Страница 194 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

746 Сложите дроби и, если возможно, сократите получившуюся дробь:

а) $\frac{3}{7} + \frac{1}{7}$;

б) $\frac{3}{10} + \frac{2}{10}$;

в) $\frac{1}{3} + \frac{2}{3}$;

г) $\frac{1}{7} + \frac{2}{7} + \frac{3}{7}$;

д) $\frac{2}{15} + \frac{4}{15} + \frac{4}{15}$;

е) $\frac{4}{17} + \frac{6}{17} + \frac{7}{17}$.

а) Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.
$\frac{3}{7} + \frac{1}{7} = \frac{3+1}{7} = \frac{4}{7}$
Дробь $\frac{4}{7}$ сократить нельзя, так как у числителя и знаменателя нет общих делителей, кроме 1.
Ответ: $\frac{4}{7}$

б) Складываем числители, а знаменатель оставляем тот же.
$\frac{3}{10} + \frac{2}{10} = \frac{3+2}{10} = \frac{5}{10}$
Получившуюся дробь можно сократить. Разделим числитель и знаменатель на их общий делитель 5.
$\frac{5}{10} = \frac{5 \div 5}{10 \div 5} = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

в) Складываем числители дробей.
$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{1+2}{3} = \frac{3}{3}$
Если числитель дроби равен знаменателю, то такая дробь равна 1.
$\frac{3}{3} = 1$
Ответ: $1$

г) Складываем числители всех трех дробей.
$\frac{1}{7} + \frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{1+2+3}{7} = \frac{6}{7}$
Дробь $\frac{6}{7}$ является несократимой.
Ответ: $\frac{6}{7}$

д) Складываем числители, а знаменатель оставляем прежним.
$\frac{2}{15} + \frac{4}{15} + \frac{4}{15} = \frac{2+4+4}{15} = \frac{10}{15}$
Сократим полученную дробь. Общий делитель для 10 и 15 — это 5.
$\frac{10}{15} = \frac{10 \div 5}{15 \div 5} = \frac{2}{3}$
Ответ: $\frac{2}{3}$

е) Складываем числители дробей.
$\frac{4}{17} + \frac{6}{17} + \frac{7}{17} = \frac{4+6+7}{17} = \frac{17}{17}$
Если числитель дроби равен знаменателю, то такая дробь равна 1.
$\frac{17}{17} = 1$
Ответ: $1$

747 Найдите разность и, если возможно, упростите результат:

а) $\frac{7}{9} - \frac{5}{9};$

б) $\frac{17}{25} - \frac{7}{25};$

в) $\frac{9}{16} - \frac{3}{16};$

г) $\frac{7}{12} - \frac{1}{12};$

д) $\frac{19}{21} - \frac{4}{21};$

е) $\frac{57}{100} - \frac{17}{100}.$

а) Чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить без изменений.

$\frac{7}{9} - \frac{5}{9} = \frac{7-5}{9} = \frac{2}{9}$

Дробь $\frac{2}{9}$ является несократимой, так как числитель 2 и знаменатель 9 не имеют общих делителей, кроме 1.

Ответ: $\frac{2}{9}$.

б) Выполняем вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{17}{25} - \frac{7}{25} = \frac{17-7}{25} = \frac{10}{25}$

Упростим (сократим) полученную дробь. Для этого разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 5.

$\frac{10}{25} = \frac{10 \div 5}{25 \div 5} = \frac{2}{5}$

Ответ: $\frac{2}{5}$.

в) Выполним вычитание дробей:

$\frac{9}{16} - \frac{3}{16} = \frac{9-3}{16} = \frac{6}{16}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 6 и 16 равен 2.

$\frac{6}{16} = \frac{6 \div 2}{16 \div 2} = \frac{3}{8}$

Ответ: $\frac{3}{8}$.

г) Найдем разность дробей:

$\frac{7}{12} - \frac{1}{12} = \frac{7-1}{12} = \frac{6}{12}$

Сократим результат. Наибольший общий делитель для 6 и 12 равен 6.

$\frac{6}{12} = \frac{6 \div 6}{12 \div 6} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

д) Выполним вычитание:

$\frac{19}{21} - \frac{4}{21} = \frac{19-4}{21} = \frac{15}{21}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 15 и 21 равен 3.

