Страница 204 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

803 а) $5 - 2\frac{1}{2};$

б) $6 - 3\frac{2}{5};$

В) $7 - 5\frac{3}{7};$

Г) $8 - 3\frac{3}{4};$

Д) $4 - 2\frac{3}{5};$

е) $9 - 5\frac{1}{6}.$

Образец. $6 - 2\frac{1}{2} = 4 - \frac{1}{2} = 3\frac{1}{2}.$

а)

Для вычитания смешанного числа из целого, сначала вычтем целую часть смешанного числа из целого числа, а затем из полученной разности вычтем дробную часть.
$5 - 2\frac{1}{2} = (5-2) - \frac{1}{2} = 3 - \frac{1}{2}$.
Чтобы вычесть дробь из целого числа, "займем" единицу у 3 и представим ее в виде дроби со знаменателем 2, то есть $\frac{2}{2}$:
$3 - \frac{1}{2} = 2 + 1 - \frac{1}{2} = 2 + \frac{2}{2} - \frac{1}{2} = 2 + \frac{1}{2} = 2\frac{1}{2}$.

Ответ: $2\frac{1}{2}$.

б)

Вычтем сначала целую часть, а затем дробную:
$6 - 3\frac{2}{5} = (6-3) - \frac{2}{5} = 3 - \frac{2}{5}$.
"Займем" единицу у 3 и представим ее в виде дроби $\frac{5}{5}$:
$3 - \frac{2}{5} = 2\frac{5}{5} - \frac{2}{5} = 2\frac{3}{5}$.

Ответ: $2\frac{3}{5}$.

в)

Вычтем сначала целую часть, а затем дробную:
$7 - 5\frac{3}{7} = (7-5) - \frac{3}{7} = 2 - \frac{3}{7}$.
"Займем" единицу у 2 и представим ее в виде дроби $\frac{7}{7}$:
$2 - \frac{3}{7} = 1\frac{7}{7} - \frac{3}{7} = 1\frac{4}{7}$.

Ответ: $1\frac{4}{7}$.

г)

Вычтем сначала целую часть, а затем дробную:
$8 - 3\frac{3}{4} = (8-3) - \frac{3}{4} = 5 - \frac{3}{4}$.
"Займем" единицу у 5 и представим ее в виде дроби $\frac{4}{4}$:
$5 - \frac{3}{4} = 4\frac{4}{4} - \frac{3}{4} = 4\frac{1}{4}$.

Ответ: $4\frac{1}{4}$.

д)

Вычтем сначала целую часть, а затем дробную:
$4 - 2\frac{3}{5} = (4-2) - \frac{3}{5} = 2 - \frac{3}{5}$.
"Займем" единицу у 2 и представим ее в виде дроби $\frac{5}{5}$:
$2 - \frac{3}{5} = 1\frac{5}{5} - \frac{3}{5} = 1\frac{2}{5}$.

Ответ: $1\frac{2}{5}$.

е)

Вычтем сначала целую часть, а затем дробную:
$9 - 5\frac{1}{6} = (9-5) - \frac{1}{6} = 4 - \frac{1}{6}$.
"Займем" единицу у 4 и представим ее в виде дроби $\frac{6}{6}$:
$4 - \frac{1}{6} = 3\frac{6}{6} - \frac{1}{6} = 3\frac{5}{6}$.

Ответ: $3\frac{5}{6}$.

804. a) $5\frac{2}{3} - 4\frac{1}{3}$;

б) $12\frac{1}{3} - 9\frac{1}{4}$;

в) $5\frac{2}{3} - \frac{1}{6}$;

г) $10\frac{8}{9} - \frac{2}{3}$;

д) $6\frac{3}{4} - 2\frac{1}{2}$;

е) $4\frac{3}{5} - 1\frac{1}{10}$.

