Страница 189 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

740 Сравните значения выражений:

а) $4 : 6$ и $11 : 15$;

Б) $112 : 64$ и $9 : 4$;

В) $72 : 144$ и $36 : 108$;

Г) $81 : 45$ и $56 : 48$.

а) Для того чтобы сравнить значения выражений $4 : 6$ и $11 : 15$, представим их в виде дробей и приведем к общему знаменателю.

Первое выражение: $4 : 6 = \frac{4}{6}$. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 2:

$\frac{4}{6} = \frac{4 \div 2}{6 \div 2} = \frac{2}{3}$

Второе выражение: $11 : 15 = \frac{11}{15}$.

Теперь сравним дроби $\frac{2}{3}$ и $\frac{11}{15}$. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для знаменателей 3 и 15 равно 15.

Приведем первую дробь к знаменателю 15, умножив ее числитель и знаменатель на 5:

$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 5}{3 \times 5} = \frac{10}{15}$

Теперь сравним полученные дроби: $\frac{10}{15}$ и $\frac{11}{15}$.

Так как у дробей одинаковые знаменатели, сравниваем их числители. Поскольку $10 < 11$, то и $\frac{10}{15} < \frac{11}{15}$.

Следовательно, $4 : 6 < 11 : 15$.

Ответ: $4 : 6 < 11 : 15$.

б) Сравним значения выражений $112 : 64$ и $9 : 4$.

Представим выражения в виде дробей и упростим их.

Первое выражение: $112 : 64 = \frac{112}{64}$. Сократим эту дробь. Наибольший общий делитель для чисел 112 и 64 равен 16.

$\frac{112}{64} = \frac{112 \div 16}{64 \div 16} = \frac{7}{4}$

Второе выражение: $9 : 4 = \frac{9}{4}$.

Теперь сравним дроби $\frac{7}{4}$ и $\frac{9}{4}$. Так как знаменатели у дробей одинаковые, сравниваем их числители.

Поскольку $7 < 9$, то $\frac{7}{4} < \frac{9}{4}$.

Следовательно, $112 : 64 < 9 : 4$.

Ответ: $112 : 64 < 9 : 4$.

в) Сравним значения выражений $72 : 144$ и $36 : 108$.

Представим выражения в виде дробей и упростим их.

Первое выражение: $72 : 144 = \frac{72}{144}$. Заметим, что $144 = 72 \times 2$, поэтому дробь можно сократить на 72:

$\frac{72}{144} = \frac{72 \div 72}{144 \div 72} = \frac{1}{2}$

Второе выражение: $36 : 108 = \frac{36}{108}$. Заметим, что $108 = 36 \times 3$, поэтому дробь можно сократить на 36:

$\frac{36}{108} = \frac{36 \div 36}{108 \div 36} = \frac{1}{3}$

Теперь сравним дроби $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$. Приведем их к общему знаменателю 6.

$\frac{1}{2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6}$

$\frac{1}{3} = \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{2}{6}$

Сравниваем числители: $3 > 2$, значит $\frac{3}{6} > \frac{2}{6}$.

Следовательно, $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$, а значит $72 : 144 > 36 : 108$.

Ответ: $72 : 144 > 36 : 108$.

г) Сравним значения выражений $81 : 45$ и $56 : 48$.

Представим выражения в виде дробей и упростим их.

Первое выражение: $81 : 45 = \frac{81}{45}$. Числитель и знаменатель делятся на 9.

$\frac{81}{45} = \frac{81 \div 9}{45 \div 9} = \frac{9}{5}$

Второе выражение: $56 : 48 = \frac{56}{48}$. Числитель и знаменатель делятся на 8.

$\frac{56}{48} = \frac{56 \div 8}{48 \div 8} = \frac{7}{6}$

Теперь сравним дроби $\frac{9}{5}$ и $\frac{7}{6}$. Приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 5 и 6 - это 30.

$\frac{9}{5} = \frac{9 \times 6}{5 \times 6} = \frac{54}{30}$

$\frac{7}{6} = \frac{7 \times 5}{6 \times 5} = \frac{35}{30}$

Сравниваем числители: $54 > 35$, значит $\frac{54}{30} > \frac{35}{30}$.

Следовательно, $\frac{9}{5} > \frac{7}{6}$, а значит $81 : 45 > 56 : 48$.

Ответ: $81 : 45 > 56 : 48$.

