Страница 184 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

717 a) Найдите несколько чисел, которые меньше $ \frac{1}{20} $. Сколько существует таких чисел?

б) Найдите несколько чисел, которые больше $ \frac{99}{100} $, но меньше 1. Сколько существует таких чисел?

а) Чтобы найти числа, которые меньше дроби $\frac{1}{20}$, можно выбрать дроби с большим знаменателем, например, $\frac{1}{21}$, $\frac{1}{30}$, $\frac{1}{100}$. Также можно выбрать любое отрицательное число или ноль, например, 0, -5, -100. Все они будут меньше $\frac{1}{20}$.

Чтобы ответить на вопрос о количестве таких чисел, рассмотрим ряд дробей $\frac{1}{21}, \frac{1}{22}, \frac{1}{23}, \dots, \frac{1}{n}, \dots$ где $n$ – любое целое число больше 20. Так как существует бесконечное множество целых чисел, больших 20, то и дробей такого вида существует бесконечно много. Кроме того, существуют и все отрицательные числа. Следовательно, существует бесконечное множество чисел, которые меньше $\frac{1}{20}$.

Ответ: например, $\frac{1}{21}$, $\frac{1}{30}$, $0$; существует бесконечное множество таких чисел.

б) Нам нужно найти числа, которые находятся в интервале между $\frac{99}{100}$ и 1. Представим 1 в виде дроби со знаменателем 100: $1 = \frac{100}{100}$. Таким образом, мы ищем числа между $\frac{99}{100}$ и $\frac{100}{100}$.

Чтобы найти такое число, можно привести дроби к большему знаменателю. Например, умножим числитель и знаменатель на 2: получим интервал от $\frac{198}{200}$ до $\frac{200}{200}$. Между этими дробями находится, например, число $\frac{199}{200}$.

Если умножить на 10, получим интервал от $\frac{990}{1000}$ до $\frac{1000}{1000}$. Примерами чисел из этого интервала будут $\frac{991}{1000}$, $\frac{992}{1000}$, $\frac{999}{1000}$. Также можно использовать десятичные дроби: 0,991, 0,995, 0,999.

Между любыми двумя различными числами всегда можно найти третье, например, их среднее арифметическое. В нашем случае: $(\frac{99}{100} + 1) \div 2 = \frac{199}{200}$. Этот процесс можно повторять бесконечно, находя все новые и новые числа. Поэтому между $\frac{99}{100}$ и 1 существует бесконечное множество чисел.

Ответ: например, $\frac{199}{200}$, $\frac{991}{1000}$, 0,995; существует бесконечное множество таких чисел.

РАССУЖДАЕМ (718–721)

718 Прочитайте в тексте пункта, как применяют приём сравнения с «промежуточным» числом, и сравните дроби, не приводя их к общему знаменателю:

а) $ \frac{5}{12} $ и $ \frac{11}{16} $;

б) $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{3}{7} $;

в) $ \frac{4}{5} $ и $ \frac{3}{8} $;

г) $ \frac{10}{27} $ и $ \frac{15}{28} $.

Для сравнения дробей методом сравнения с «промежуточным» числом, удобно выбрать простое число, например, $\frac{1}{2}$ или 1. В данных задачах оптимальным промежуточным числом является $\frac{1}{2}$.

а) Сравним дроби $\frac{5}{12}$ и $\frac{11}{16}$.
В качестве промежуточного числа возьмем $\frac{1}{2}$.
1. Сравним дробь $\frac{5}{12}$ с $\frac{1}{2}$. Половина от знаменателя 12 — это 6. Так как числитель 5 меньше 6, то дробь $\frac{5}{12}$ меньше, чем $\frac{6}{12}$ (которая равна $\frac{1}{2}$). Таким образом, $\frac{5}{12} < \frac{1}{2}$.
2. Сравним дробь $\frac{11}{16}$ с $\frac{1}{2}$. Половина от знаменателя 16 — это 8. Так как числитель 11 больше 8, то дробь $\frac{11}{16}$ больше, чем $\frac{8}{16}$ (которая равна $\frac{1}{2}$). Таким образом, $\frac{11}{16} > \frac{1}{2}$.
3. Мы получили, что $\frac{5}{12} < \frac{1}{2}$ и $\frac{1}{2} < \frac{11}{16}$. Следовательно, $\frac{5}{12} < \frac{11}{16}$.
Ответ: $\frac{5}{12} < \frac{11}{16}$.