а) $5\frac{2}{3} - 4\frac{1}{3}$

Так как знаменатели дробных частей одинаковы, вычитаем целые и дробные части по отдельности:

$5\frac{2}{3} - 4\frac{1}{3} = (5 - 4) + (\frac{2}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \frac{2-1}{3} = 1 + \frac{1}{3} = 1\frac{1}{3}$

Ответ: $1\frac{1}{3}$

б) $12\frac{1}{3} - 9\frac{1}{4}$

Чтобы вычесть смешанные числа с разными знаменателями, сначала приведем их дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 4 — это 12.

$12\frac{1}{3} = 12\frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = 12\frac{4}{12}$

$9\frac{1}{4} = 9\frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = 9\frac{3}{12}$

Теперь выполним вычитание:

$12\frac{4}{12} - 9\frac{3}{12} = (12 - 9) + (\frac{4}{12} - \frac{3}{12}) = 3 + \frac{1}{12} = 3\frac{1}{12}$

Ответ: $3\frac{1}{12}$

в) $5\frac{2}{3} - \frac{1}{6}$

Приведем дроби к общему знаменателю 6.

$5\frac{2}{3} = 5\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = 5\frac{4}{6}$

Выполним вычитание:

$5\frac{4}{6} - \frac{1}{6} = 5 + (\frac{4}{6} - \frac{1}{6}) = 5 + \frac{3}{6} = 5\frac{3}{6}$

Сократим дробную часть, разделив числитель и знаменатель на 3:

$5\frac{3}{6} = 5\frac{1}{2}$

Ответ: $5\frac{1}{2}$

г) $10\frac{8}{9} - \frac{2}{3}$

Приведем дроби к общему знаменателю 9.

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{6}{9}$

Выполним вычитание:

$10\frac{8}{9} - \frac{6}{9} = 10 + (\frac{8}{9} - \frac{6}{9}) = 10 + \frac{2}{9} = 10\frac{2}{9}$

Ответ: $10\frac{2}{9}$

д) $6\frac{3}{4} - 2\frac{1}{2}$

Приведем дробные части к общему знаменателю 4.

$2\frac{1}{2} = 2\frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = 2\frac{2}{4}$

Теперь выполним вычитание:

$6\frac{3}{4} - 2\frac{2}{4} = (6 - 2) + (\frac{3}{4} - \frac{2}{4}) = 4 + \frac{1}{4} = 4\frac{1}{4}$

Ответ: $4\frac{1}{4}$

е) $4\frac{3}{5} - 1\frac{1}{10}$

Приведем дробные части к общему знаменателю 10.

$4\frac{3}{5} = 4\frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = 4\frac{6}{10}$

Теперь выполним вычитание:

$4\frac{6}{10} - 1\frac{1}{10} = (4 - 1) + (\frac{6}{10} - \frac{1}{10}) = 3 + \frac{5}{10} = 3\frac{5}{10}$

Сократим дробную часть, разделив числитель и знаменатель на 5:

$3\frac{5}{10} = 3\frac{1}{2}$

Ответ: $3\frac{1}{2}$

805 a) $5\frac{1}{6} - \frac{5}{6}$;

б) $2\frac{1}{3} - \frac{2}{3}$;

в) $4\frac{5}{9} - \frac{8}{9}$;

г) $3\frac{1}{12} - 1\frac{5}{12}$;

д) $6\frac{3}{7} - 5\frac{5}{7}$;

е) $2\frac{3}{8} - 1\frac{7}{8}$.

Подсказка. Используйте в качестве образца пример 3.