$\frac{15}{21} = \frac{15 \div 3}{21 \div 3} = \frac{5}{7}$

Ответ: $\frac{5}{7}$.

е) Найдем разность дробей:

$\frac{57}{100} - \frac{17}{100} = \frac{57-17}{100} = \frac{40}{100}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 40 и 100 равен 20.

$\frac{40}{100} = \frac{40 \div 20}{100 \div 20} = \frac{2}{5}$

Ответ: $\frac{2}{5}$.

748 ИЩЕМ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ Найдите три следующих числа в последовательности дробей:

а) $\frac{1}{17}, \frac{3}{17}, \frac{5}{17}, ...$

б) $\frac{8}{21}, \frac{11}{21}, \frac{14}{21}, ...$

а)

В данной последовательности дробей $ \frac{1}{17}, \frac{3}{17}, \frac{5}{17}, ... $ знаменатель каждой дроби остается неизменным и равен 17.
Рассмотрим последовательность числителей: 1, 3, 5, ... . Это последовательность нечетных чисел, каждый следующий член которой увеличивается на 2.
Чтобы найти следующие три члена последовательности, нужно продолжить эту закономерность:
Четвертый числитель: $ 5 + 2 = 7 $. Дробь: $ \frac{7}{17} $.
Пятый числитель: $ 7 + 2 = 9 $. Дробь: $ \frac{9}{17} $.
Шестой числитель: $ 9 + 2 = 11 $. Дробь: $ \frac{11}{17} $.
Таким образом, следующие три числа в последовательности — это $ \frac{7}{17}, \frac{9}{17}, \frac{11}{17} $.
Ответ: $ \frac{7}{17}, \frac{9}{17}, \frac{11}{17} $.

б)

В данной последовательности дробей $ \frac{8}{21}, \frac{11}{21}, \frac{14}{21}, ... $ знаменатель каждой дроби также остается неизменным и равен 21.
Рассмотрим последовательность числителей: 8, 11, 14, ... . Найдем разность между соседними членами: $ 11 - 8 = 3 $, $ 14 - 11 = 3 $. Каждый следующий числитель увеличивается на 3.
Чтобы найти следующие три члена последовательности, продолжим эту закономерность:
Четвертый числитель: $ 14 + 3 = 17 $. Дробь: $ \frac{17}{21} $.
Пятый числитель: $ 17 + 3 = 20 $. Дробь: $ \frac{20}{21} $.
Шестой числитель: $ 20 + 3 = 23 $. Дробь: $ \frac{23}{21} $.
Таким образом, следующие три числа в последовательности — это $ \frac{17}{21}, \frac{20}{21}, \frac{23}{21} $.
Ответ: $ \frac{17}{21}, \frac{20}{21}, \frac{23}{21} $.

Приведите дроби к общему знаменателю и выполните действия (749–751).

749 a) $ \frac{1}{2} + \frac{1}{4}; $

б) $ \frac{2}{3} + \frac{1}{6}; $

в) $ \frac{5}{8} + \frac{5}{24}; $

г) $ \frac{1}{2} - \frac{1}{8}; $

д) $ \frac{2}{3} - \frac{4}{9}; $

е) $ \frac{3}{4} - \frac{1}{12}. $

а) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для дробей $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{4}$ равен 4. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель 2:
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2+1}{4} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$.

б) Наименьший общий знаменатель для дробей $\frac{2}{3}$ и $\frac{1}{6}$ равен 6. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель 2:
$\frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4+1}{6} = \frac{5}{6}$.
Ответ: $\frac{5}{6}$.

в) Наименьший общий знаменатель для дробей $\frac{5}{8}$ и $\frac{5}{24}$ равен 24. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель 3:
$\frac{5}{8} + \frac{5}{24} = \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} + \frac{5}{24} = \frac{15}{24} + \frac{5}{24} = \frac{15+5}{24} = \frac{20}{24}$.
Полученную дробь можно сократить. Наибольший общий делитель для 20 и 24 равен 4. Разделим числитель и знаменатель на 4:
$\frac{20}{24} = \frac{20 \div 4}{24 \div 4} = \frac{5}{6}$.
Ответ: $\frac{5}{6}$.

г) Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для дробей $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{8}$ равен 8. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель 4:
$\frac{1}{2} - \frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 4} - \frac{1}{8} = \frac{4}{8} - \frac{1}{8} = \frac{4-1}{8} = \frac{3}{8}$.
Ответ: $\frac{3}{8}$.

