Номер 872, страница 216 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

9.5. Деление дробей. Глава 9. Действия с дробями - номер 872, страница 216.

872 РАССУЖДАЕМ Сравните значения выражений, не выполняя вычислений:

а) $999 \cdot \frac{3}{4}$ и $999 : \frac{3}{4}$;

б) $\frac{5}{7} \cdot 1\frac{1}{8}$ и $\frac{5}{7} : 1\frac{1}{8}$;

в) $\frac{20}{9}$ и $\left(\frac{20}{9}\right)^2$;

г) $15 : \frac{7}{8}$ и $15 : \left(\frac{7}{8}\right)^2$.

а) Сравним выражения $999 \cdot \frac{3}{4}$ и $999 : \frac{3}{4}$. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь, поэтому $999 : \frac{3}{4} = 999 \cdot \frac{4}{3}$. Теперь задача сводится к сравнению выражений $999 \cdot \frac{3}{4}$ и $999 \cdot \frac{4}{3}$. Так как первый множитель (999) в обоих выражениях одинаков и положителен, то больше будет то произведение, у которого второй множитель больше. Сравним вторые множители: $\frac{3}{4}$ и $\frac{4}{3}$. Дробь $\frac{3}{4}$ правильная, то есть $\frac{3}{4} < 1$. Дробь $\frac{4}{3}$ неправильная, то есть $\frac{4}{3} > 1$. Отсюда следует, что $\frac{3}{4} < \frac{4}{3}$, а значит и $999 \cdot \frac{3}{4} < 999 \cdot \frac{4}{3}$. Ответ: $999 \cdot \frac{3}{4} < 999 : \frac{3}{4}$.

б) Сравним выражения $\frac{5}{7} \cdot 1\frac{1}{8}$ и $\frac{5}{7} : 1\frac{1}{8}$. В обоих выражениях первое число одинаково ($\frac{5}{7}$), а второе число $1\frac{1}{8} > 1$. При умножении положительного числа на число, большее 1, результат увеличивается, то есть $\frac{5}{7} \cdot 1\frac{1}{8} > \frac{5}{7}$. При делении положительного числа на число, большее 1, результат уменьшается, то есть $\frac{5}{7} : 1\frac{1}{8} < \frac{5}{7}$. Таким образом, результат умножения больше результата деления. Ответ: $\frac{5}{7} \cdot 1\frac{1}{8} > \frac{5}{7} : 1\frac{1}{8}$.

в) Сравним число $\frac{20}{9}$ и его квадрат $(\frac{20}{9})^2$. Возведение в квадрат — это умножение числа на само себя: $(\frac{20}{9})^2 = \frac{20}{9} \cdot \frac{20}{9}$. Определим, больше или меньше единицы число $\frac{20}{9}$. Так как числитель 20 больше знаменателя 9, то дробь $\frac{20}{9} > 1$. При умножении числа, которое больше 1, на себя, результат становится еще больше. Следовательно, $\frac{20}{9} \cdot \frac{20}{9} > \frac{20}{9}$. Ответ: $\frac{20}{9} < (\frac{20}{9})^2$.

г) Сравним выражения $15 : \frac{7}{8}$ и $15 : (\frac{7}{8})^2$. В обоих выражениях делимое одинаково и равно 15. При делении на положительные числа, чем меньше делитель, тем больше частное. Сравним делители: $\frac{7}{8}$ и $(\frac{7}{8})^2$. Дробь $\frac{7}{8}$ является правильной, то есть $0 < \frac{7}{8} < 1$. При возведении в квадрат положительной правильной дроби ее значение уменьшается. Это происходит потому, что мы умножаем число, меньшее 1, на другое число, меньшее 1, что дает еще меньший результат. Таким образом, $(\frac{7}{8})^2 < \frac{7}{8}$. Так как делитель во втором выражении меньше, то результат деления будет больше. Значит, $15 : (\frac{7}{8})^2 > 15 : \frac{7}{8}$. Ответ: $15 : \frac{7}{8} < 15 : (\frac{7}{8})^2$.