Страница 208 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Сформулируйте правило умножения дроби на дробь. Запишите это правило с помощью букв и проиллюстрируйте его на примере произведения $\frac{10}{21} \cdot \frac{3}{5}$.

Покажите на примере произведения $\frac{3}{8} \cdot 4$, как можно умножать дробь на натуральное число.

На примере произведения чисел $1\frac{1}{3}$ и $2\frac{2}{5}$ расскажите, как умножают смешанные дроби.

Сформулируйте правило умножения дроби на дробь. Запишите это правило с помощью букв и проиллюстрируйте его на примере произведения $\frac{10}{21} \cdot \frac{3}{5}$.

Чтобы умножить одну обыкновенную дробь на другую, необходимо перемножить их числители и знаменатели. Произведение числителей становится числителем новой дроби, а произведение знаменателей — ее знаменателем.

В буквенном виде это правило выглядит следующим образом:
$ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} $

Проиллюстрируем это правило на примере произведения $ \frac{10}{21} \cdot \frac{3}{5} $.
Согласно правилу, умножаем числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель:
$ \frac{10}{21} \cdot \frac{3}{5} = \frac{10 \cdot 3}{21 \cdot 5} $
Чтобы упростить вычисления, можно сократить дробь до умножения. Разложим числители и знаменатели на простые множители:
$ \frac{(2 \cdot 5) \cdot 3}{(3 \cdot 7) \cdot 5} $
Теперь сократим общие множители (3 и 5) в числителе и знаменателе:
$ \frac{2 \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{3}}{\cancel{3} \cdot 7 \cdot \cancel{5}} = \frac{2}{7} $
Ответ: $ \frac{2}{7} $.

Покажите на примере произведения $\frac{3}{8} \cdot 4$, как можно умножать дробь на натуральное число.

Чтобы умножить дробь на натуральное число, следует представить это число в виде дроби со знаменателем 1. После этого нужно выполнить умножение дробей по стандартному правилу. Альтернативно, можно просто умножить числитель дроби на натуральное число, оставив знаменатель без изменений.

Рассмотрим пример $ \frac{3}{8} \cdot 4 $.
Представим натуральное число 4 в виде дроби $ \frac{4}{1} $.
$ \frac{3}{8} \cdot 4 = \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{1} $
Умножим числитель на числитель и знаменатель на знаменатель:
$ \frac{3 \cdot 4}{8 \cdot 1} = \frac{12}{8} $
Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 12 и 8 равен 4:
$ \frac{12 \div 4}{8 \div 4} = \frac{3}{2} $
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$ \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} $
Ответ: $ 1\frac{1}{2} $.

На примере произведения чисел $1\frac{1}{3}$ и $2\frac{2}{5}$ расскажите, как умножают смешанные дроби.

Чтобы умножить смешанные дроби (числа), нужно выполнить следующие шаги:
1. Преобразовать каждую смешанную дробь в неправильную дробь.
2. Перемножить полученные неправильные дроби по правилу умножения дробей.
3. Если в результате получилась неправильная дробь, преобразовать ее обратно в смешанную дробь.

Рассмотрим этот процесс на примере произведения $ 1\frac{1}{3} \cdot 2\frac{2}{5} $.
Шаг 1: Преобразуем смешанные дроби в неправильные.
$ 1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3} $
$ 2\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{12}{5} $
Шаг 2: Умножим полученные неправильные дроби.
$ \frac{4}{3} \cdot \frac{12}{5} = \frac{4 \cdot 12}{3 \cdot 5} $
Можно сократить 12 и 3 на 3:
$ \frac{4 \cdot 12}{3 \cdot 5} = \frac{4 \cdot 4}{5} = \frac{16}{5} $
Шаг 3: Преобразуем результат обратно в смешанную дробь.
$ \frac{16}{5} = 3\frac{1}{5} $
Ответ: $ 3\frac{1}{5} $.

ДЕЙСТВУЕМ ПО ПРАВИЛУ Выполните умножение (823–826).

823 a) $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{7};$

б) $\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{6};$

в) $\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4};$

г) $\frac{4}{9} \cdot \frac{2}{3};$

д) $\frac{2}{5} \cdot \frac{7}{5}.$

а) Чтобы умножить одну дробь на другую, необходимо перемножить их числители и знаменатели. Результатом умножения числителей будет числитель новой дроби, а результатом умножения знаменателей — ее знаменатель.
$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{7} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 7} = \frac{2}{21}$
Дробь $\frac{2}{21}$ является несократимой.
Ответ: $\frac{2}{21}$

б) Умножаем числитель первой дроби (1) на числитель второй (5) и знаменатель первой дроби (2) на знаменатель второй (6).
$\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{6} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 6} = \frac{5}{12}$
Дробь $\frac{5}{12}$ является несократимой.
Ответ: $\frac{5}{12}$

