ \frac{9}{12} > \frac{8}{12} $, следовательно $ \frac{3}{4} > \frac{2}{3} $.

3. Теперь составим общую последовательность в порядке убывания, начиная с самой большой дроби:
$ \frac{3}{2} > \frac{4}{3} > \frac{3}{4} > \frac{2}{3} $.

Ответ: $ \frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \frac{3}{4}, \frac{2}{3} $.

б) Чтобы расположить числа $ \frac{5}{3} $, $ \frac{4}{7} $, $ \frac{3}{5} $, $ \frac{7}{4} $ в порядке убывания, используем тот же подход.

Разделим дроби на правильные и неправильные.
Правильные дроби: $ \frac{4}{7} $ и $ \frac{3}{5} $.
Неправильные дроби: $ \frac{5}{3} $ и $ \frac{7}{4} $.

1. Сравним неправильные дроби $ \frac{5}{3} $ и $ \frac{7}{4} $.
Приведем их к общему знаменателю 12:
$ \frac{5}{3} = \frac{5 \times 4}{3 \times 4} = \frac{20}{12} $
$ \frac{7}{4} = \frac{7 \times 3}{4 \times 3} = \frac{21}{12} $
Так как $ 21 > 20 $, то $ \frac{21}{12} > \frac{20}{12} $, следовательно $ \frac{7}{4} > \frac{5}{3} $.

2. Сравним правильные дроби $ \frac{4}{7} $ и $ \frac{3}{5} $.
Приведем их к общему знаменателю 35:
$ \frac{4}{7} = \frac{4 \times 5}{7 \times 5} = \frac{20}{35} $
$ \frac{3}{5} = \frac{3 \times 7}{5 \times 7} = \frac{21}{35} $
Так как $ 21 > 20 $, то $ \frac{21}{35} > \frac{20}{35} $, следовательно $ \frac{3}{5} > \frac{4}{7} $.

3. Теперь составим общую последовательность в порядке убывания:
$ \frac{7}{4} > \frac{5}{3} > \frac{3}{5} > \frac{4}{7} $.

Ответ: $ \frac{7}{4}, \frac{5}{3}, \frac{3}{5}, \frac{4}{7} $.

822 Изобразите на координатной прямой дроби $\frac{1}{10}$ и $\frac{1}{4}$ (возьмите в качестве единичного отрезка 20 клеток тетради). Назовите три дроби, заключённые между числами $\frac{1}{10}$ и $\frac{1}{4}$, и изобразите их точками на координатной прямой.

Для решения задачи построим координатную прямую. По условию, единичный отрезок (расстояние от 0 до 1) равен 20 клеткам тетради. Это означает, что каждая клетка представляет собой $ \frac{1}{20} $ единичного отрезка.

Изобразите на координатной прямой дроби $ \frac{1}{10} $ и $ \frac{1}{4} $

Чтобы отметить дроби на координатной прямой, нужно определить, скольким клеткам от начала координат соответствует каждая дробь. Для этого приведем дроби к знаменателю 20, так как единичный отрезок равен 20 клеткам.
1. Для дроби $ \frac{1}{10} $:
$ \frac{1}{10} = \frac{1 \cdot 2}{10 \cdot 2} = \frac{2}{20} $
Это означает, что точка, соответствующая дроби $ \frac{1}{10} $, находится на расстоянии 2 клеток от начала координат (точки 0).
2. Для дроби $ \frac{1}{4} $:
$ \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{5}{20} $
Это означает, что точка, соответствующая дроби $ \frac{1}{4} $, находится на расстоянии 5 клеток от начала координат.

Назовите три дроби, заключённые между числами $ \frac{1}{10} $ и $ \frac{1}{4} $, и изобразите их точками на координатной прямой

Нам нужно найти три дроби, которые больше $ \frac{1}{10} $ и меньше $ \frac{1}{4} $. Мы уже знаем, что эти дроби равны $ \frac{2}{20} $ и $ \frac{5}{20} $. Таким образом, искомые дроби $x$ должны удовлетворять неравенству: $ \frac{2}{20} < x < \frac{5}{20} $.
Сразу видны две дроби со знаменателем 20, которые удовлетворяют этому условию: $ \frac{3}{20} $ и $ \frac{4}{20} $ (которую можно сократить до $ \frac{1}{5} $).
Чтобы найти третью дробь, приведем исходные дроби к большему общему знаменателю, например, 40.
$ \frac{1}{10} = \frac{4}{40} $ и $ \frac{1}{4} = \frac{10}{40} $
Теперь неравенство выглядит так: $ \frac{4}{40} < x < \frac{10}{40} $. Между ними находится несколько дробей, например, $ \frac{5}{40}, \frac{6}{40}, \frac{7}{40}, \frac{8}{40}, \frac{9}{40} $. Мы уже выбрали дроби $ \frac{6}{40} = \frac{3}{20} $ и $ \frac{8}{40} = \frac{4}{20} $. В качестве третьей дроби можно взять $ \frac{7}{40} $.
Итак, мы выбрали три дроби: $ \frac{3}{20} $, $ \frac{7}{40} $ и $ \frac{4}{20} $.
Теперь изобразим их на той же координатной прямой. Для этого найдем их положение в клетках:
Дробь $ \frac{3}{20} $ соответствует 3 клеткам от начала координат.
Дробь $ \frac{4}{20} $ соответствует 4 клеткам от начала координат.
Для дроби $ \frac{7}{40} $ ее положение в клетках равно $ \frac{7}{40} \cdot 20 = \frac{140}{40} = \frac{7}{2} = 3.5 $ клетки. Эта точка находится ровно посередине между 3-й и 4-й клетками.

В итоге на координатной прямой точки будут расположены в следующем порядке (расстояние от 0 в клетках):
Точка 0 (начало координат)
Точка $ \frac{1}{10} $ (2 клетки)
Точка $ \frac{3}{20} $ (3 клетки)
Точка $ \frac{7}{40} $ (3.5 клетки)
Точка $ \frac{4}{20} $ (4 клетки)
Точка $ \frac{1}{4} $ (5 клеток)
Точка 1 (20 клеток)

Ответ: Три дроби, заключённые между $ \frac{1}{10} $ и $ \frac{1}{4} $ — это, например, $ \frac{3}{20}, \frac{7}{40} $ и $ \frac{4}{20} $. На координатной прямой, где единичный отрезок равен 20 клеткам, точки располагаются следующим образом: $ \frac{1}{10} $ — на отметке 2 клетки, $ \frac{3}{20} $ — на отметке 3 клетки, $ \frac{7}{40} $ — на отметке 3.5 клетки (между 3-й и 4-й), $ \frac{4}{20} $ — на отметке 4 клетки, $ \frac{1}{4} $ — на отметке 5 клеток.