б) Сравним дроби $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{7}$.
В качестве промежуточного числа возьмем $\frac{1}{2}$.
1. Сравним дробь $\frac{2}{3}$ с $\frac{1}{2}$. Половина от знаменателя 3 — это 1,5. Так как числитель 2 больше 1,5, то дробь $\frac{2}{3} > \frac{1}{2}$.
2. Сравним дробь $\frac{3}{7}$ с $\frac{1}{2}$. Половина от знаменателя 7 — это 3,5. Так как числитель 3 меньше 3,5, то дробь $\frac{3}{7} < \frac{1}{2}$.
3. Мы получили, что $\frac{2}{3} > \frac{1}{2}$ и $\frac{3}{7} < \frac{1}{2}$. Следовательно, $\frac{2}{3} > \frac{3}{7}$.
Ответ: $\frac{2}{3} > \frac{3}{7}$.

в) Сравним дроби $\frac{4}{5}$ и $\frac{3}{8}$.
В качестве промежуточного числа возьмем $\frac{1}{2}$.
1. Сравним дробь $\frac{4}{5}$ с $\frac{1}{2}$. Половина от знаменателя 5 — это 2,5. Так как числитель 4 больше 2,5, то дробь $\frac{4}{5} > \frac{1}{2}$.
2. Сравним дробь $\frac{3}{8}$ с $\frac{1}{2}$. Половина от знаменателя 8 — это 4. Так как числитель 3 меньше 4, то дробь $\frac{3}{8} < \frac{1}{2}$.
3. Мы получили, что $\frac{4}{5} > \frac{1}{2}$ и $\frac{3}{8} < \frac{1}{2}$. Следовательно, $\frac{4}{5} > \frac{3}{8}$.
Ответ: $\frac{4}{5} > \frac{3}{8}$.

г) Сравним дроби $\frac{10}{27}$ и $\frac{15}{28}$.
В качестве промежуточного числа возьмем $\frac{1}{2}$.
1. Сравним дробь $\frac{10}{27}$ с $\frac{1}{2}$. Половина от знаменателя 27 — это 13,5. Так как числитель 10 меньше 13,5, то дробь $\frac{10}{27} < \frac{1}{2}$.
2. Сравним дробь $\frac{15}{28}$ с $\frac{1}{2}$. Половина от знаменателя 28 — это 14. Так как числитель 15 больше 14, то дробь $\frac{15}{28} > \frac{1}{2}$.
3. Мы получили, что $\frac{10}{27} < \frac{1}{2}$ и $\frac{15}{28} > \frac{1}{2}$. Следовательно, $\frac{10}{27} < \frac{15}{28}$.
Ответ: $\frac{10}{27} < \frac{15}{28}$.

719 Определите, какая из дробей $3/4$, $5/6$, $4/9$, $6/5$ самая маленькая; самая большая. Расскажите, как вы рассуждали.

Чтобы определить, какая из дробей $\frac{3}{4}$, $\frac{5}{6}$, $\frac{4}{9}$ и $\frac{6}{5}$ самая маленькая, а какая — самая большая, необходимо их сравнить. Рассуждать будем в два этапа: сначала найдем самую большую дробь, а затем — самую маленькую.

Первым шагом проанализируем каждую дробь, сравнивая ее с единицей. Дроби, у которых числитель меньше знаменателя ($\frac{3}{4}$, $\frac{5}{6}$, $\frac{4}{9}$), называются правильными, и их значение всегда меньше 1.