741 Сравните числа:

а) $2$ и $\frac{10}{5}$;

б) $\frac{15}{3}$ и $4$;

в) $\frac{16}{2}$ и $\frac{21}{3}$;

г) $\frac{66}{22}$ и $\frac{111}{37}$.

а) Чтобы сравнить число 2 и дробь $\frac{10}{5}$, необходимо вычислить значение дроби. Для этого разделим числитель 10 на знаменатель 5: $10 \div 5 = 2$. Поскольку значение дроби равно 2, числа равны.
Ответ: $2 = \frac{10}{5}$.

б) Для сравнения дроби $\frac{15}{3}$ и числа 4, сначала упростим дробь, разделив числитель 15 на знаменатель 3: $15 \div 3 = 5$. Теперь сравним результат 5 с числом 4. Так как $5 > 4$, то и исходная дробь больше 4.
Ответ: $\frac{15}{3} > 4$.

в) Сравним дроби $\frac{16}{2}$ и $\frac{21}{3}$. Для этого вычислим значение каждой из них. Первая дробь: $\frac{16}{2} = 8$. Вторая дробь: $\frac{21}{3} = 7$. Сравнивая полученные целые числа, видим, что $8 > 7$. Следовательно, первая дробь больше второй.
Ответ: $\frac{16}{2} > \frac{21}{3}$.

г) Чтобы сравнить дроби $\frac{66}{22}$ и $\frac{111}{37}$, найдем их числовые значения. Для первой дроби: $\frac{66}{22} = 3$. Для второй дроби: $\frac{111}{37} = 3$. Так как значения обеих дробей равны 3, то и сами дроби равны между собой.
Ответ: $\frac{66}{22} = \frac{111}{37}$.

742 a) Для покраски пола можно выбрать один из двух видов краски. Расход одной краски составляет $2 \text{ кг на } 5 \text{ м}^2$, а другой — $3 \text{ кг на } 8 \text{ м}^2$. Какую из этих двух красок выгоднее использовать?

б) Коля за 2 с делает 3 шага, а Борис за 3 с — 5 шагов. Кто из них идёт с большей скоростью? (Длина шага у мальчиков одинакова.)

в) Таня и Алёша запечатывают конверты. Таня заклеивает 10 конвертов за 8 мин, а Алёша — 6 конвертов за 4 мин. Кто из них работает быстрее?

а)

Чтобы определить, какую краску выгоднее использовать, необходимо сравнить их расход на одинаковую площадь, например, на 1 квадратный метр. Краска, которой требуется меньше на 1 м², будет выгоднее.

1. Найдем расход первой краски на 1 м²:
Расход составляет 2 кг на 5 м². Следовательно, на 1 м² уходит $2 \div 5 = \frac{2}{5}$ кг краски.

2. Найдем расход второй краски на 1 м²:
Расход составляет 3 кг на 8 м². Следовательно, на 1 м² уходит $3 \div 8 = \frac{3}{8}$ кг краски.

3. Теперь сравним полученные дроби $\frac{2}{5}$ и $\frac{3}{8}$. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 5 и 8 — это 40.
Для первой краски: $\frac{2}{5} = \frac{2 \times 8}{5 \times 8} = \frac{16}{40}$ кг/м².
Для второй краски: $\frac{3}{8} = \frac{3 \times 5}{8 \times 5} = \frac{15}{40}$ кг/м².

Сравниваем числители: $15 < 16$, значит, $\frac{15}{40} < \frac{16}{40}$.
Это означает, что расход второй краски на 1 м² меньше, чем расход первой.

Ответ: Выгоднее использовать вторую краску.

б)

Чтобы определить, кто из мальчиков идёт с большей скоростью, нужно сравнить количество шагов, которое каждый из них делает за одинаковый промежуток времени, например, за 1 секунду. Тот, кто делает больше шагов в секунду, идёт быстрее.

1. Найдем скорость Коли в шагах в секунду:
Коля делает 3 шага за 2 секунды. Его скорость равна $3 \div 2 = \frac{3}{2}$ шага/с.

2. Найдем скорость Бориса в шагах в секунду:
Борис делает 5 шагов за 3 секунды. Его скорость равна $5 \div 3 = \frac{5}{3}$ шага/с.

