Страница 217 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

874 а) Верёвку длиной 18 м надо разрезать на два куска так, чтобы один из них оказался в 3 раза длиннее другого. Сколько метров верёвки будет в каждом куске?

б) В двух корзинах 32 кг яблок, причём в одной из них яблок в 4 раза меньше, чем в другой. Сколько яблок в каждой корзине?

а)

Пусть длина меньшего куска верёвки равна $x$ м. По условию, другой кусок в 3 раза длиннее, значит, его длина равна $3x$ м. Сумма длин двух кусков равна общей длине верёвки, то есть 18 м. Составим и решим уравнение:

$x + 3x = 18$

$4x = 18$

$x = 18 \div 4$

$x = 4.5$

Длина меньшего куска верёвки составляет 4.5 м. Теперь найдём длину большего куска:

$3x = 3 \cdot 4.5 = 13.5$ м.

Проверка: $4.5 + 13.5 = 18$ м.

Ответ: в одном куске будет 4.5 м верёвки, а в другом — 13.5 м.

б)

Пусть в корзине, где яблок меньше, их масса составляет $y$ кг. Тогда в другой корзине, где яблок в 4 раза больше (что равносильно "в 4 раза меньше" для первой корзины), их масса составляет $4y$ кг. Общая масса яблок в двух корзинах — 32 кг. Составим и решим уравнение:

$y + 4y = 32$

$5y = 32$

$y = 32 \div 5$

$y = 6.4$

Масса яблок в меньшей корзине равна 6.4 кг. Найдём массу яблок в большей корзине:

$4y = 4 \cdot 6.4 = 25.6$ кг.

Проверка: $6.4 + 25.6 = 32$ кг.

Ответ: в одной корзине 6.4 кг яблок, а в другой — 25.6 кг.

875 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ Для показа собак соорудили трибуну, передняя стенка которой изображена на рисунке 9.7. Вычислите площадь передней стенки трибуны. Сколько банок с краской надо купить для её покраски, если одной банки хватает на покраску $1 \frac{1}{2}\text{ м}^2$?

$\frac{1}{2}\text{ м}$

$1\text{ м}$

$\frac{3}{4}\text{ м}$

$1\text{ м}$

Рис. 9.7

Вычислите площадь передней стенки трибуны.

Чтобы вычислить общую площадь стенки, мы можем разбить ее на более простые фигуры — прямоугольники. Фигура состоит из 5 одинаковых высоких прямоугольников (выступов) и 4 одинаковых низких прямоугольников (промежутков).

1. Сначала найдем площадь всех высоких прямоугольников. Высота каждого из них составляет $1$ м, а ширина — $\frac{3}{4}$ м. Площадь одного такого прямоугольника равна: $S_{выс} = 1 \times \frac{3}{4} = \frac{3}{4}$ м². Поскольку таких прямоугольников 5, их общая площадь: $S_{1} = 5 \times \frac{3}{4} = \frac{15}{4}$ м².

2. Затем найдем площадь всех низких прямоугольников. Высота каждого из них составляет $\frac{1}{2}$ м, а ширина — $1$ м. Площадь одного такого прямоугольника равна: $S_{низ} = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$ м². Поскольку таких прямоугольников 4, их общая площадь: $S_{2} = 4 \times \frac{1}{2} = 2$ м².

3. Общая площадь стенки — это сумма площадей всех прямоугольников: $S_{общ} = S_{1} + S_{2} = \frac{15}{4} + 2 = \frac{15}{4} + \frac{8}{4} = \frac{23}{4}$ м². Переведем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{23}{4} = 5\frac{3}{4}$ м².

Ответ: $5\frac{3}{4}$ м².

Сколько банок с краской надо купить для её покраски?

Известно, что общая площадь для покраски составляет $5\frac{3}{4}$ м², а одной банки краски хватает на $1\frac{1}{2}$ м². Чтобы найти необходимое количество банок, нужно общую площадь разделить на площадь, покрываемую одной банкой.

Для удобства вычислений переведем смешанные числа в неправильные дроби: $5\frac{3}{4} = \frac{23}{4}$ $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Теперь выполним деление: $\frac{23}{4} \div \frac{3}{2} = \frac{23}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{23 \times 2}{4 \times 3} = \frac{46}{12} = \frac{23}{6}$

Преобразуем результат в смешанное число: $\frac{23}{6} = 3\frac{5}{6}$ банок.

