Номер 821, страница 206 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

9.3. Сложение и вычитание смешанных дробей. Глава 9. Действия с дробями - номер 821, страница 206.

821 Расположите в порядке убывания числа:

а) $\frac{2}{3}, \frac{3}{2}, \frac{3}{4}, \frac{4}{3};$

б) $\frac{5}{3}, \frac{4}{7}, \frac{3}{5}, \frac{7}{4}.$

а) Чтобы расположить числа $ \frac{2}{3} $, $ \frac{3}{2} $, $ \frac{3}{4} $, $ \frac{4}{3} $ в порядке убывания, сравним их. Для этого можно привести все дроби к общему знаменателю или сравнить их по-другому.

Разделим дроби на две группы: правильные (числитель меньше знаменателя, значение меньше 1) и неправильные (числитель больше знаменателя, значение больше 1).
Правильные дроби: $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{3}{4} $.
Неправильные дроби: $ \frac{3}{2} $ и $ \frac{4}{3} $.

Любая неправильная дробь больше любой правильной. Сначала сравним между собой неправильные дроби, а затем правильные.

1. Сравним неправильные дроби $ \frac{3}{2} $ и $ \frac{4}{3} $.
Приведем их к общему знаменателю 6:
$ \frac{3}{2} = \frac{3 \times 3}{2 \times 3} = \frac{9}{6} $
$ \frac{4}{3} = \frac{4 \times 2}{3 \times 2} = \frac{8}{6} $
Так как $ 9 > 8 $, то $ \frac{9}{6} > \frac{8}{6} $, следовательно $ \frac{3}{2} > \frac{4}{3} $.

2. Сравним правильные дроби $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{3}{4} $.
Приведем их к общему знаменателю 12:
$ \frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12} $
$ \frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12} $
Так как $ 9 > 8 $, то $ \frac{9}{12} > \frac{8}{12} $, следовательно $ \frac{3}{4} > \frac{2}{3} $.

3. Теперь составим общую последовательность в порядке убывания, начиная с самой большой дроби:
$ \frac{3}{2} > \frac{4}{3} > \frac{3}{4} > \frac{2}{3} $.

Ответ: $ \frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \frac{3}{4}, \frac{2}{3} $.

б) Чтобы расположить числа $ \frac{5}{3} $, $ \frac{4}{7} $, $ \frac{3}{5} $, $ \frac{7}{4} $ в порядке убывания, используем тот же подход.

Разделим дроби на правильные и неправильные.
Правильные дроби: $ \frac{4}{7} $ и $ \frac{3}{5} $.
Неправильные дроби: $ \frac{5}{3} $ и $ \frac{7}{4} $.

1. Сравним неправильные дроби $ \frac{5}{3} $ и $ \frac{7}{4} $.
Приведем их к общему знаменателю 12:
$ \frac{5}{3} = \frac{5 \times 4}{3 \times 4} = \frac{20}{12} $
$ \frac{7}{4} = \frac{7 \times 3}{4 \times 3} = \frac{21}{12} $
Так как $ 21 > 20 $, то $ \frac{21}{12} > \frac{20}{12} $, следовательно $ \frac{7}{4} > \frac{5}{3} $.

2. Сравним правильные дроби $ \frac{4}{7} $ и $ \frac{3}{5} $.
Приведем их к общему знаменателю 35:
$ \frac{4}{7} = \frac{4 \times 5}{7 \times 5} = \frac{20}{35} $
$ \frac{3}{5} = \frac{3 \times 7}{5 \times 7} = \frac{21}{35} $
Так как $ 21 > 20 $, то $ \frac{21}{35} > \frac{20}{35} $, следовательно $ \frac{3}{5} > \frac{4}{7} $.

3. Теперь составим общую последовательность в порядке убывания:
$ \frac{7}{4} > \frac{5}{3} > \frac{3}{5} > \frac{4}{7} $.

Ответ: $ \frac{7}{4}, \frac{5}{3}, \frac{3}{5}, \frac{4}{7} $.