Дробь $\frac{6}{5}$ является неправильной, так как её числитель (6) больше знаменателя (5). Значение такой дроби всегда больше 1. В данном случае, $\frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}$.

Так как $\frac{6}{5}$ — единственная дробь, которая больше 1, а все остальные меньше 1, то она и является самой большой из представленных.

Ответ: самая большая дробь — $\frac{6}{5}$.

Теперь нам нужно найти самую маленькую дробь среди оставшихся трёх: $\frac{3}{4}$, $\frac{5}{6}$ и $\frac{4}{9}$. Поскольку все они меньше 1, для их сравнения удобнее всего привести их к общему знаменателю.

Найдём наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 4, 6 и 9. Для этого разложим числа на простые множители:

• $4 = 2^2$
• $6 = 2 \cdot 3$
• $9 = 3^2$

НОК$(4, 6, 9)$ равен произведению наибольших степеней этих простых множителей: $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.

Приведём каждую дробь к знаменателю 36, умножив числитель и знаменатель на дополнительный множитель:

• Для $\frac{3}{4}$ дополнительный множитель $36 \div 4 = 9$, получаем: $\frac{3 \cdot 9}{4 \cdot 9} = \frac{27}{36}$.
• Для $\frac{5}{6}$ дополнительный множитель $36 \div 6 = 6$, получаем: $\frac{5 \cdot 6}{6 \cdot 6} = \frac{30}{36}$.
• Для $\frac{4}{9}$ дополнительный множитель $36 \div 9 = 4$, получаем: $\frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{16}{36}$.

Теперь сравним полученные дроби: $\frac{27}{36}$, $\frac{30}{36}$ и $\frac{16}{36}$. Из дробей с одинаковым знаменателем меньше та, у которой меньше числитель. Сравнивая числители $16$, $27$ и $30$, мы видим, что наименьший из них — $16$.

Следовательно, самая маленькая дробь — это $\frac{16}{36}$, которая соответствует исходной дроби $\frac{4}{9}$.

Ответ: самая маленькая дробь — $\frac{4}{9}$.

720 Расположите числа в порядке возрастания (попробуйте сделать это, не приводя все дроби к общему знаменателю):

a) $ \frac{3}{4} $, $ \frac{2}{5} $, $ \frac{4}{7} $;

Б) $ \frac{2}{3} $, $ \frac{3}{4} $, $ \frac{5}{12} $;

В) $ \frac{11}{12} $, $ \frac{5}{11} $, $ \frac{3}{7} $;

Г) $ \frac{7}{15} $, $ \frac{7}{20} $, $ \frac{8}{25} $.

а) Для сравнения дробей $\frac{3}{4}$, $\frac{2}{5}$ и $\frac{4}{7}$ воспользуемся методом попарного сравнения (перекрестного умножения). Сначала сравним $\frac{2}{5}$ и $\frac{4}{7}$. Для этого умножим числитель первой дроби на знаменатель второй ($2 \times 7 = 14$) и знаменатель первой на числитель второй ($5 \times 4 = 20$). Так как $14 < 20$, то $\frac{2}{5} < \frac{4}{7}$. Теперь сравним $\frac{4}{7}$ и $\frac{3}{4}$. Проведем аналогичные вычисления: $4 \times 4 = 16$ и $7 \times 3 = 21$. Так как $16 < 21$, то $\frac{4}{7} < \frac{3}{4}$. Объединяя результаты, получаем итоговый порядок: $\frac{2}{5} < \frac{4}{7} < \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{2}{5}, \frac{4}{7}, \frac{3}{4}$.

б) В наборе дробей $\frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{5}{12}$ знаменатель одной из дробей (12) является общим кратным для знаменателей двух других (3 и 4). Это позволяет легко сравнить все три дроби, приведя первые две к знаменателю 12. $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}$. $\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}$. Теперь нам нужно сравнить дроби $\frac{8}{12}$, $\frac{9}{12}$ и $\frac{5}{12}$. Так как знаменатели у них одинаковы, мы сравниваем их числители: $5 < 8 < 9$. Следовательно, в порядке возрастания дроби располагаются так: $\frac{5}{12}, \frac{8}{12}, \frac{9}{12}$, что соответствует исходным дробям $\frac{5}{12}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{5}{12}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}$.