а) $5\frac{1}{6} - \frac{5}{6}$
Чтобы выполнить вычитание, нужно сравнить дробные части. Так как дробная часть уменьшаемого ($\frac{1}{6}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{5}{6}$), необходимо "занять" единицу у целой части уменьшаемого.
Представим $5\frac{1}{6}$ как $4 + 1 + \frac{1}{6}$. Заменим единицу дробью $\frac{6}{6}$:
$5\frac{1}{6} = 4 + \frac{6}{6} + \frac{1}{6} = 4\frac{7}{6}$
Теперь выполним вычитание:
$4\frac{7}{6} - \frac{5}{6} = 4\frac{7-5}{6} = 4\frac{2}{6}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:
$4\frac{2}{6} = 4\frac{1}{3}$
Ответ: $4\frac{1}{3}$

б) $2\frac{1}{3} - \frac{2}{3}$
Дробная часть уменьшаемого ($\frac{1}{3}$) меньше вычитаемого ($\frac{2}{3}$). Займем единицу у целой части (2).
Представим $2\frac{1}{3}$ как $1 + 1 + \frac{1}{3}$. Заменим единицу дробью $\frac{3}{3}$:
$2\frac{1}{3} = 1 + \frac{3}{3} + \frac{1}{3} = 1\frac{4}{3}$
Теперь выполним вычитание:
$1\frac{4}{3} - \frac{2}{3} = 1\frac{4-2}{3} = 1\frac{2}{3}$
Ответ: $1\frac{2}{3}$

в) $4\frac{5}{9} - \frac{8}{9}$
Дробная часть $\frac{5}{9}$ меньше, чем $\frac{8}{9}$. Займем единицу у целой части (4).
Представим $4\frac{5}{9}$ как $3 + 1 + \frac{5}{9}$. Заменим единицу дробью $\frac{9}{9}$:
$4\frac{5}{9} = 3 + \frac{9}{9} + \frac{5}{9} = 3\frac{14}{9}$
Теперь выполним вычитание:
$3\frac{14}{9} - \frac{8}{9} = 3\frac{14-8}{9} = 3\frac{6}{9}$
Сократим дробную часть, разделив числитель и знаменатель на 3:
$3\frac{6}{9} = 3\frac{2}{3}$
Ответ: $3\frac{2}{3}$

г) $3\frac{1}{12} - 1\frac{5}{12}$
Сравниваем дробные части: $\frac{1}{12} < \frac{5}{12}$. Займем единицу у целой части уменьшаемого (3).
$3\frac{1}{12} = 2 + 1 + \frac{1}{12} = 2 + \frac{12}{12} + \frac{1}{12} = 2\frac{13}{12}$
Теперь вычитаем смешанные числа:
$2\frac{13}{12} - 1\frac{5}{12} = (2-1) + (\frac{13-5}{12}) = 1 + \frac{8}{12} = 1\frac{8}{12}$
Сократим дробную часть, разделив числитель и знаменатель на 4:
$1\frac{8}{12} = 1\frac{2}{3}$
Ответ: $1\frac{2}{3}$

д) $6\frac{3}{7} - 5\frac{5}{7}$
Сравниваем дробные части: $\frac{3}{7} < \frac{5}{7}$. Займем единицу у целой части уменьшаемого (6).
$6\frac{3}{7} = 5 + 1 + \frac{3}{7} = 5 + \frac{7}{7} + \frac{3}{7} = 5\frac{10}{7}$
Теперь вычитаем:
$5\frac{10}{7} - 5\frac{5}{7} = (5-5) + (\frac{10-5}{7}) = 0 + \frac{5}{7} = \frac{5}{7}$
Ответ: $\frac{5}{7}$

е) $2\frac{3}{8} - 1\frac{7}{8}$
Сравниваем дробные части: $\frac{3}{8} < \frac{7}{8}$. Займем единицу у целой части уменьшаемого (2).
$2\frac{3}{8} = 1 + 1 + \frac{3}{8} = 1 + \frac{8}{8} + \frac{3}{8} = 1\frac{11}{8}$
Теперь вычитаем:
$1\frac{11}{8} - 1\frac{7}{8} = (1-1) + (\frac{11-7}{8}) = 0 + \frac{4}{8} = \frac{4}{8}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:
$\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

Вычислите разность, воспользовавшись любым из известных вам способов (806–807).