д) Наименьший общий знаменатель для дробей $\frac{2}{3}$ и $\frac{4}{9}$ равен 9. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель 3:
$\frac{2}{3} - \frac{4}{9} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{4}{9} = \frac{6}{9} - \frac{4}{9} = \frac{6-4}{9} = \frac{2}{9}$.
Ответ: $\frac{2}{9}$.

е) Наименьший общий знаменатель для дробей $\frac{3}{4}$ и $\frac{1}{12}$ равен 12. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель 3:
$\frac{3}{4} - \frac{1}{12} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{1}{12} = \frac{9}{12} - \frac{1}{12} = \frac{9-1}{12} = \frac{8}{12}$.
Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 8 и 12 равен 4. Разделим числитель и знаменатель на 4:
$\frac{8}{12} = \frac{8 \div 4}{12 \div 4} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

750 a) $ \frac{1}{2} + \frac{5}{7} $;

B) $ \frac{1}{2} - \frac{1}{3} $;

Д) $ \frac{2}{3} - \frac{1}{5} $;

б) $ \frac{4}{5} + \frac{1}{6} $;

Г) $ \frac{1}{3} - \frac{1}{4} $;

е) $ \frac{5}{7} - \frac{2}{3} $.

а)

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их необходимо привести к общему знаменателю. Для дробей $\frac{1}{2}$ и $\frac{5}{7}$ наименьшим общим знаменателем будет наименьшее общее кратное (НОК) чисел 2 и 7. Так как 2 и 7 – простые числа, НОК(2, 7) = $2 \times 7 = 14$.

Теперь приведем каждую дробь к знаменателю 14. Для этого числитель и знаменатель первой дроби домножим на 7, а второй – на 2:

$\frac{1}{2} = \frac{1 \times 7}{2 \times 7} = \frac{7}{14}$

$\frac{5}{7} = \frac{5 \times 2}{7 \times 2} = \frac{10}{14}$

Теперь сложим полученные дроби, складывая их числители:

$\frac{7}{14} + \frac{10}{14} = \frac{7+10}{14} = \frac{17}{14}$

Полученную неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа: $1\frac{3}{14}$.

Ответ: $\frac{17}{14}$

б)

Найдем общий знаменатель для дробей $\frac{4}{5}$ и $\frac{1}{6}$. НОК(5, 6) = 30.

Приведем дроби к знаменателю 30. Дополнительный множитель для первой дроби равен $30 \div 5 = 6$, для второй – $30 \div 6 = 5$.

$\frac{4}{5} = \frac{4 \times 6}{5 \times 6} = \frac{24}{30}$

$\frac{1}{6} = \frac{1 \times 5}{6 \times 5} = \frac{5}{30}$

Сложим дроби:

$\frac{24}{30} + \frac{5}{30} = \frac{24+5}{30} = \frac{29}{30}$

Ответ: $\frac{29}{30}$

в)

Для вычитания дробей $\frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ найдем общий знаменатель. НОК(2, 3) = 6.

Приведем дроби к знаменателю 6:

$\frac{1}{2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6}$

$\frac{1}{3} = \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{2}{6}$

Выполним вычитание:

$\frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$

г)

Для вычитания дробей $\frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ найдем общий знаменатель. НОК(3, 4) = 12.

Приведем дроби к знаменателю 12:

$\frac{1}{3} = \frac{1 \times 4}{3 \times 4} = \frac{4}{12}$

$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12}$

Выполним вычитание:

$\frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{4-3}{12} = \frac{1}{12}$

Ответ: $\frac{1}{12}$

д)

Для вычитания дробей $\frac{2}{3} - \frac{1}{5}$ найдем общий знаменатель. НОК(3, 5) = 15.

Приведем дроби к знаменателю 15:

$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 5}{3 \times 5} = \frac{10}{15}$

$\frac{1}{5} = \frac{1 \times 3}{5 \times 3} = \frac{3}{15}$

Выполним вычитание:

$\frac{10}{15} - \frac{3}{15} = \frac{10-3}{15} = \frac{7}{15}$

Ответ: $\frac{7}{15}$

е)

Для вычитания дробей $\frac{5}{7} - \frac{2}{3}$ найдем общий знаменатель. НОК(7, 3) = 21.