в) Для сравнения дробей $\frac{11}{12}, \frac{5}{11}, \frac{3}{7}$ удобно сравнить их с числом $\frac{1}{2}$. Дробь $\frac{11}{12}$ очевидно больше $\frac{1}{2}$, так как ее числитель 11 больше половины знаменателя ($12 \div 2 = 6$). Дробь $\frac{5}{11}$ меньше $\frac{1}{2}$, так как ее числитель 5 меньше половины знаменателя ($11 \div 2 = 5.5$). Дробь $\frac{3}{7}$ также меньше $\frac{1}{2}$, так как ее числитель 3 меньше половины знаменателя ($7 \div 2 = 3.5$). Из этого следует, что $\frac{11}{12}$ — самое большое число. Осталось сравнить две меньшие дроби: $\frac{3}{7}$ и $\frac{5}{11}$. Используем перекрестное умножение: $3 \times 11 = 33$ и $7 \times 5 = 35$. Так как $33 < 35$, то $\frac{3}{7} < \frac{5}{11}$. Таким образом, итоговый порядок возрастания: $\frac{3}{7}, \frac{5}{11}, \frac{11}{12}$.
Ответ: $\frac{3}{7}, \frac{5}{11}, \frac{11}{12}$.

г) В наборе дробей $\frac{7}{15}, \frac{7}{20}, \frac{8}{25}$ начнем со сравнения дробей с одинаковым числителем: $\frac{7}{15}$ и $\frac{7}{20}$. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Поскольку $15 < 20$, то $\frac{7}{15} > \frac{7}{20}$. Теперь необходимо определить место дроби $\frac{8}{25}$ относительно двух других. Сравним $\frac{8}{25}$ с меньшей из уже сравненных дробей, то есть с $\frac{7}{20}$. Применим перекрестное умножение: $8 \times 20 = 160$ и $25 \times 7 = 175$. Так как $160 < 175$, то $\frac{8}{25} < \frac{7}{20}$. Объединяя полученные неравенства $\frac{8}{25} < \frac{7}{20}$ и $\frac{7}{20} < \frac{7}{15}$, получаем окончательный порядок чисел в порядке возрастания.
Ответ: $\frac{8}{25}, \frac{7}{20}, \frac{7}{15}$.

721 Расположите числа в порядке убывания (попробуйте сделать это, не приводя все дроби к общему знаменателю):

а) $\frac{1}{3}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{1}{5}$, $\frac{7}{8}$

б) $\frac{5}{8}$, $\frac{7}{11}$, $\frac{5}{12}$, $\frac{1}{15}$

В) $\frac{3}{8}$, $\frac{5}{7}$, $\frac{7}{5}$, $\frac{8}{9}$

Г) $\frac{6}{5}$, $\frac{3}{8}$, $\frac{9}{8}$, $\frac{4}{9}$

а) Для того чтобы расположить числа $ \frac{1}{3}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{7}{8} $ в порядке убывания, воспользуемся сравнением с $ \frac{1}{2} $ и с 1.
1. Некоторые дроби больше $ \frac{1}{2} $, а некоторые меньше. $ \frac{3}{4} > \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $ и $ \frac{7}{8} > \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $. Дроби $ \frac{1}{3} < \frac{1}{2} $ и $ \frac{1}{5} < \frac{1}{2} $. Это значит, что $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{7}{8} $ больше, чем $ \frac{1}{3} $ и $ \frac{1}{5} $.
2. Сравним большую пару: $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{7}{8} $. Оценим, насколько каждая дробь меньше единицы: $ 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} $; $ 1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8} $. Так как $ \frac{1}{8} < \frac{1}{4} $, то дробь $ \frac{7}{8} $ находится ближе к 1, а значит, $ \frac{7}{8} > \frac{3}{4} $.
3. Сравним меньшую пару: $ \frac{1}{3} $ и $ \frac{1}{5} $. У этих дробей одинаковые числители. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Поскольку $ 3 < 5 $, то $ \frac{1}{3} > \frac{1}{5} $.
4. Собираем все вместе в порядке убывания: $ \frac{7}{8}, \frac{3}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{5} $.
Ответ: $ \frac{7}{8}, \frac{3}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{5} $.