806 a) $1\frac{1}{2} - \frac{2}{3}$;

б) $1\frac{1}{4} - \frac{1}{3}$;

в) $1\frac{1}{8} - \frac{1}{4}$,

г) $1\frac{2}{3} - \frac{5}{6}$;

д) $2\frac{3}{10} - \frac{4}{15}$,

е) $3\frac{1}{4} - \frac{5}{6}$.

а)

Чтобы найти разность $1\frac{1}{2} - \frac{2}{3}$, сначала преобразуем смешанное число $1\frac{1}{2}$ в неправильную дробь.
$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$
Теперь приведем дроби $\frac{3}{2}$ и $\frac{2}{3}$ к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2 и 3 — это 6.
$\frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{9}{6}$
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6}$
Теперь выполним вычитание:
$\frac{9}{6} - \frac{4}{6} = \frac{9-4}{6} = \frac{5}{6}$
Ответ: $\frac{5}{6}$

б)

Преобразуем смешанное число $1\frac{1}{4}$ в неправильную дробь.
$1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$
Теперь найдем разность дробей $\frac{5}{4}$ и $\frac{1}{3}$. Наименьший общий знаменатель для 4 и 3 — это 12.
$\frac{5}{4} = \frac{5 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{15}{12}$
$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{4}{12}$
Выполним вычитание:
$\frac{15}{12} - \frac{4}{12} = \frac{15-4}{12} = \frac{11}{12}$
Ответ: $\frac{11}{12}$

в)

Преобразуем смешанное число $1\frac{1}{8}$ в неправильную дробь.
$1\frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{9}{8}$
Теперь найдем разность дробей $\frac{9}{8}$ и $\frac{1}{4}$. Наименьший общий знаменатель для 8 и 4 — это 8.
Приведем дробь $\frac{1}{4}$ к знаменателю 8:
$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{2}{8}$
Выполним вычитание:
$\frac{9}{8} - \frac{2}{8} = \frac{9-2}{8} = \frac{7}{8}$
Ответ: $\frac{7}{8}$

г)

Преобразуем смешанное число $1\frac{2}{3}$ в неправильную дробь.
$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$
Теперь найдем разность дробей $\frac{5}{3}$ и $\frac{5}{6}$. Наименьший общий знаменатель для 3 и 6 — это 6.
Приведем дробь $\frac{5}{3}$ к знаменателю 6:
$\frac{5}{3} = \frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{10}{6}$
Выполним вычитание:
$\frac{10}{6} - \frac{5}{6} = \frac{10-5}{6} = \frac{5}{6}$
Ответ: $\frac{5}{6}$

д)

Преобразуем смешанное число $2\frac{3}{10}$ в неправильную дробь.
$2\frac{3}{10} = \frac{2 \cdot 10 + 3}{10} = \frac{23}{10}$
Теперь найдем разность дробей $\frac{23}{10}$ и $\frac{4}{15}$. Наименьший общий знаменатель для 10 и 15 — это 30.
$\frac{23}{10} = \frac{23 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{69}{30}$
$\frac{4}{15} = \frac{4 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{8}{30}$
Выполним вычитание:
$\frac{69}{30} - \frac{8}{30} = \frac{61}{30}$
Преобразуем полученную неправильную дробь обратно в смешанное число:
$\frac{61}{30} = 2\frac{1}{30}$
Ответ: $2\frac{1}{30}$

е)

Преобразуем смешанное число $3\frac{1}{4}$ в неправильную дробь.
$3\frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{13}{4}$
Теперь найдем разность дробей $\frac{13}{4}$ и $\frac{5}{6}$. Наименьший общий знаменатель для 4 и 6 — это 12.
$\frac{13}{4} = \frac{13 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{39}{12}$
$\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{10}{12}$
Выполним вычитание:
$\frac{39}{12} - \frac{10}{12} = \frac{29}{12}$
Преобразуем полученную неправильную дробь обратно в смешанное число:
$\frac{29}{12} = 2\frac{5}{12}$
Ответ: $2\frac{5}{12}$

807 a) $2\frac{1}{3} - 1\frac{1}{2}$;

б) $4\frac{1}{5} - 2\frac{3}{10}$;

в) $7\frac{1}{9} - 4\frac{1}{3}$;

г) $2\frac{2}{7} - 1\frac{3}{5}$;

д) $6\frac{1}{4} - 3\frac{2}{5}$;

е) $4\frac{1}{6} - 1\frac{2}{3}$.