в) Выполняем умножение по правилу: числитель на числитель, знаменатель на знаменатель.
$\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 4} = \frac{3}{16}$
Дробь $\frac{3}{16}$ является несократимой.
Ответ: $\frac{3}{16}$

г) Перемножаем числители $4$ и $2$. Перемножаем знаменатели $9$ и $3$.
$\frac{4}{9} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 2}{9 \cdot 3} = \frac{8}{27}$
Дробь $\frac{8}{27}$ является несократимой.
Ответ: $\frac{8}{27}$

д) Выполняем умножение дробей.
$\frac{2}{5} \cdot \frac{7}{5} = \frac{2 \cdot 7}{5 \cdot 5} = \frac{14}{25}$
Дробь $\frac{14}{25}$ является несократимой.
Ответ: $\frac{14}{25}$

824 а) $\frac{8}{9} \cdot \frac{3}{5};$

б) $\frac{9}{2} \cdot \frac{2}{9};$

в) $\frac{8}{21} \cdot \frac{7}{10};$

г) $\frac{8}{15} \cdot \frac{25}{28};$

д) $\frac{2}{15} \cdot \frac{5}{22}.$

а)

Чтобы умножить две дроби, нужно перемножить их числители и их знаменатели. Сначала запишем произведение под общей чертой:

$$ \frac{8}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 5} $$

Прежде чем выполнять умножение, сократим дробь. Заметим, что числитель 3 и знаменатель 9 делятся на 3:

$$ \frac{8 \cdot \cancel{3}^1}{\cancel{9}^3 \cdot 5} = \frac{8 \cdot 1}{3 \cdot 5} = \frac{8}{15} $$

Ответ: $ \frac{8}{15} $

б)

Запишем произведение под общей чертой:

$$ \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{9} = \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 9} $$

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе (9 и 2). Это произведение двух взаимно обратных чисел, которое всегда равно 1.

$$ \frac{\cancel{9}^1 \cdot \cancel{2}^1}{\cancel{2}^1 \cdot \cancel{9}^1} = \frac{1 \cdot 1}{1 \cdot 1} = 1 $$

Ответ: $ 1 $

в)

Запишем произведение под общей чертой:

$$ \frac{8}{21} \cdot \frac{7}{10} = \frac{8 \cdot 7}{21 \cdot 10} $$

Сократим дробь. Числитель 8 и знаменатель 10 делятся на 2. Числитель 7 и знаменатель 21 делятся на 7:

$$ \frac{\cancel{8}^4 \cdot \cancel{7}^1}{\cancel{21}^3 \cdot \cancel{10}^5} = \frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 5} = \frac{4}{15} $$

Ответ: $ \frac{4}{15} $

г)

Запишем произведение под общей чертой:

$$ \frac{8}{15} \cdot \frac{25}{28} = \frac{8 \cdot 25}{15 \cdot 28} $$

Сократим дробь. Числитель 8 и знаменатель 28 делятся на 4. Числитель 25 и знаменатель 15 делятся на 5:

$$ \frac{\cancel{8}^2 \cdot \cancel{25}^5}{\cancel{15}^3 \cdot \cancel{28}^7} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 7} = \frac{10}{21} $$

Ответ: $ \frac{10}{21} $

д)

Запишем произведение под общей чертой:

$$ \frac{2}{15} \cdot \frac{5}{22} = \frac{2 \cdot 5}{15 \cdot 22} $$

Сократим дробь. Числитель 2 и знаменатель 22 делятся на 2. Числитель 5 и знаменатель 15 делятся на 5:

$$ \frac{\cancel{2}^1 \cdot \cancel{5}^1}{\cancel{15}^3 \cdot \cancel{22}^{11}} = \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 11} = \frac{1}{33} $$

Ответ: $ \frac{1}{33} $

825 а) $\frac{3}{7} \cdot 2;$

Б) $3 \cdot \frac{1}{6};$

В) $9 \cdot \frac{5}{6};$

Г) $\frac{2}{5} \cdot 15;$

Д) $\frac{1}{4} \cdot 4;$

Е) $5 \cdot \frac{1}{5};$

Ж) $8 \cdot \frac{3}{8};$

З) $6 \cdot \frac{3}{4}.$

а) Чтобы умножить дробь на натуральное число, нужно её числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения.
$ \frac{3}{7} \cdot 2 = \frac{3 \cdot 2}{7} = \frac{6}{7} $.
Ответ: $ \frac{6}{7} $

б) Умножим натуральное число на числитель дроби, а знаменатель оставим прежним. Затем сократим полученную дробь.
$ 3 \cdot \frac{1}{6} = \frac{3 \cdot 1}{6} = \frac{3}{6} $.
Сокращаем дробь на 3: $ \frac{3 \div 3}{6 \div 3} = \frac{1}{2} $.
Ответ: $ \frac{1}{2} $

