Страница 201 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

790 Расположите в порядке возрастания числа:

а) $ \frac{11}{12}, \frac{13}{24}, \frac{5}{8} $

б) $ \frac{4}{5}, \frac{7}{10}, \frac{8}{15}, \frac{11}{30} $

a)

Чтобы расположить числа $\frac{11}{12}$, $\frac{13}{24}$ и $\frac{5}{8}$ в порядке возрастания, необходимо привести их к общему знаменателю. Знаменатели дробей: 12, 24, 8. Наименьшее общее кратное (НОК) для этих чисел — 24.

Приведем каждую дробь к знаменателю 24:

$\frac{11}{12} = \frac{11 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{22}{24}$

$\frac{13}{24}$ — эту дробь оставляем без изменений.

$\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24}$

Теперь сравним полученные дроби: $\frac{22}{24}$, $\frac{13}{24}$ и $\frac{15}{24}$. Поскольку знаменатели одинаковы, сравниваем числители: $13 < 15 < 22$.

Следовательно, порядок дробей по возрастанию будет таким: $\frac{13}{24}$, $\frac{15}{24}$, $\frac{22}{24}$.

Соответственно, исходные дроби в порядке возрастания: $\frac{13}{24}$, $\frac{5}{8}$, $\frac{11}{12}$.

Ответ: $\frac{13}{24}, \frac{5}{8}, \frac{11}{12}$.

б)

Чтобы расположить числа $\frac{4}{5}$, $\frac{7}{10}$, $\frac{8}{15}$ и $\frac{11}{30}$ в порядке возрастания, необходимо привести их к общему знаменателю. Знаменатели дробей: 5, 10, 15, 30. Наименьшее общее кратное (НОК) для этих чисел — 30.

Приведем каждую дробь к знаменателю 30:

$\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{24}{30}$

$\frac{7}{10} = \frac{7 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{21}{30}$

$\frac{8}{15} = \frac{8 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{16}{30}$

$\frac{11}{30}$ — эту дробь оставляем без изменений.

Теперь сравним полученные дроби: $\frac{24}{30}$, $\frac{21}{30}$, $\frac{16}{30}$ и $\frac{11}{30}$. Поскольку знаменатели одинаковы, сравниваем числители: $11 < 16 < 21 < 24$.

Следовательно, порядок дробей по возрастанию будет таким: $\frac{11}{30}$, $\frac{16}{30}$, $\frac{21}{30}$, $\frac{24}{30}$.

Соответственно, исходные дроби в порядке возрастания: $\frac{11}{30}$, $\frac{8}{15}$, $\frac{7}{10}$, $\frac{4}{5}$.

Ответ: $\frac{11}{30}, \frac{8}{15}, \frac{7}{10}, \frac{4}{5}$.

791. Найдите величину углов $ABD$ и $DBC$ (рис. 9.3),

если известно, что:

а) угол $ABD$ на $80^\circ$ больше угла $DBC$;

б) угол $DBC$ в 2 раза меньше угла $ABD$.

Рис. 9.3

790

а) Чтобы расположить дроби $\frac{11}{12}$, $\frac{13}{24}$ и $\frac{5}{8}$ в порядке возрастания, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 12, 24 и 8 является 24.

Приведем каждую дробь к знаменателю 24:
$\frac{11}{12} = \frac{11 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{22}{24}$
$\frac{13}{24}$ — уже имеет нужный знаменатель.
$\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24}$

Теперь сравним полученные дроби по их числителям: $13 < 15 < 22$.

Следовательно, дроби в порядке возрастания располагаются так: $\frac{13}{24}$, $\frac{15}{24}$, $\frac{22}{24}$.

Соответствующие исходные дроби: $\frac{13}{24}$, $\frac{5}{8}$, $\frac{11}{12}$.

Ответ: $\frac{13}{24}$, $\frac{5}{8}$, $\frac{11}{12}$.

б) Чтобы расположить дроби $\frac{4}{5}$, $\frac{7}{10}$, $\frac{8}{15}$ и $\frac{11}{30}$ в порядке возрастания, приведем их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для 5, 10, 15 и 30 является 30.

Приведем дроби к знаменателю 30:
$\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{24}{30}$
$\frac{7}{10} = \frac{7 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{21}{30}$
$\frac{8}{15} = \frac{8 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{16}{30}$
$\frac{11}{30}$ — уже имеет нужный знаменатель.

Сравним числители полученных дробей: $11 < 16 < 21 < 24$.

Следовательно, дроби в порядке возрастания располагаются так: $\frac{11}{30}$, $\frac{16}{30}$, $\frac{21}{30}$, $\frac{24}{30}$.

Соответствующие исходные дроби: $\frac{11}{30}$, $\frac{8}{15}$, $\frac{7}{10}$, $\frac{4}{5}$.