а) $2\frac{1}{3} - 1\frac{1}{2}$

Чтобы вычесть смешанные числа, сначала приведем их дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 2 — это 6.

$2\frac{1}{3} = 2\frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = 2\frac{2}{6}$

$1\frac{1}{2} = 1\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = 1\frac{3}{6}$

Теперь выражение выглядит так: $2\frac{2}{6} - 1\frac{3}{6}$.

Поскольку дробная часть уменьшаемого ($\frac{2}{6}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{3}{6}$), необходимо "занять" единицу у целой части уменьшаемого:

$2\frac{2}{6} = 1 + 1 + \frac{2}{6} = 1 + \frac{6}{6} + \frac{2}{6} = 1\frac{8}{6}$

Теперь выполним вычитание:

$1\frac{8}{6} - 1\frac{3}{6} = (1 - 1) + (\frac{8 - 3}{6}) = 0 + \frac{5}{6} = \frac{5}{6}$

Ответ: $\frac{5}{6}$

б) $4\frac{1}{5} - 2\frac{3}{10}$

Приведем дробные части к общему знаменателю 10.

$4\frac{1}{5} = 4\frac{1 \cdot 2}{5 \cdot 2} = 4\frac{2}{10}$

Получаем выражение: $4\frac{2}{10} - 2\frac{3}{10}$.

Так как $\frac{2}{10} < \frac{3}{10}$, "займем" единицу у целой части уменьшаемого:

$4\frac{2}{10} = 3 + 1 + \frac{2}{10} = 3 + \frac{10}{10} + \frac{2}{10} = 3\frac{12}{10}$

Теперь выполним вычитание:

$3\frac{12}{10} - 2\frac{3}{10} = (3 - 2) + (\frac{12 - 3}{10}) = 1\frac{9}{10}$

Ответ: $1\frac{9}{10}$

в) $7\frac{1}{9} - 4\frac{1}{3}$

Приведем дробную часть второго числа к знаменателю 9.

$4\frac{1}{3} = 4\frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 3} = 4\frac{3}{9}$

Получаем выражение: $7\frac{1}{9} - 4\frac{3}{9}$.

Так как $\frac{1}{9} < \frac{3}{9}$, "займем" единицу у целой части уменьшаемого:

$7\frac{1}{9} = 6 + 1 + \frac{1}{9} = 6 + \frac{9}{9} + \frac{1}{9} = 6\frac{10}{9}$

Выполним вычитание:

$6\frac{10}{9} - 4\frac{3}{9} = (6 - 4) + (\frac{10 - 3}{9}) = 2\frac{7}{9}$

Ответ: $2\frac{7}{9}$

г) $2\frac{2}{7} - 1\frac{3}{5}$

Приведем дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 7 и 5 — это 35.

$2\frac{2}{7} = 2\frac{2 \cdot 5}{7 \cdot 5} = 2\frac{10}{35}$

$1\frac{3}{5} = 1\frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 7} = 1\frac{21}{35}$

Получаем выражение: $2\frac{10}{35} - 1\frac{21}{35}$.

Так как $\frac{10}{35} < \frac{21}{35}$, "займем" единицу у целой части:

$2\frac{10}{35} = 1 + 1 + \frac{10}{35} = 1 + \frac{35}{35} + \frac{10}{35} = 1\frac{45}{35}$

Теперь выполним вычитание:

$1\frac{45}{35} - 1\frac{21}{35} = (1 - 1) + (\frac{45 - 21}{35}) = 0 + \frac{24}{35} = \frac{24}{35}$

Ответ: $\frac{24}{35}$

д) $6\frac{1}{4} - 3\frac{2}{5}$

Приведем дробные части к общему знаменателю 20.