б) Расположим числа $ \frac{5}{8}, \frac{7}{11}, \frac{5}{12}, \frac{1}{15} $ в порядке убывания.
1. Сравним дроби с $ \frac{1}{2} $. $ \frac{5}{8} > \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $ и $ \frac{7}{11} > \frac{5,5}{11} = \frac{1}{2} $. Дроби $ \frac{5}{12} < \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $ и $ \frac{1}{15} < \frac{1}{2} $. Таким образом, $ \frac{5}{8} $ и $ \frac{7}{11} $ больше, чем $ \frac{5}{12} $ и $ \frac{1}{15} $.
2. Сравним большую пару: $ \frac{5}{8} $ и $ \frac{7}{11} $. Используем перекрестное умножение: $ 5 \times 11 = 55 $ и $ 7 \times 8 = 56 $. Так как $ 55 < 56 $, то $ \frac{5}{8} < \frac{7}{11} $.
3. Сравним меньшую пару: $ \frac{5}{12} $ и $ \frac{1}{15} $. У дробей $ \frac{5}{12} $ и $ \frac{5}{12} $ одинаковые числители. Сравним $ \frac{5}{12} $ и $ \frac{1}{15} $. Очевидно, что $ \frac{5}{12} $ (почти половина) больше, чем $ \frac{1}{15} $ (очень маленькая часть). Таким образом, $ \frac{5}{12} > \frac{1}{15} $.
4. Собираем все вместе в порядке убывания: $ \frac{7}{11}, \frac{5}{8}, \frac{5}{12}, \frac{1}{15} $.
Ответ: $ \frac{7}{11}, \frac{5}{8}, \frac{5}{12}, \frac{1}{15} $.

в) Расположим числа $ \frac{3}{8}, \frac{5}{7}, \frac{7}{5}, \frac{8}{9} $ в порядке убывания.
1. Сравним числа с 1. Дробь $ \frac{7}{5} $ — неправильная, $ \frac{7}{5} = 1 \frac{2}{5} $, значит, она больше 1. Все остальные дроби ($ \frac{3}{8}, \frac{5}{7}, \frac{8}{9} $) — правильные, то есть меньше 1. Следовательно, $ \frac{7}{5} $ — самое большое число.
2. Сравним оставшиеся дроби: $ \frac{3}{8}, \frac{5}{7}, \frac{8}{9} $. Сравним их с $ \frac{1}{2} $. $ \frac{3}{8} < \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $. Дроби $ \frac{5}{7} > \frac{1}{2} $ и $ \frac{8}{9} > \frac{1}{2} $. Значит, $ \frac{3}{8} $ — самое маленькое из этих трех чисел.
3. Сравним $ \frac{5}{7} $ и $ \frac{8}{9} $. Обе дроби близки к 1. Сравним, насколько они меньше 1. $ 1 - \frac{5}{7} = \frac{2}{7} $; $ 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9} $. Сравним $ \frac{2}{7} $ и $ \frac{1}{9} $. $ \frac{2}{7} = \frac{18}{63} $, $ \frac{1}{9} = \frac{7}{63} $. Так как $ \frac{18}{63} > \frac{7}{63} $, то $ \frac{2}{7} > \frac{1}{9} $. Это значит, что $ \frac{5}{7} $ "дальше" от 1, чем $ \frac{8}{9} $. Следовательно, $ \frac{8}{9} > \frac{5}{7} $.
4. Итоговая последовательность в порядке убывания: $ \frac{7}{5}, \frac{8}{9}, \frac{5}{7}, \frac{3}{8} $.
Ответ: $ \frac{7}{5}, \frac{8}{9}, \frac{5}{7}, \frac{3}{8} $.