3. Сравним полученные скорости, то есть дроби $\frac{3}{2}$ и $\frac{5}{3}$. Приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2 и 3 — это 6.
Скорость Коли: $\frac{3}{2} = \frac{3 \times 3}{2 \times 3} = \frac{9}{6}$ шага/с.
Скорость Бориса: $\frac{5}{3} = \frac{5 \times 2}{3 \times 2} = \frac{10}{6}$ шага/с.

Сравниваем числители: $10 > 9$, значит, $\frac{10}{6} > \frac{9}{6}$.
Это означает, что скорость Бориса больше, чем скорость Коли.

Ответ: Борис идёт с большей скоростью.

в)

Чтобы выяснить, кто работает быстрее, нужно сравнить их производительность — количество конвертов, которые они запечатывают за одинаковое время (например, за 1 минуту).

1. Найдем производительность Тани (конвертов в минуту):
Таня заклеивает 10 конвертов за 8 минут. Её производительность: $10 \div 8 = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$ конверта/мин.

2. Найдем производительность Алёши (конвертов в минуту):
Алёша заклеивает 6 конвертов за 4 минуты. Его производительность: $6 \div 4 = \frac{6}{4}$ конверта/мин.

3. Сравним их производительность, то есть дроби $\frac{5}{4}$ и $\frac{6}{4}$. Так как знаменатели у дробей одинаковые, достаточно сравнить их числители.
$6 > 5$, следовательно, $\frac{6}{4} > \frac{5}{4}$.
Это означает, что производительность Алёши выше, чем у Тани.

Можно решить задачу и другим способом: приведем время работы к общему значению. Узнаем, сколько конвертов запечатает Алёша за 8 минут.
За 4 минуты Алёша запечатывает 6 конвертов. Значит, за 8 минут (время в 2 раза больше) он запечатает в 2 раза больше конвертов: $6 \times 2 = 12$ конвертов.
Сравним: за 8 минут Таня запечатывает 10 конвертов, а Алёша — 12. Так как $12 > 10$, Алёша работает быстрее.

Ответ: Алёша работает быстрее.

743 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

а) Представьте, что весь урожай яблок вы использовали для приготовления яблочного сока. У вас получилось 50 л сока, которым вы заполнили 50-литровый бидон. Сколько надо подготовить трёхлитровых банок, чтобы перелить в них весь сок из бидона?

б) Представьте, что вы работаете инструктором по туризму и организуете поход по малым рекам на лодках. У вас собралась группа в составе 45 человек. Какое наименьшее число четырёхместных лодок надо заказать для такой группы?

а) Для того чтобы узнать, сколько трёхлитровых банок необходимо для 50 литров сока, нужно общий объём сока разделить на объём одной банки.
$50 \div 3 = 16$ (остаток 2).
Результат деления показывает, что 16 банок будут полностью заполнены соком, но при этом останется ещё 2 литра сока. Для этих оставшихся 2 литров потребуется ещё одна, семнадцатая банка. Таким образом, чтобы перелить весь сок, нужно подготовить $16 + 1 = 17$ банок.
Ответ: 17 банок.

б) Чтобы рассчитать наименьшее количество четырёхместных лодок для группы из 45 человек, нужно общее число людей разделить на количество мест в одной лодке.
$45 \div 4 = 11$ (остаток 1).
Это означает, что 11 лодок будут полностью заняты туристами, но ещё один человек останется без места. Чтобы и он мог отправиться в поход, для него потребуется дополнительная, двенадцатая лодка. Следовательно, наименьшее необходимое число лодок равно $11 + 1 = 12$.
Ответ: 12 лодок.

744 РАССУЖДАЕМ

1) Определите, какой цифрой оканчивается куб числа:

925; 113; 482; 527.

2) Найдите приближённое значение степени, округлив основание степени до старшего разряда: $21^3$; $99^3$; $309^3$; $985^3$.

Образец. $38^3 \approx 40^3 = 64000$.

3) Среди приведённых равенств только одно верное. Воспользовавшись результатами заданий 1 и 2, найдите это равенство.

а) $113^3 = 1\ 442\ 893$.

б) $309^3 = 2\ 953\ 629$.

в) $925^3 = 791\ 453\ 125$.

г) $99^3 = 97\ 299$.

1)

Последняя цифра куба числа определяется последней цифрой исходного числа. Вычислим последнюю цифру для каждого случая:

- Число 925 оканчивается на 5. Так как $5^3 = 125$, куб числа 925 оканчивается на 5.
- Число 113 оканчивается на 3. Так как $3^3 = 27$, куб числа 113 оканчивается на 7.
- Число 482 оканчивается на 2. Так как $2^3 = 8$, куб числа 482 оканчивается на 8.
- Число 527 оканчивается на 7. Так как $7^3 = 343$, куб числа 527 оканчивается на 3.