$6\frac{1}{4} = 6\frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} = 6\frac{5}{20}$

$3\frac{2}{5} = 3\frac{2 \cdot 4}{5 \cdot 4} = 3\frac{8}{20}$

Получаем выражение: $6\frac{5}{20} - 3\frac{8}{20}$.

Так как $\frac{5}{20} < \frac{8}{20}$, "займем" единицу у целой части:

$6\frac{5}{20} = 5 + 1 + \frac{5}{20} = 5 + \frac{20}{20} + \frac{5}{20} = 5\frac{25}{20}$

Выполним вычитание:

$5\frac{25}{20} - 3\frac{8}{20} = (5 - 3) + (\frac{25 - 8}{20}) = 2\frac{17}{20}$

Ответ: $2\frac{17}{20}$

е) $4\frac{1}{6} - 1\frac{2}{3}$

Приведем дробные части к общему знаменателю 6.

$1\frac{2}{3} = 1\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = 1\frac{4}{6}$

Получаем выражение: $4\frac{1}{6} - 1\frac{4}{6}$.

Так как $\frac{1}{6} < \frac{4}{6}$, "займем" единицу у целой части:

$4\frac{1}{6} = 3 + 1 + \frac{1}{6} = 3 + \frac{6}{6} + \frac{1}{6} = 3\frac{7}{6}$

Выполним вычитание:

$3\frac{7}{6} - 1\frac{4}{6} = (3 - 1) + (\frac{7 - 4}{6}) = 2\frac{3}{6}$

Сократим дробную часть: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $2\frac{1}{2}$

808 ИЩЕМ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ

По какому правилу составляется последовательность чисел? Запишите три следующих числа этой последовательности, найдите сумму всех шести записанных чисел:

а) 5, $4\frac{2}{3}$, $4\frac{1}{3}$, ...

б) $3\frac{1}{2}$, 3, $2\frac{1}{2}$, ...

а)

Дана последовательность чисел: $5, 4\frac{2}{3}, 4\frac{1}{3}, \dots$

1. Находим правило. Для этого найдем разность между соседними членами последовательности:
$4\frac{2}{3} - 5 = \frac{14}{3} - \frac{15}{3} = -\frac{1}{3}$
$4\frac{1}{3} - 4\frac{2}{3} = \frac{13}{3} - \frac{14}{3} = -\frac{1}{3}$
Правило: каждое следующее число последовательности получается путем вычитания $\frac{1}{3}$ из предыдущего.

2. Записываем три следующих числа.
Четвертое число: $4\frac{1}{3} - \frac{1}{3} = 4$
Пятое число: $4 - \frac{1}{3} = 3\frac{2}{3}$
Шестое число: $3\frac{2}{3} - \frac{1}{3} = 3\frac{1}{3}$
Получаем последовательность из шести чисел: $5, 4\frac{2}{3}, 4\frac{1}{3}, 4, 3\frac{2}{3}, 3\frac{1}{3}$.

3. Находим сумму всех шести чисел.
$5 + 4\frac{2}{3} + 4\frac{1}{3} + 4 + 3\frac{2}{3} + 3\frac{1}{3}$
Сложим целые и дробные части отдельно:
$(5 + 4 + 4 + 4 + 3 + 3) + (\frac{2}{3} + \frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \frac{1}{3}) = 23 + \frac{6}{3} = 23 + 2 = 25$

Ответ: правило - каждое следующее число меньше предыдущего на $\frac{1}{3}$; следующие три числа: $4, 3\frac{2}{3}, 3\frac{1}{3}$; сумма всех шести чисел равна $25$.

