Страница 202 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Выполните сложение (792–795).

792 а) $1 + 1\frac{1}{4};$

б) $3\frac{1}{2} + 7;$

в) $3 + 1\frac{2}{3} + 6;$

г) $2\frac{3}{8} + 3 + 7;$

д) $9 + 8 + 1\frac{2}{3};$

е) $1\frac{1}{3} + 2\frac{1}{3} + 3.$

Образец. $2 + 5\frac{1}{6} = (2 + 5) + \frac{1}{6} = 7 + \frac{1}{6} = 7\frac{1}{6}.$

а) Для сложения целого числа со смешанным числом нужно сложить их целые части, а дробную часть смешанного числа оставить без изменения.$1 + 1\frac{1}{4} = (1 + 1) + \frac{1}{4} = 2 + \frac{1}{4} = 2\frac{1}{4}$.Ответ: $2\frac{1}{4}$.

б) Чтобы сложить смешанное число и целое число, нужно сложить их целые части, а дробную часть смешанного числа оставить без изменения.$3\frac{1}{2} + 7 = (3 + 7) + \frac{1}{2} = 10 + \frac{1}{2} = 10\frac{1}{2}$.Ответ: $10\frac{1}{2}$.

в) Чтобы сложить целые числа и смешанное число, нужно сложить все целые части, а дробную часть смешанного числа оставить без изменения.$3 + 1\frac{2}{3} + 6 = (3 + 1 + 6) + \frac{2}{3} = 10 + \frac{2}{3} = 10\frac{2}{3}$.Ответ: $10\frac{2}{3}$.

г) Складываем все целые части вместе, а дробную часть оставляем без изменений.$2\frac{3}{8} + 3 + 7 = (2 + 3 + 7) + \frac{3}{8} = 12 + \frac{3}{8} = 12\frac{3}{8}$.Ответ: $12\frac{3}{8}$.

д) Складываем все целые части вместе, а дробную часть оставляем без изменений.$9 + 8 + 1\frac{2}{3} = (9 + 8 + 1) + \frac{2}{3} = 18 + \frac{2}{3} = 18\frac{2}{3}$.Ответ: $18\frac{2}{3}$.

е) Чтобы сложить смешанные числа и целое число, нужно сложить отдельно их целые части и отдельно их дробные части.Сумма целых частей: $1 + 2 + 3 = 6$.Сумма дробных частей: $\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{1+1}{3} = \frac{2}{3}$.Складываем сумму целых и сумму дробных частей: $6 + \frac{2}{3} = 6\frac{2}{3}$.Ответ: $6\frac{2}{3}$.

793 а) $3\frac{1}{2} + \frac{1}{2}$;

Б) $4\frac{1}{3} + 1\frac{2}{3}$;

В) $2\frac{3}{8} + 3\frac{5}{8}$;

Г) $3\frac{2}{3} + 1\frac{2}{3}$;

Д) $\frac{5}{7} + 5\frac{4}{7}$;

е) $5\frac{2}{9} + 2\frac{1}{9}$.

а)

Чтобы сложить смешанное число и дробь, можно сложить их дробные части, а целую часть оставить без изменений. Если в результате сложения дробных частей получается единица, ее нужно прибавить к целой части.

$3\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 3 + (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) = 3 + \frac{1+1}{2} = 3 + \frac{2}{2} = 3 + 1 = 4$

Ответ: $4$

б)

Чтобы сложить два смешанных числа, нужно отдельно сложить их целые части и отдельно их дробные части. Затем сложить полученные результаты.

$4\frac{1}{3} + 1\frac{2}{3} = (4+1) + (\frac{1}{3} + \frac{2}{3}) = 5 + \frac{1+2}{3} = 5 + \frac{3}{3} = 5 + 1 = 6$

Ответ: $6$

в)

Складываем целые части и дробные части по отдельности. Сумма дробных частей равна единице, которую прибавляем к сумме целых частей.

$2\frac{3}{8} + 3\frac{5}{8} = (2+3) + (\frac{3}{8} + \frac{5}{8}) = 5 + \frac{3+5}{8} = 5 + \frac{8}{8} = 5 + 1 = 6$

Ответ: $6$

г)

Складываем целые и дробные части. Сумма дробных частей является неправильной дробью, поэтому из нее нужно выделить целую часть и прибавить к сумме целых частей.

$3\frac{2}{3} + 1\frac{2}{3} = (3+1) + (\frac{2}{3} + \frac{2}{3}) = 4 + \frac{2+2}{3} = 4 + \frac{4}{3} = 4 + 1\frac{1}{3} = 5\frac{1}{3}$

Ответ: $5\frac{1}{3}$

д)

Складываем дробные части. Так как их сумма является неправильной дробью, выделяем из нее целую часть и прибавляем к целой части исходного смешанного числа.