Ответ: Куб числа 925 оканчивается на 5, 113 – на 7, 482 – на 8, 527 – на 3.

2)

Для нахождения приближённого значения округлим основание степени до старшего разряда (самой большой значащей цифры) и возведём в куб:

- $21^3$: Старший разряд – десятки. Округляем 21 до 20.
$21^3 \approx 20^3 = 20 \times 20 \times 20 = 8000$.
- $99^3$: Старший разряд – десятки. Округляем 99 до 100.
$99^3 \approx 100^3 = 100 \times 100 \times 100 = 1\;000\;000$.
- $309^3$: Старший разряд – сотни. Округляем 309 до 300.
$309^3 \approx 300^3 = 300 \times 300 \times 300 = 27\;000\;000$.
- $985^3$: Старший разряд – сотни. Округляем 985 до 1000.
$985^3 \approx 1000^3 = 1000 \times 1000 \times 1000 = 1\;000\;000\;000$.

Ответ: $21^3 \approx 8000$; $99^3 \approx 1\;000\;000$; $309^3 \approx 27\;000\;000$; $985^3 \approx 1\;000\;000\;000$.

3)

Проверим каждое равенство, используя результаты, полученные в заданиях 1 и 2.

а) $113^3 = 1\;442\;893$
Из задания 1 мы знаем, что куб числа 113 должен оканчиваться на 7. Результат в равенстве оканчивается на 3. Следовательно, равенство неверно.

б) $309^3 = 2\;953\;629$
Проверим последнюю цифру: $9^3 = 729$, значит куб числа 309 должен оканчиваться на 9. Это совпадает с равенством.Проверим приближённое значение из задания 2: $309^3 \approx 27\;000\;000$. Результат $2\;953\;629$ почти в 10 раз меньше, чем приближённая оценка. Следовательно, равенство неверно.

в) $925^3 = 791\;453\;125$
Из задания 1 мы знаем, что куб числа 925 должен оканчиваться на 5. Это совпадает с равенством.Проверим приближённое значение. Округлим 925 до старшего разряда (сотен), получим 900: $925^3 \approx 900^3 = 729\;000\;000$. Результат $791\;453\;125$ близок к нашей оценке и имеет тот же порядок величины. Следовательно, это равенство, скорее всего, верное.

г) $99^3 = 97\;299$
Проверим последнюю цифру: $9^3 = 729$, значит куб числа 99 должен оканчиваться на 9. Это совпадает с равенством.Проверим приближённое значение из задания 2: $99^3 \approx 1\;000\;000$. Результат $97\;299$ более чем в 10 раз меньше, чем приближённая оценка. Следовательно, равенство неверно.

Поскольку только одно равенство верное, это равенство в).

Ответ: в) $925^3 = 791\;453\;125$.

745 Под дачные участки выделили 15 га земли. Сколько участков можно разместить на этой площади, если площадь одного участка равна 6 а?

Подсказка. $1 \text{ га} = 10 000 \text{ м}^2$, $1 \text{ а} = \frac{1}{100} \text{ га}$.

Для того чтобы найти, сколько участков можно разместить, необходимо общую площадь земли разделить на площадь одного участка. Так как площади даны в разных единицах измерения (гектарах и арах), сначала приведем их к одной единице. Удобнее всего перевести гектары в ары, используя соотношение из подсказки.

1. Перевод общей площади в ары.

В подсказке указано, что $1 \text{ а} = \frac{1}{100} \text{ га}$. Это означает, что в одном гектаре содержится 100 ар:

$1 \text{ га} = 100 \text{ а}$

Общая выделенная площадь составляет 15 га. Переведем это значение в ары:

$15 \text{ га} = 15 \times 100 \text{ а} = 1500 \text{ а}$

2. Расчет количества участков.

Теперь, когда общая площадь и площадь одного участка выражены в арах, найдем их количество. Для этого разделим общую площадь на площадь одного участка:

Количество участков = (Общая площадь) / (Площадь одного участка)

$1500 \text{ а} \div 6 \text{ а} = 250$

Таким образом, на выделенной земле можно разместить 250 участков.

Ответ: 250 участков.