б)

Дана последовательность чисел: $3\frac{1}{2}, 3, 2\frac{1}{2}, \dots$

1. Находим правило. Для этого найдем разность между соседними членами последовательности:
$3 - 3\frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$
$2\frac{1}{2} - 3 = -\frac{1}{2}$
Правило: каждое следующее число последовательности получается путем вычитания $\frac{1}{2}$ из предыдущего.

2. Записываем три следующих числа.
Четвертое число: $2\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 2$
Пятое число: $2 - \frac{1}{2} = 1\frac{1}{2}$
Шестое число: $1\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 1$
Получаем последовательность из шести чисел: $3\frac{1}{2}, 3, 2\frac{1}{2}, 2, 1\frac{1}{2}, 1$.

3. Находим сумму всех шести чисел.
$3\frac{1}{2} + 3 + 2\frac{1}{2} + 2 + 1\frac{1}{2} + 1$
Сложим целые и дробные части отдельно:
$(3 + 3 + 2 + 2 + 1 + 1) + (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}) = 12 + \frac{3}{2} = 12 + 1\frac{1}{2} = 13\frac{1}{2}$

Ответ: правило - каждое следующее число меньше предыдущего на $\frac{1}{2}$; следующие три числа: $2, 1\frac{1}{2}, 1$; сумма всех шести чисел равна $13\frac{1}{2}$.

809 a) Из $7 \frac{1}{2}$ т картофеля магазин продал $3 \frac{1}{4}$ т. Сколько тонн картофеля осталось?

б) В куске было $10 \frac{3}{4}$ м материи. На платья израсходовали $8 \frac{1}{2}$ м. Сколько метров материи осталось в куске?

а)

Чтобы найти, сколько тонн картофеля осталось, нужно из начального количества вычесть количество проданного картофеля. Начальное количество картофеля — $7\frac{1}{2}$ т, а продали $3\frac{1}{4}$ т.

Выполним вычитание смешанных чисел:

$7\frac{1}{2} - 3\frac{1}{4}$

Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 2 и 4 — это 4.

$ \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} $

Теперь наше выражение выглядит так:

$7\frac{2}{4} - 3\frac{1}{4}$

Вычитаем целые части отдельно, а дробные — отдельно:

$7 - 3 = 4$

$\frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

Складываем результаты: $4 + \frac{1}{4} = 4\frac{1}{4}$.

Следовательно, в магазине осталось $4\frac{1}{4}$ тонны картофеля.

Ответ: $4\frac{1}{4}$ т.

б)

Чтобы найти, сколько метров материи осталось в куске, нужно из первоначальной длины вычесть длину израсходованной материи. Изначально было $10\frac{3}{4}$ м, а израсходовали $8\frac{1}{2}$ м.

Выполним вычитание:

$10\frac{3}{4} - 8\frac{1}{2}$

Приведем дробную часть второго числа к знаменателю 4.

$ \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} $

Получаем выражение:

$10\frac{3}{4} - 8\frac{2}{4}$

Вычитаем целые части:

$10 - 8 = 2$

Вычитаем дробные части:

$\frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4}$

Складываем полученные результаты: $2 + \frac{1}{4} = 2\frac{1}{4}$.

Таким образом, в куске осталось $2\frac{1}{4}$ метра материи.

Ответ: $2\frac{1}{4}$ м.

810 От куска проволоки длиной $5\frac{1}{2}$ м отрезали $\frac{7}{10}$ м проволоки. Сколько метров проволоки осталось? Какой кусок длиннее: отрезанный или оставшийся? На сколько?

Сколько метров проволоки осталось?

Чтобы найти, сколько метров проволоки осталось, необходимо из первоначальной длины вычесть длину отрезанного куска.

1. Выполним вычитание смешанных дробей: $5\frac{1}{2} - 2\frac{7}{10}$.