Так как количество банок должно быть целым, а трех банок будет недостаточно, чтобы покрасить всю поверхность, необходимо округлить полученное значение в большую сторону до ближайшего целого числа. Следовательно, потребуется 4 банки краски.

Ответ: 4 банки.

876 От причала вниз по реке отплыл плот. Ниже по течению реки на расстоянии 17 км от первого причала находится второй причал. От него навстречу плоту через $\frac{2}{3}$ ч после отплытия плота отправляется теплоход. Собственная скорость теплохода равна 25 км/ч, а скорость течения реки равна 3 км/ч. Через какое время после своего отплытия плот встретится с теплоходом?

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько шагов: определить скорости объектов, рассчитать расстояние между ними на момент старта теплохода, найти время до их встречи и, наконец, вычислить общее время с момента отплытия плота.

1. Определение скоростей плота и теплохода

Скорость плота равна скорости течения реки, так как у него нет собственного двигателя.
$v_{плота} = v_{течения} = 3 \text{ км/ч}$.

Теплоход движется навстречу плоту, то есть вверх по реке (против течения). Его скорость относительно берега будет равна разности его собственной скорости и скорости течения.
$v_{теплохода} = v_{собственная} - v_{течения} = 25 - 3 = 22 \text{ км/ч}$.

2. Расстояние между плотом и теплоходом в момент отправления теплохода

Теплоход отправился через $\frac{2}{3}$ часа после отплытия плота. За это время плот уже успел проплыть некоторое расстояние от первого причала.
$S_{1} = v_{плота} \times t_{ожидания} = 3 \times \frac{2}{3} = 2 \text{ км}$.

Изначально расстояние между причалами составляло 17 км. К моменту старта теплохода плот уже преодолел 2 км, сократив это расстояние. Таким образом, расстояние между плотом и теплоходом в момент, когда теплоход начал движение, было:
$S_{2} = S_{общее} - S_{1} = 17 - 2 = 15 \text{ км}$.

3. Время до встречи с момента отправления теплохода

Плот и теплоход движутся навстречу друг другу. Их скорость сближения равна сумме их скоростей.
$v_{сближения} = v_{плота} + v_{теплохода} = 3 + 22 = 25 \text{ км/ч}$.

Теперь найдем время, через которое они встретятся, разделив расстояние между ними на скорость сближения.
$t_{встречи} = \frac{S_{2}}{v_{сближения}} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5} \text{ ч}$.

4. Общее время с момента отплытия плота

Вопрос задачи — через какое время после своего отплытия плот встретится с теплоходом. Это время состоит из двух частей: времени, которое плот плыл один ($\frac{2}{3}$ ч), и времени, которое они двигались навстречу друг другу до встречи ($\frac{3}{5}$ ч).

$T_{общее} = t_{ожидания} + t_{встречи} = \frac{2}{3} + \frac{3}{5}$.

Приведем дроби к общему знаменателю (15):
$T_{общее} = \frac{2 \times 5}{3 \times 5} + \frac{3 \times 3}{5 \times 3} = \frac{10}{15} + \frac{9}{15} = \frac{19}{15} \text{ ч}$.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$T_{общее} = 1\frac{4}{15} \text{ ч}$.

Для удобства можно перевести это время в часы и минуты. В одном часе 60 минут.
$\frac{4}{15} \text{ ч} = \frac{4}{15} \times 60 \text{ мин} = 4 \times 4 \text{ мин} = 16 \text{ мин}$.
Таким образом, общее время составляет 1 час 16 минут.

Ответ: Плот встретится с теплоходом через $1\frac{4}{15}$ часа (или 1 час 16 минут) после своего отплытия.

877 Расстояние между пунктами А и В составляет 20 км. Из этих пунктов одновременно навстречу друг другу вышли два туриста. Один шёл со скоростью $4\frac{1}{2}$ км/ч, другой — со скоростью $5\frac{1}{2}$ км/ч. Встретившись, туристы продолжали идти каждый в своём направлении. Через какое время после начала движения расстояние между ними было равным 4 км? (Рассмотрите два случая.)

