Номер 876, страница 217 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

9.5. Деление дробей. Глава 9. Действия с дробями - номер 876, страница 217.

876 От причала вниз по реке отплыл плот. Ниже по течению реки на расстоянии 17 км от первого причала находится второй причал. От него навстречу плоту через $\frac{2}{3}$ ч после отплытия плота отправляется теплоход. Собственная скорость теплохода равна 25 км/ч, а скорость течения реки равна 3 км/ч. Через какое время после своего отплытия плот встретится с теплоходом?

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько шагов: определить скорости объектов, рассчитать расстояние между ними на момент старта теплохода, найти время до их встречи и, наконец, вычислить общее время с момента отплытия плота.

1. Определение скоростей плота и теплохода

Скорость плота равна скорости течения реки, так как у него нет собственного двигателя.
$v_{плота} = v_{течения} = 3 \text{ км/ч}$.

Теплоход движется навстречу плоту, то есть вверх по реке (против течения). Его скорость относительно берега будет равна разности его собственной скорости и скорости течения.
$v_{теплохода} = v_{собственная} - v_{течения} = 25 - 3 = 22 \text{ км/ч}$.

2. Расстояние между плотом и теплоходом в момент отправления теплохода

Теплоход отправился через $\frac{2}{3}$ часа после отплытия плота. За это время плот уже успел проплыть некоторое расстояние от первого причала.
$S_{1} = v_{плота} \times t_{ожидания} = 3 \times \frac{2}{3} = 2 \text{ км}$.

Изначально расстояние между причалами составляло 17 км. К моменту старта теплохода плот уже преодолел 2 км, сократив это расстояние. Таким образом, расстояние между плотом и теплоходом в момент, когда теплоход начал движение, было:
$S_{2} = S_{общее} - S_{1} = 17 - 2 = 15 \text{ км}$.

3. Время до встречи с момента отправления теплохода

Плот и теплоход движутся навстречу друг другу. Их скорость сближения равна сумме их скоростей.
$v_{сближения} = v_{плота} + v_{теплохода} = 3 + 22 = 25 \text{ км/ч}$.

Теперь найдем время, через которое они встретятся, разделив расстояние между ними на скорость сближения.
$t_{встречи} = \frac{S_{2}}{v_{сближения}} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5} \text{ ч}$.

4. Общее время с момента отплытия плота

Вопрос задачи — через какое время после своего отплытия плот встретится с теплоходом. Это время состоит из двух частей: времени, которое плот плыл один ($\frac{2}{3}$ ч), и времени, которое они двигались навстречу друг другу до встречи ($\frac{3}{5}$ ч).

$T_{общее} = t_{ожидания} + t_{встречи} = \frac{2}{3} + \frac{3}{5}$.

Приведем дроби к общему знаменателю (15):
$T_{общее} = \frac{2 \times 5}{3 \times 5} + \frac{3 \times 3}{5 \times 3} = \frac{10}{15} + \frac{9}{15} = \frac{19}{15} \text{ ч}$.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$T_{общее} = 1\frac{4}{15} \text{ ч}$.

Для удобства можно перевести это время в часы и минуты. В одном часе 60 минут.
$\frac{4}{15} \text{ ч} = \frac{4}{15} \times 60 \text{ мин} = 4 \times 4 \text{ мин} = 16 \text{ мин}$.
Таким образом, общее время составляет 1 час 16 минут.

Ответ: Плот встретится с теплоходом через $1\frac{4}{15}$ часа (или 1 час 16 минут) после своего отплытия.