г) Расположим числа $ \frac{6}{5}, \frac{3}{8}, \frac{9}{8}, \frac{4}{9} $ в порядке убывания.
1. Сравним числа с 1. Дроби $ \frac{6}{5} $ и $ \frac{9}{8} $ — неправильные, они больше 1. Дроби $ \frac{3}{8} $ и $ \frac{4}{9} $ — правильные, они меньше 1.
2. Сравним большую пару (неправильные дроби): $ \frac{6}{5} $ и $ \frac{9}{8} $. Представим их в виде смешанных чисел: $ \frac{6}{5} = 1 \frac{1}{5} $ и $ \frac{9}{8} = 1 \frac{1}{8} $. Теперь нужно сравнить их дробные части: $ \frac{1}{5} $ и $ \frac{1}{8} $. Так как у дробей одинаковые числители, больше та, у которой знаменатель меньше. $ 5 < 8 $, поэтому $ \frac{1}{5} > \frac{1}{8} $. Значит, $ \frac{6}{5} > \frac{9}{8} $.
3. Сравним меньшую пару (правильные дроби): $ \frac{3}{8} $ и $ \frac{4}{9} $. Используем перекрестное умножение: $ 3 \times 9 = 27 $ и $ 4 \times 8 = 32 $. Так как $ 27 < 32 $, то $ \frac{3}{8} < \frac{4}{9} $.
4. Собираем все вместе в порядке убывания: $ \frac{6}{5}, \frac{9}{8}, \frac{4}{9}, \frac{3}{8} $.
Ответ: $ \frac{6}{5}, \frac{9}{8}, \frac{4}{9}, \frac{3}{8} $.

722 ИЩЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

а) Саша и Коля играли в баскетбол. Саша сделал 10 бросков и 6 раз попал в кольцо, а Коля 8 бросков и попал 5 раз. Чей результат лучше?

б) В соревнованиях в стрельбе по летающим тарелочкам первый спортсмен из 24 выстрелов попал 14 раз, а второй из 18 выстрелов попал 12 раз. Чей результат лучше?

Совет. Подумайте, по каким показателям можно сравнить результаты.

а) Чтобы определить, чей результат лучше, нужно сравнить эффективность бросков каждого мальчика. Эффективность можно выразить как отношение числа попаданий к общему числу бросков.
Эффективность Саши: $ \frac{6}{10} $ (6 попаданий из 10 бросков).
Эффективность Коли: $ \frac{5}{8} $ (5 попаданий из 8 бросков).
Теперь сравним две дроби: $ \frac{6}{10} $ и $ \frac{5}{8} $. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 10 и 8 — это 40.
Для Саши: $ \frac{6}{10} = \frac{6 \cdot 4}{10 \cdot 4} = \frac{24}{40} $.
Для Коли: $ \frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{25}{40} $.
Сравниваем полученные дроби: $ \frac{25}{40} > \frac{24}{40} $.
Следовательно, результат Коли лучше, так как его показатель эффективности выше.
Ответ: результат Коли лучше.

б) Аналогично предыдущей задаче, сравним эффективность стрельбы каждого спортсмена.
Эффективность первого спортсмена: $ \frac{14}{24} $ (14 попаданий из 24 выстрелов).
Эффективность второго спортсмена: $ \frac{12}{18} $ (12 попаданий из 18 выстрелов).
Сравним дроби $ \frac{14}{24} $ и $ \frac{12}{18} $. Сначала сократим их:
Первый спортсмен: $ \frac{14}{24} = \frac{14 \div 2}{24 \div 2} = \frac{7}{12} $.
Второй спортсмен: $ \frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3} $.
Теперь сравним сокращенные дроби $ \frac{7}{12} $ и $ \frac{2}{3} $. Приведем их к общему знаменателю 12.
Дробь для первого спортсмена уже имеет знаменатель 12: $ \frac{7}{12} $.
Для второго спортсмена: $ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12} $.
Сравниваем полученные дроби: $ \frac{8}{12} > \frac{7}{12} $.
Таким образом, результат второго спортсмена лучше.
Ответ: результат второго спортсмена лучше.