Ответ: $\frac{11}{30}$, $\frac{8}{15}$, $\frac{7}{10}$, $\frac{4}{5}$.

791

На рисунке 9.3 изображен развернутый угол ABC, который равен $180^\circ$. Углы ABD и DBC являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$: $\angle ABD + \angle DBC = 180^\circ$.

а) Пусть величина угла DBC равна $x$. По условию, угол ABD на $80^\circ$ больше угла DBC, следовательно, $\angle ABD = x + 80^\circ$.

Составим и решим уравнение:
$(x + 80^\circ) + x = 180^\circ$
$2x + 80^\circ = 180^\circ$
$2x = 180^\circ - 80^\circ$
$2x = 100^\circ$
$x = 50^\circ$

Таким образом, $\angle DBC = 50^\circ$.

Тогда $\angle ABD = 50^\circ + 80^\circ = 130^\circ$.

Ответ: $\angle ABD = 130^\circ$, $\angle DBC = 50^\circ$.

б) Пусть величина угла DBC равна $y$. По условию, угол DBC в 2 раза меньше угла ABD, это означает, что $\angle ABD = 2y$.

Составим и решим уравнение:
$2y + y = 180^\circ$
$3y = 180^\circ$
$y = \frac{180^\circ}{3}$
$y = 60^\circ$

Таким образом, $\angle DBC = 60^\circ$.

Тогда $\angle ABD = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $\angle ABD = 120^\circ$, $\angle DBC = 60^\circ$.

На примере суммы $3\frac{1}{7} + 1\frac{2}{7}$ расскажите, как складывают смешанные дроби.

Найдите сумму $4\frac{2}{9} + 8$.

Расскажите на примере выражения $1\frac{3}{7} - \frac{5}{7}$, как вычислить разность двух чисел, если одно из них (или оба) является смешанной дробью.

На примере суммы $3\frac{1}{7} + 1\frac{2}{7}$ расскажите, как складывают смешанные дроби.

Чтобы сложить смешанные дроби, нужно отдельно сложить их целые части и отдельно — их дробные части. Если знаменатели у дробных частей одинаковые, то складываются их числители, а знаменатель остается прежним.

Рассмотрим на примере $3\frac{1}{7} + 1\frac{2}{7}$:

1. Складываем целые части: $3 + 1 = 4$.

2. Складываем дробные части: $\frac{1}{7} + \frac{2}{7} = \frac{1+2}{7} = \frac{3}{7}$.

3. Соединяем полученные результаты: $4 + \frac{3}{7} = 4\frac{3}{7}$.

Полное решение выглядит так: $3\frac{1}{7} + 1\frac{2}{7} = (3+1) + (\frac{1}{7} + \frac{2}{7}) = 4 + \frac{3}{7} = 4\frac{3}{7}$.

Ответ: $4\frac{3}{7}$.

Найдите сумму $4\frac{2}{9} + 8$.

Чтобы найти сумму смешанной дроби и целого числа, необходимо сложить их целые части, а дробную часть оставить без изменений.

В выражении $4\frac{2}{9} + 8$ целые части — это $4$ и $8$, а дробная часть — $\frac{2}{9}$.

1. Складываем целые части: $4 + 8 = 12$.

2. Прибавляем к результату дробную часть: $12 + \frac{2}{9} = 12\frac{2}{9}$.

Таким образом, полное решение: $4\frac{2}{9} + 8 = (4+8) + \frac{2}{9} = 12\frac{2}{9}$.

Ответ: $12\frac{2}{9}$.

Расскажите на примере выражения $1\frac{3}{7} - \frac{5}{7}$, как вычислить разность двух чисел, если одно из них (или оба) является смешанной дробью.

При вычитании дроби из смешанной дроби (или одной смешанной дроби из другой) сначала нужно сравнить их дробные части.

В примере $1\frac{3}{7} - \frac{5}{7}$ мы видим, что дробная часть уменьшаемого ($\frac{3}{7}$) меньше вычитаемой дроби ($\frac{5}{7}$). В таком случае вычесть дробные части напрямую нельзя. Необходимо "занять" единицу у целой части уменьшаемого. Самый простой способ это сделать — преобразовать смешанную дробь в неправильную.

1. Представим смешанную дробь $1\frac{3}{7}$ в виде неправильной дроби. Для этого умножим целую часть на знаменатель и к результату прибавим числитель, а знаменатель оставим прежним: $1\frac{3}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{10}{7}$.

2. Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, вычитая их числители: $\frac{10}{7} - \frac{5}{7} = \frac{10-5}{7} = \frac{5}{7}$.

Если бы дробная часть уменьшаемого была больше или равна дробной части вычитаемого, можно было бы вычитать целые и дробные части по отдельности.

Ответ: $\frac{5}{7}$.