$\frac{5}{7} + 5\frac{4}{7} = 5 + (\frac{5}{7} + \frac{4}{7}) = 5 + \frac{5+4}{7} = 5 + \frac{9}{7} = 5 + 1\frac{2}{7} = 6\frac{2}{7}$

Ответ: $6\frac{2}{7}$

е)

Складываем целые и дробные части. Полученную в результате сложения дробную часть можно сократить.

$5\frac{2}{9} + 2\frac{1}{9} = (5+2) + (\frac{2}{9} + \frac{1}{9}) = 7 + \frac{2+1}{9} = 7 + \frac{3}{9}$

Сократим дробную часть: $\frac{3}{9} = \frac{3 \div 3}{9 \div 3} = \frac{1}{3}$

Таким образом, результат равен $7\frac{1}{3}$.

Ответ: $7\frac{1}{3}$

794 а) $ \frac{3}{8} + 2\frac{1}{4} $;

б) $ \frac{1}{4} + 3\frac{1}{6} $;

В) $ 5\frac{2}{15} + 3\frac{2}{9} $;

Г) $ 2\frac{4}{9} + \frac{1}{6} $;

Д) $ 1\frac{3}{5} + 10\frac{1}{4} $;

е) $ 4\frac{1}{4} + \frac{2}{9} $.

а) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, необходимо привести их к общему знаменателю. Для дробей $\frac{3}{8}$ и $2\frac{1}{4}$ наименьшим общим знаменателем будет 8. Приведем дробную часть смешанного числа $2\frac{1}{4}$ к знаменателю 8. Для этого умножим числитель и знаменатель на 2:
$2\frac{1}{4} = 2\frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} = 2\frac{2}{8}$
Теперь выполним сложение:
$\frac{3}{8} + 2\frac{2}{8} = 2 + (\frac{3}{8} + \frac{2}{8}) = 2 + \frac{3+2}{8} = 2\frac{5}{8}$
Ответ: $2\frac{5}{8}$

б) Для сложения $\frac{1}{4} + 3\frac{1}{6}$ найдем наименьший общий знаменатель для 4 и 6. Наименьшее общее кратное (НОК) для 4 и 6 равно 12.
Приведем дроби к знаменателю 12:
$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12}$
$3\frac{1}{6} = 3\frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = 3\frac{2}{12}$
Теперь сложим полученные числа:
$\frac{3}{12} + 3\frac{2}{12} = 3 + (\frac{3}{12} + \frac{2}{12}) = 3 + \frac{3+2}{12} = 3\frac{5}{12}$
Ответ: $3\frac{5}{12}$

в) Для сложения $5\frac{2}{15} + 3\frac{2}{9}$ найдем наименьший общий знаменатель для 15 и 9. НОК(15, 9) = 45.
Приведем дробные части к знаменателю 45:
$5\frac{2}{15} = 5\frac{2 \cdot 3}{15 \cdot 3} = 5\frac{6}{45}$
$3\frac{2}{9} = 3\frac{2 \cdot 5}{9 \cdot 5} = 3\frac{10}{45}$
Сложим отдельно целые и дробные части:
$5\frac{6}{45} + 3\frac{10}{45} = (5+3) + (\frac{6}{45} + \frac{10}{45}) = 8 + \frac{16}{45} = 8\frac{16}{45}$
Ответ: $8\frac{16}{45}$

г) Для сложения $2\frac{4}{9} + \frac{1}{6}$ найдем наименьший общий знаменатель для 9 и 6. НОК(9, 6) = 18.
Приведем дроби к знаменателю 18:
$2\frac{4}{9} = 2\frac{4 \cdot 2}{9 \cdot 2} = 2\frac{8}{18}$
$\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{3}{18}$
Выполним сложение:
$2\frac{8}{18} + \frac{3}{18} = 2 + (\frac{8}{18} + \frac{3}{18}) = 2 + \frac{8+3}{18} = 2\frac{11}{18}$
Ответ: $2\frac{11}{18}$

д) Для сложения $1\frac{3}{5} + 10\frac{1}{4}$ найдем наименьший общий знаменатель для 5 и 4. НОК(5, 4) = 20.
Приведем дробные части к знаменателю 20:
$1\frac{3}{5} = 1\frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 4} = 1\frac{12}{20}$
$10\frac{1}{4} = 10\frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} = 10\frac{5}{20}$
Сложим отдельно целые и дробные части:
$1\frac{12}{20} + 10\frac{5}{20} = (1+10) + (\frac{12}{20} + \frac{5}{20}) = 11 + \frac{12+5}{20} = 11\frac{17}{20}$
Ответ: $11\frac{17}{20}$

