Страница 212 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Назовите число, обратное дроби $\frac{7}{8}$, $\frac{1}{10}$.

Каким свойством обладают взаимно обратные дроби? Проиллюстрируйте это свойство на примере.

Сформулируйте правило деления дроби на дробь. Запишите это правило с помощью букв и проиллюстрируйте его на примере деления дроби $\frac{10}{21}$ на дробь $\frac{2}{3}$.

Покажите на примере, как разделить дробь на натуральное число.

На примере деления чисел $3\frac{1}{3}$ и $1\frac{1}{6}$ расскажите, как выполняют деление смешанных дробей.

Назовите число, обратное дроби $\frac{7}{8}, \frac{1}{10}$.

Чтобы найти число, обратное данной дроби (или взаимно обратное число), необходимо поменять местами ее числитель и знаменатель.

• Для дроби $\frac{7}{8}$ обратным числом будет дробь $\frac{8}{7}$. Эту неправильную дробь также можно записать в виде смешанного числа $1\frac{1}{7}$.
• Для дроби $\frac{1}{10}$ обратным числом будет дробь $\frac{10}{1}$, что равно натуральному числу 10.

Ответ: Для дроби $\frac{7}{8}$ обратным является число $\frac{8}{7}$. Для дроби $\frac{1}{10}$ обратным является число 10.

Каким свойством обладают взаимно обратные дроби? Проиллюстрируйте это свойство на примере.

Основное свойство взаимно обратных чисел заключается в том, что их произведение всегда равно единице (1).

Проиллюстрируем это свойство на примере дроби $\frac{2}{5}$ и обратной ей дроби $\frac{5}{2}$.

Найдем их произведение:

$\frac{2}{5} \times \frac{5}{2} = \frac{2 \times 5}{5 \times 2} = \frac{10}{10} = 1$

Ответ: Произведение взаимно обратных дробей равно 1.

Сформулируйте правило деления дроби на дробь. Запишите это правило с помощью букв и проиллюстрируйте его на примере деления дроби $\frac{10}{21}$ на дробь $\frac{2}{3}$.

Правило деления дроби на дробь звучит так: чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое (первую дробь) умножить на число, обратное делителю (второй дроби).

В буквенном виде это правило записывается следующим образом:

$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c}$

Проиллюстрируем это правило на примере деления дроби $\frac{10}{21}$ на дробь $\frac{2}{3}$:

$\frac{10}{21} \div \frac{2}{3} = \frac{10}{21} \times \frac{3}{2}$

Теперь перемножим числители и знаменатели. Для удобства можно сократить дроби до умножения:

$\frac{10 \times 3}{21 \times 2} = \frac{(5 \times 2) \times 3}{(7 \times 3) \times 2} = \frac{5}{7}$

Ответ: $\frac{10}{21} \div \frac{2}{3} = \frac{5}{7}$.

Покажите на примере, как разделить дробь на натуральное число.

Чтобы разделить обыкновенную дробь на натуральное число, нужно знаменатель этой дроби умножить на данное натуральное число, а числитель оставить без изменений. Это происходит потому, что любое натуральное число $n$ можно представить в виде дроби $\frac{n}{1}$, а деление на дробь $\frac{n}{1}$ эквивалентно умножению на обратную ей дробь $\frac{1}{n}$.

Рассмотрим пример: разделим дробь $\frac{9}{10}$ на натуральное число 3.

$\frac{9}{10} \div 3 = \frac{9}{10 \times 3} = \frac{9}{30}$

Полученную дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:

$\frac{9 \div 3}{30 \div 3} = \frac{3}{10}$

Ответ: $\frac{9}{10} \div 3 = \frac{3}{10}$.

На примере деления чисел $3\frac{1}{3}$ и $1\frac{1}{6}$ расскажите, как выполняют деление смешанных дробей.

Деление смешанных дробей выполняется в несколько шагов:

1. Сначала необходимо преобразовать оба смешанных числа в неправильные дроби. Для этого целую часть умножают на знаменатель и прибавляют числитель, а знаменатель оставляют прежним.

   $3\frac{1}{3} = \frac{3 \times 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$

   $1\frac{1}{6} = \frac{1 \times 6 + 1}{6} = \frac{7}{6}$

2. Далее нужно выполнить деление полученных неправильных дробей по общему правилу: делимое умножить на дробь, обратную делителю.

   $\frac{10}{3} \div \frac{7}{6} = \frac{10}{3} \times \frac{6}{7}$

3. Теперь перемножаем числители и знаменатели. Если возможно, производим сокращение.

   $\frac{10 \times 6}{3 \times 7} = \frac{10 \times (2 \times 3)}{3 \times 7} = \frac{10 \times 2}{7} = \frac{20}{7}$

4. Если в результате получилась неправильная дробь, ее принято преобразовывать обратно в смешанное число, выделяя целую часть.

$\frac{20}{7} = 2\frac{6}{7}$ (так как $20 = 2 \times 7 + 6$)

Ответ: $3\frac{1}{3} \div 1\frac{1}{6} = 2\frac{6}{7}$.