2. Приведем дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2 и 10 — это 10.
$5\frac{1}{2} = 5\frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = 5\frac{5}{10}$

3. Теперь наше выражение выглядит так: $5\frac{5}{10} - 2\frac{7}{10}$.

4. Так как дробная часть уменьшаемого ($\frac{5}{10}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{7}{10}$), нужно "занять" единицу у целой части.
$5\frac{5}{10} = 4 + 1 + \frac{5}{10} = 4 + \frac{10}{10} + \frac{5}{10} = 4\frac{15}{10}$

5. Теперь произведем вычитание:
$4\frac{15}{10} - 2\frac{7}{10} = (4-2) + (\frac{15-7}{10}) = 2\frac{8}{10}$

6. Сократим полученную дробь:
$2\frac{8}{10} = 2\frac{8 \div 2}{10 \div 2} = 2\frac{4}{5}$

Ответ: осталось $2\frac{4}{5}$ м проволоки.

Какой кусок длиннее: отрезанный или оставшийся? На сколько?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно сравнить длину отрезанного куска ($2\frac{7}{10}$ м) и оставшегося ($2\frac{4}{5}$ м).

1. Для сравнения приведем дроби к общему знаменателю 10.
Длина отрезанного куска: $2\frac{7}{10}$ м.
Длина оставшегося куска: $2\frac{4}{5} = 2\frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} = 2\frac{8}{10}$ м.

2. Сравним полученные значения: $2\frac{8}{10}$ м и $2\frac{7}{10}$ м.
Поскольку целые части (2) одинаковы, сравниваем дробные части: $\frac{8}{10} > \frac{7}{10}$.
Следовательно, $2\frac{8}{10} > 2\frac{7}{10}$, а значит, оставшийся кусок длиннее отрезанного.

3. Теперь найдем, на сколько он длиннее. Для этого вычтем из большей длины меньшую:
$2\frac{8}{10} - 2\frac{7}{10} = (2-2) + (\frac{8-7}{10}) = 0\frac{1}{10} = \frac{1}{10}$ м.

Ответ: оставшийся кусок длиннее отрезанного на $\frac{1}{10}$ м.

811 а) Найдите скорость лодки по течению реки и скорость лодки против течения, если её собственная скорость 8 км/ч, а скорость течения реки $1\frac{1}{2}$ км/ч.

б) Скорость лодки по течению реки равна $17\frac{1}{2}$ км/ч, а скорость течения реки равна $2\frac{3}{4}$ км/ч. Найдите собственную скорость лодки и её скорость против течения реки.

а)

Чтобы найти скорость лодки по течению реки, необходимо сложить её собственную скорость и скорость течения. Чтобы найти скорость лодки против течения, нужно из её собственной скорости вычесть скорость течения.

1) Найдём скорость лодки по течению реки:
$8 + 1\frac{1}{2} = 9\frac{1}{2}$ (км/ч).

2) Найдём скорость лодки против течения реки:
$8 - 1\frac{1}{2} = 7\frac{2}{2} - 1\frac{1}{2} = 6\frac{1}{2}$ (км/ч).

Ответ: скорость лодки по течению реки равна $9\frac{1}{2}$ км/ч, а скорость против течения — $6\frac{1}{2}$ км/ч.

б)

Чтобы найти собственную скорость лодки, нужно из её скорости по течению вычесть скорость течения реки. После этого, чтобы найти скорость против течения, нужно из полученной собственной скорости вычесть скорость течения.

1) Найдём собственную скорость лодки:
$17\frac{1}{2} - 2\frac{3}{4} = 17\frac{2}{4} - 2\frac{3}{4} = 16\frac{6}{4} - 2\frac{3}{4} = 14\frac{3}{4}$ (км/ч).

2) Найдём скорость лодки против течения реки:
$14\frac{3}{4} - 2\frac{3}{4} = 12$ (км/ч).

Ответ: собственная скорость лодки равна $14\frac{3}{4}$ км/ч, а её скорость против течения реки — $12$ км/ч.