Для решения задачи сначала найдем скорость сближения туристов. Так как они движутся навстречу друг другу, их скорости складываются.

Скорость первого туриста: $v_1 = 4\frac{1}{2} = 4,5$ км/ч.

Скорость второго туриста: $v_2 = 5\frac{1}{2} = 5,5$ км/ч.

Скорость сближения (а после встречи — скорость удаления) туристов равна:

$v_{общ} = v_1 + v_2 = 4,5 + 5,5 = 10$ км/ч.

Задача предполагает два случая, когда расстояние между туристами будет равно 4 км.

Первый случай: туристы еще не встретились.

Изначально расстояние между туристами составляло 20 км. Чтобы расстояние между ними стало 4 км, они вместе должны пройти расстояние, равное разности начального расстояния и оставшегося.

$S_1 = 20 - 4 = 16$ км.

Найдем время, за которое они вместе пройдут это расстояние, двигаясь с общей скоростью 10 км/ч:

$t_1 = \frac{S_1}{v_{общ}} = \frac{16}{10} = 1,6$ часа.

Ответ: 1,6 часа.

Второй случай: туристы встретились и продолжили движение.

В этом случае туристы сначала прошли все расстояние в 20 км до встречи, а затем, двигаясь в противоположных направлениях, удалились друг от друга еще на 4 км. Общее расстояние, которое они прошли вместе с начального момента, равно сумме этих расстояний.

$S_2 = 20 + 4 = 24$ км.

Найдем время, за которое они вместе пройдут это общее расстояние, двигаясь с общей скоростью 10 км/ч:

$t_2 = \frac{S_2}{v_{общ}} = \frac{24}{10} = 2,4$ часа.

Ответ: 2,4 часа.

878 Два курьера идут навстречу друг другу и в пути встречаются. Через $ \frac{5}{12} $ ч после их встречи расстояние между ними стало равным $ 3\frac{3}{4} $ км. С какой скоростью движется первый курьер, если скорость второго $ 3\frac{1}{2} $ км/ч?

Для решения этой задачи необходимо выполнить два основных действия: сначала найти общую скорость, с которой курьеры удаляются друг от друга после встречи (так называемую скорость удаления), а затем, используя эту величину и известную скорость второго курьера, вычислить скорость первого.

1. Находим скорость удаления курьеров.

Скорость удаления — это скорость, с которой увеличивается расстояние между движущимися объектами. После встречи курьеры движутся в противоположных направлениях. Их скорость удаления ($v_{уд}$) можно найти, разделив расстояние, которое образовалось между ними ($S$), на время в пути после встречи ($t$).

По условию задачи:
Расстояние $S = 3\frac{3}{4}$ км.
Время $t = \frac{5}{12}$ ч.

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь для удобства вычислений:
$S = 3\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{15}{4}$ км.

Теперь вычислим скорость удаления:
$v_{уд} = S \div t = \frac{15}{4} \div \frac{5}{12} = \frac{15}{4} \cdot \frac{12}{5} = \frac{15 \cdot 12}{4 \cdot 5}$

Сократим дроби:
$v_{уд} = \frac{3 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 4}{4 \cdot 5} = 3 \cdot 3 = 9$ км/ч.

2. Находим скорость первого курьера.

Скорость удаления при движении в противоположных направлениях равна сумме скоростей объектов:
$v_{уд} = v_1 + v_2$

где $v_1$ — скорость первого курьера, а $v_2$ — скорость второго курьера.
Мы знаем, что $v_{уд} = 9$ км/ч и $v_2 = 3\frac{1}{2}$ км/ч. Выразим и найдем скорость первого курьера $v_1$:
$v_1 = v_{уд} - v_2$

Преобразуем скорость второго курьера в неправильную дробь:
$v_2 = 3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$ км/ч.

Выполним вычитание:
$v_1 = 9 - \frac{7}{2} = \frac{18}{2} - \frac{7}{2} = \frac{11}{2}$ км/ч.

Представим результат в виде смешанного числа:
$v_1 = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2}$ км/ч.

Ответ: $5\frac{1}{2}$ км/ч.