е) Для сложения $4\frac{1}{4} + \frac{2}{9}$ найдем наименьший общий знаменатель для 4 и 9. НОК(4, 9) = 36.
Приведем дроби к знаменателю 36:
$4\frac{1}{4} = 4\frac{1 \cdot 9}{4 \cdot 9} = 4\frac{9}{36}$
$\frac{2}{9} = \frac{2 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{8}{36}$
Выполним сложение:
$4\frac{9}{36} + \frac{8}{36} = 4 + (\frac{9}{36} + \frac{8}{36}) = 4 + \frac{9+8}{36} = 4\frac{17}{36}$
Ответ: $4\frac{17}{36}$

795 a) $2\frac{3}{4} + 1\frac{2}{3}$;

б) $8\frac{3}{5} + 1\frac{9}{10}$;

В) $\frac{7}{20} + 8\frac{3}{4}$;

Г) $12\frac{5}{6} + \frac{4}{15}$;

Д) $8\frac{5}{6} + 2\frac{3}{8}$;

е) $1\frac{4}{5} + 3\frac{11}{30}$.

а) $2\frac{3}{4} + 1\frac{2}{3}$.
Чтобы сложить смешанные числа, сложим отдельно их целые и дробные части.
Сложение целых частей: $2 + 1 = 3$.
Сложение дробных частей: $\frac{3}{4} + \frac{2}{3}$.
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для 4 и 3 равно 12.
$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$
Теперь сложим дроби: $\frac{9}{12} + \frac{8}{12} = \frac{9+8}{12} = \frac{17}{12}$.
Дробь $\frac{17}{12}$ — неправильная. Выделим из нее целую часть: $\frac{17}{12} = 1\frac{5}{12}$.
Сложим результат сложения целых частей и результат сложения дробных частей: $3 + 1\frac{5}{12} = 4\frac{5}{12}$.
Ответ: $4\frac{5}{12}$.

б) $8\frac{3}{5} + 1\frac{9}{10}$.
Сложим целые части: $8 + 1 = 9$.
Сложим дробные части: $\frac{3}{5} + \frac{9}{10}$.
Общий знаменатель для 5 и 10 равен 10.
$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10}$.
Сложим дроби: $\frac{6}{10} + \frac{9}{10} = \frac{6+9}{10} = \frac{15}{10}$.
Сократим дробь $\frac{15}{10}$, разделив числитель и знаменатель на 5: $\frac{15 \div 5}{10 \div 5} = \frac{3}{2}$.
Выделим целую часть: $\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.
Сложим результаты: $9 + 1\frac{1}{2} = 10\frac{1}{2}$.
Ответ: $10\frac{1}{2}$.

в) $\frac{7}{20} + 8\frac{3}{4}$.
В этом примере целая часть есть только у второго слагаемого. Сложим дробные части.
$\frac{7}{20} + \frac{3}{4}$.
Общий знаменатель для 20 и 4 равен 20.
$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{15}{20}$.
Сложим дроби: $\frac{7}{20} + \frac{15}{20} = \frac{7+15}{20} = \frac{22}{20}$.
Сократим дробь на 2: $\frac{22 \div 2}{20 \div 2} = \frac{11}{10}$.
Выделим целую часть: $\frac{11}{10} = 1\frac{1}{10}$.
Теперь добавим целую часть из исходного числа: $8 + 1\frac{1}{10} = 9\frac{1}{10}$.
Ответ: $9\frac{1}{10}$.

г) $12\frac{5}{6} + \frac{4}{15}$.
Сложим дробные части.
$\frac{5}{6} + \frac{4}{15}$.
НОК для 6 и 15 равно 30.
$\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{25}{30}$.
$\frac{4}{15} = \frac{4 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{8}{30}$.
Сложим дроби: $\frac{25}{30} + \frac{8}{30} = \frac{25+8}{30} = \frac{33}{30}$.
Сократим дробь на 3: $\frac{33 \div 3}{30 \div 3} = \frac{11}{10}$.
Выделим целую часть: $\frac{11}{10} = 1\frac{1}{10}$.
Добавим целую часть из исходного числа: $12 + 1\frac{1}{10} = 13\frac{1}{10}$.
Ответ: $13\frac{1}{10}$.