в) Умножаем натуральное число на числитель дроби.
$ 9 \cdot \frac{5}{6} = \frac{9 \cdot 5}{6} = \frac{45}{6} $.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3.
$ \frac{45 \div 3}{6 \div 3} = \frac{15}{2} $.
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число.
$ \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} $.
Ответ: $ 7\frac{1}{2} $

г) Умножаем числитель дроби на натуральное число.
$ \frac{2}{5} \cdot 15 = \frac{2 \cdot 15}{5} = \frac{30}{5} $.
Выполняем деление числителя на знаменатель.
$ 30 \div 5 = 6 $.
Ответ: $ 6 $

д) Для умножения дроби на натуральное число, умножаем числитель на это число.
$ \frac{1}{4} \cdot 4 = \frac{1 \cdot 4}{4} = \frac{4}{4} $.
Любое число, деленное само на себя, равно 1.
$ \frac{4}{4} = 1 $.
Ответ: $ 1 $

е) Умножаем натуральное число на числитель, знаменатель оставляем без изменений.
$ 5 \cdot \frac{1}{5} = \frac{5 \cdot 1}{5} = \frac{5}{5} $.
$ \frac{5}{5} = 1 $.
Ответ: $ 1 $

ж) Умножаем натуральное число на числитель дроби.
$ 8 \cdot \frac{3}{8} = \frac{8 \cdot 3}{8} $.
Можно сократить 8 в числителе и знаменателе.
$ \frac{\cancel{8} \cdot 3}{\cancel{8}} = 3 $.
Ответ: $ 3 $

з) Умножаем натуральное число 6 на числитель 3.
$ 6 \cdot \frac{3}{4} = \frac{6 \cdot 3}{4} = \frac{18}{4} $.
Сокращаем полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2.
$ \frac{18 \div 2}{4 \div 2} = \frac{9}{2} $.
Превращаем неправильную дробь в смешанное число.
$ \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} $.
Ответ: $ 4\frac{1}{2} $

826 а) $2 \frac{1}{3} \cdot 2$;

б) $4 \cdot 1 \frac{1}{2}$;

в) $1 \frac{1}{3} \cdot 9$;

г) $\frac{3}{7} \cdot 2 \frac{1}{3}$;

д) $\frac{7}{8} \cdot 5 \frac{1}{3}$.

a)

Для того чтобы умножить смешанное число на целое, сначала нужно представить смешанное число в виде неправильной дроби. Целая часть умножается на знаменатель, и к результату прибавляется числитель. Знаменатель остается прежним.

$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

Теперь умножим полученную неправильную дробь на целое число 2. Для этого числитель дроби умножается на это число, а знаменатель остается без изменений.

$\frac{7}{3} \cdot 2 = \frac{7 \cdot 2}{3} = \frac{14}{3}$

Чтобы результат был более понятным, преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число, разделив числитель на знаменатель с остатком.

$\frac{14}{3} = 14 : 3 = 4$ (остаток $2$), следовательно, $4\frac{2}{3}$

Ответ: $4\frac{2}{3}$

б)

Сначала представим смешанное число $1\frac{1}{2}$ в виде неправильной дроби.

$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$

Теперь умножим целое число 4 на полученную дробь.

$4 \cdot \frac{3}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = \frac{12}{2}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2.

$\frac{12}{2} = 6$

Ответ: $6$

в)

Преобразуем смешанное число $1\frac{1}{3}$ в неправильную дробь.

$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$

Умножим полученную дробь на 9. Можно сократить числитель (9) и знаменатель (3) на 3 перед умножением.

$\frac{4}{3} \cdot 9 = \frac{4 \cdot 9}{3} = 4 \cdot \frac{9}{3} = 4 \cdot 3 = 12$

Ответ: $12$

г)

Чтобы умножить обыкновенную дробь на смешанное число, представим смешанное число в виде неправильной дроби.

$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

Теперь умножим две дроби. Для этого перемножим их числители и их знаменатели.

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3} = \frac{3 \cdot 7}{7 \cdot 3} = \frac{21}{21}$

Сократим полученную дробь.

$\frac{21}{21} = 1$

Заметим, что мы умножаем два взаимно обратных числа, поэтому их произведение равно 1.

Ответ: $1$

д)

Преобразуем смешанное число $5\frac{1}{3}$ в неправильную дробь.

$5\frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{16}{3}$

Теперь умножим дроби. Перед умножением можно выполнить сокращение: числитель 16 и знаменатель 8 можно сократить на 8.

$\frac{7}{8} \cdot \frac{16}{3} = \frac{7 \cdot 16}{8 \cdot 3} = \frac{7 \cdot 2}{1 \cdot 3} = \frac{14}{3}$

Преобразуем полученную неправильную дробь в смешанное число.

$\frac{14}{3} = 14 : 3 = 4$ (остаток $2$), следовательно, $4\frac{2}{3}$

Ответ: $4\frac{2}{3}$