Приведем дроби к знаменателю 21:

$\frac{5}{7} = \frac{5 \times 3}{7 \times 3} = \frac{15}{21}$

$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 7}{3 \times 7} = \frac{14}{21}$

Выполним вычитание:

$\frac{15}{21} - \frac{14}{21} = \frac{15-14}{21} = \frac{1}{21}$

Ответ: $\frac{1}{21}$

751 а) $\frac{1}{4} + \frac{5}{6}$;

б) $\frac{3}{20} + \frac{7}{25}$;

В) $\frac{2}{9} + \frac{1}{6}$;

Г) $\frac{5}{6} - \frac{3}{8}$;

Д) $\frac{9}{10} - \frac{3}{4}$;

е) $\frac{3}{10} - \frac{2}{15}$.

а) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их необходимо привести к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 4 и 6. НОК(4, 6) = 12. Это и будет общий знаменатель.
Найдем дополнительные множители для каждой дроби: для первой дроби $12 \div 4 = 3$, для второй $12 \div 6 = 2$.
Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель и выполним сложение:
$\frac{1}{4} + \frac{5}{6} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{3}{12} + \frac{10}{12} = \frac{3+10}{12} = \frac{13}{12}$.
Полученная дробь является неправильной. Выделим из нее целую часть: $\frac{13}{12} = 1\frac{1}{12}$.
Ответ: $1\frac{1}{12}$.

б) Приведем дроби $\frac{3}{20}$ и $\frac{7}{25}$ к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное знаменателей 20 и 25 равно 100. НОК(20, 25) = 100.
Дополнительные множители: для первой дроби $100 \div 20 = 5$, для второй $100 \div 25 = 4$.
Выполним сложение:
$\frac{3}{20} + \frac{7}{25} = \frac{3 \cdot 5}{20 \cdot 5} + \frac{7 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{15}{100} + \frac{28}{100} = \frac{15+28}{100} = \frac{43}{100}$.
Дробь $\frac{43}{100}$ является несократимой.
Ответ: $\frac{43}{100}$.

в) Найдем наименьший общий знаменатель для дробей $\frac{2}{9}$ и $\frac{1}{6}$. НОК(9, 6) = 18.
Дополнительный множитель для первой дроби $18 \div 9 = 2$, для второй $18 \div 6 = 3$.
Сложим дроби:
$\frac{2}{9} + \frac{1}{6} = \frac{2 \cdot 2}{9 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{4}{18} + \frac{3}{18} = \frac{4+3}{18} = \frac{7}{18}$.
Ответ: $\frac{7}{18}$.

г) Чтобы выполнить вычитание, приведем дроби $\frac{5}{6}$ и $\frac{3}{8}$ к общему знаменателю. НОК(6, 8) = 24.
Дополнительные множители: для первой дроби $24 \div 6 = 4$, для второй $24 \div 8 = 3$.
Выполним вычитание:
$\frac{5}{6} - \frac{3}{8} = \frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} - \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{20}{24} - \frac{9}{24} = \frac{20-9}{24} = \frac{11}{24}$.
Ответ: $\frac{11}{24}$.

д) Приведем дроби $\frac{9}{10}$ и $\frac{3}{4}$ к общему знаменателю. НОК(10, 4) = 20.
Дополнительные множители: для первой дроби $20 \div 10 = 2$, для второй $20 \div 4 = 5$.
Выполним вычитание:
$\frac{9}{10} - \frac{3}{4} = \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} - \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{18}{20} - \frac{15}{20} = \frac{18-15}{20} = \frac{3}{20}$.
Ответ: $\frac{3}{20}$.

е) Найдем наименьший общий знаменатель для дробей $\frac{3}{10}$ и $\frac{2}{15}$. НОК(10, 15) = 30.
Дополнительные множители: для первой дроби $30 \div 10 = 3$, для второй $30 \div 15 = 2$.
Выполним вычитание:
$\frac{3}{10} - \frac{2}{15} = \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} - \frac{2 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{9}{30} - \frac{4}{30} = \frac{9-4}{30} = \frac{5}{30}$.
Полученную дробь можно сократить. Разделим числитель и знаменатель на их общий делитель 5:
$\frac{5}{30} = \frac{5 \div 5}{30 \div 5} = \frac{1}{6}$.
Ответ: $\frac{1}{6}$.