723 Найдите значение выражения и представьте, если возможно, полученный результат в виде квадрата некоторого числа (воспользуйтесь при необходимости таблицей квадратов двузначных чисел):

а) $3^2 + 4^2$;

б) $15^2 - 9^2$;

в) $7^2 + 8^2$;

г) $17^2 - 8^2$.

а) $3^2 + 4^2$
Сначала вычислим значение каждого квадрата, а затем сложим результаты:
$3^2 = 3 \cdot 3 = 9$
$4^2 = 4 \cdot 4 = 16$
Следовательно, $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
Полученный результат 25 можно представить в виде квадрата числа 5.
$25 = 5^2$
Ответ: $25 = 5^2$.

б) $15^2 - 9^2$
Для вычисления этого выражения удобно использовать формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$15^2 - 9^2 = (15 - 9)(15 + 9) = 6 \cdot 24 = 144$
Полученный результат 144 можно представить в виде квадрата числа 12.
$144 = 12^2$
Ответ: $144 = 12^2$.

в) $7^2 + 8^2$
Сначала вычислим значение каждого квадрата, а затем сложим результаты:
$7^2 = 7 \cdot 7 = 49$
$8^2 = 8 \cdot 8 = 64$
Следовательно, $7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113$.
Число 113 не является квадратом какого-либо целого числа (поскольку $10^2 = 100$ и $11^2 = 121$). Поэтому представить результат в виде квадрата целого числа невозможно.
Ответ: 113.

г) $17^2 - 8^2$
Снова воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$17^2 - 8^2 = (17 - 8)(17 + 8) = 9 \cdot 25 = 225$
Полученный результат 225 можно представить в виде квадрата числа 15.
$225 = 15^2$
Ответ: $225 = 15^2$.

724 а) В книге 490 страниц. Олег читает ежедневно по 30 страниц. На какой день после начала чтения книги он дочитает её до конца?

б) Саше поручили купить одинаковые фотоальбомы для подарка учащимся младших классов. Какое наибольшее число фотоальбомов по цене 35 р. он сможет купить, имея 1000 р.?

а) Чтобы определить, на какой день Олег дочитает книгу, необходимо общее количество страниц разделить на количество страниц, которые он прочитывает за один день.

Общее количество страниц: 490.
Количество страниц, читаемых в день: 30.

Выполним деление с остатком, чтобы узнать, сколько полных дней потребуется на чтение и сколько страниц останется на последний день:

$490 \div 30 = 16$ (остаток 10)

Это означает, что за 16 дней Олег прочитает $16 \times 30 = 480$ страниц. На следующий, 17-й день, ему останется прочитать последние $490 - 480 = 10$ страниц. Следовательно, он закончит читать книгу на 17-й день.

Ответ: на 17-й день.

б) Чтобы найти наибольшее количество фотоальбомов, которое можно купить, нужно разделить общую сумму денег на цену одного фотоальбома и взять целую часть от результата, так как купить можно только целое количество альбомов.

Имеющаяся сумма денег: 1000 р.
Цена одного фотоальбома: 35 р.

Разделим общую сумму на цену одного альбома:

$1000 \div 35 = 28$ (остаток 20)

Это означает, что Саша может купить 28 фотоальбомов, потратив на это $28 \times 35 = 980$ рублей, и у него останется 20 рублей сдачи. На 29-й альбом денег уже не хватит, так как $29 \times 35 = 1015$ рублей.

Ответ: 28 фотоальбомов.