д) $8\frac{5}{6} + 2\frac{3}{8}$.
Сложим целые части: $8 + 2 = 10$.
Сложим дробные части: $\frac{5}{6} + \frac{3}{8}$.
НОК для 6 и 8 равно 24.
$\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{20}{24}$.
$\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{9}{24}$.
Сложим дроби: $\frac{20}{24} + \frac{9}{24} = \frac{20+9}{24} = \frac{29}{24}$.
Выделим целую часть: $\frac{29}{24} = 1\frac{5}{24}$.
Сложим результаты: $10 + 1\frac{5}{24} = 11\frac{5}{24}$.
Ответ: $11\frac{5}{24}$.

е) $1\frac{4}{5} + 3\frac{11}{30}$.
Сложим целые части: $1 + 3 = 4$.
Сложим дробные части: $\frac{4}{5} + \frac{11}{30}$.
Общий знаменатель для 5 и 30 равен 30.
$\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{24}{30}$.
Сложим дроби: $\frac{24}{30} + \frac{11}{30} = \frac{24+11}{30} = \frac{35}{30}$.
Сократим дробь на 5: $\frac{35 \div 5}{30 \div 5} = \frac{7}{6}$.
Выделим целую часть: $\frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}$.
Сложим результаты: $4 + 1\frac{1}{6} = 5\frac{1}{6}$.
Ответ: $5\frac{1}{6}$.

796 а) В среду уроки в 5 классе длились $3\frac{1}{3}$ ч, а перемены – $\frac{5}{6}$ ч. Сколько времени пятиклассники находились в школе? Выразите ответ сначала в часах, а затем в часах и минутах.

б) Масса котёнка $\frac{3}{5}$ кг, а масса щенка $1\frac{3}{4}$ кг. Какими будут показания весов, если их поместить на весы вместе? Дайте ответ сначала в килограммах, а затем в килограммах и граммах.

а)

Чтобы найти общее время, которое пятиклассники находились в школе, нужно сложить продолжительность уроков и перемен.

1. Сначала сложим время, выраженное в часах:

$3\frac{1}{3} \text{ ч} + \frac{5}{6} \text{ ч}$

2. Для выполнения сложения преобразуем смешанное число в неправильную дробь и приведём дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 6 это 6.

$3\frac{1}{3} = \frac{3 \times 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$

Приводим дробь $\frac{10}{3}$ к знаменателю 6:

$\frac{10}{3} = \frac{10 \times 2}{3 \times 2} = \frac{20}{6}$

3. Теперь сложим полученные дроби:

$\frac{20}{6} + \frac{5}{6} = \frac{20 + 5}{6} = \frac{25}{6}$ ч

4. Выделим целую часть, чтобы получить смешанное число:

$\frac{25}{6} = 4\frac{1}{6}$ ч

Это первый ответ — в часах.

5. Чтобы выразить ответ в часах и минутах, нужно перевести дробную часть часа в минуты. Мы знаем, что 1 час = 60 минут.

$\frac{1}{6} \text{ ч} = \frac{1}{6} \times 60 \text{ мин} = 10 \text{ мин}$

Таким образом, общее время пребывания в школе составляет 4 часа 10 минут.

Ответ: Пятиклассники находились в школе $4\frac{1}{6}$ часа, что составляет 4 часа 10 минут.

б)

Чтобы узнать показания весов, нужно сложить массу котёнка и массу щенка.

1. Сложим массы животных:

$\frac{3}{5} \text{ кг} + 1\frac{3}{4} \text{ кг}$

2. Для сложения приведём дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 4 это 20. Преобразуем смешанное число $1\frac{3}{4}$ в неправильную дробь:

$1\frac{3}{4} = \frac{1 \times 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$

3. Приведём обе дроби к знаменателю 20:

$\frac{3}{5} = \frac{3 \times 4}{5 \times 4} = \frac{12}{20}$

$\frac{7}{4} = \frac{7 \times 5}{4 \times 5} = \frac{35}{20}$

4. Теперь сложим дроби:

$\frac{12}{20} + \frac{35}{20} = \frac{12 + 35}{20} = \frac{47}{20}$ кг

5. Выделим целую часть, чтобы получить смешанное число:

$\frac{47}{20} = 2\frac{7}{20}$ кг

Это первый ответ — в килограммах.

6. Чтобы выразить ответ в килограммах и граммах, нужно перевести дробную часть килограмма в граммы. Мы знаем, что 1 кг = 1000 г.

$\frac{7}{20} \text{ кг} = \frac{7}{20} \times 1000 \text{ г} = 7 \times 50 \text{ г} = 350 \text{ г}$

Таким образом, общая масса составляет 2 кг 350 г.

Ответ: Показания весов будут $2\frac{7}{20}$ кг, что составляет 2 кг 350 г.