Номер 881, страница 218 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

9.5. Деление дробей. Глава 9. Действия с дробями - номер 881, страница 218.

881 Дана последовательность сумм: $ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} $, $ \frac{1}{4} + \frac{1}{8} $, $ \frac{1}{8} + \frac{1}{16} $, ...

1) Продолжите эту последовательность, записав ещё три суммы.

2) Вычислите значения первых трёх сумм. Догадайтесь, чему равны значения следующих трёх сумм, и проверьте себя вычислением.

1)

Проанализируем заданную последовательность сумм. Каждая сумма состоит из двух слагаемых, являющихся дробями вида $ \frac{1}{2^n} $.

Первая сумма: $ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} $ (это $ \frac{1}{2^1} + \frac{1}{2^2} $)

Вторая сумма: $ \frac{1}{4} + \frac{1}{8} $ (это $ \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} $)

Третья сумма: $ \frac{1}{8} + \frac{1}{16} $ (это $ \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^4} $)

Закономерность заключается в том, что каждая следующая сумма начинается с второго слагаемого предыдущей суммы, а второе слагаемое новой суммы имеет знаменатель, в два раза больший. Следуя этой закономерности, для продолжения последовательности нам нужно взять второе слагаемое последней известной суммы ($ \frac{1}{16} $) и прибавить к нему дробь со знаменателем $ 16 \times 2 = 32 $.

Таким образом, следующие три суммы будут:

• Четвертая сумма: $ \frac{1}{16} + \frac{1}{32} $
• Пятая сумма: $ \frac{1}{32} + \frac{1}{64} $
• Шестая сумма: $ \frac{1}{64} + \frac{1}{128} $

Ответ: $ \frac{1}{16} + \frac{1}{32} $, $ \frac{1}{32} + \frac{1}{64} $, $ \frac{1}{64} + \frac{1}{128} $.

2)

Вычислим значения первых трёх сумм, приводя дроби к общему знаменателю:

Значение первой суммы: $ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $

Значение второй суммы: $ \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8} $

Значение третьей суммы: $ \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{2}{16} + \frac{1}{16} = \frac{3}{16} $

Получилась последовательность значений: $ \frac{3}{4}, \frac{3}{8}, \frac{3}{16} $. Можно заметить, что числитель всегда равен 3, а знаменатель каждой следующей дроби в два раза больше предыдущего. Исходя из этого, можно предположить, что значения следующих трёх сумм будут:

• Значение четвертой суммы: $ \frac{3}{16 \times 2} = \frac{3}{32} $
• Значение пятой суммы: $ \frac{3}{32 \times 2} = \frac{3}{64} $
• Значение шестой суммы: $ \frac{3}{64 \times 2} = \frac{3}{128} $

Теперь проверим нашу догадку, вычислив значения следующих трёх сумм, которые мы записали в пункте 1:

Проверка для четвертой суммы: $ \frac{1}{16} + \frac{1}{32} = \frac{2}{32} + \frac{1}{32} = \frac{3}{32} $. Наше предположение верно.

Проверка для пятой суммы: $ \frac{1}{32} + \frac{1}{64} = \frac{2}{64} + \frac{1}{64} = \frac{3}{64} $. Наше предположение верно.

Проверка для шестой суммы: $ \frac{1}{64} + \frac{1}{128} = \frac{2}{128} + \frac{1}{128} = \frac{3}{128} $. Наше предположение верно.

Ответ: значения первых трёх сумм: $ \frac{3}{4}, \frac{3}{8}, \frac{3}{16} $. Значения следующих трёх сумм: $ \frac{3}{32}, \frac{3}{64}, \frac{3}{128} $.