Номер 720, страница 184 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

8.5. Сравнение дробей. Глава 8. Дроби - номер 720, страница 184.

720 Расположите числа в порядке возрастания (попробуйте сделать это, не приводя все дроби к общему знаменателю):

a) $ \frac{3}{4} $, $ \frac{2}{5} $, $ \frac{4}{7} $;

Б) $ \frac{2}{3} $, $ \frac{3}{4} $, $ \frac{5}{12} $;

В) $ \frac{11}{12} $, $ \frac{5}{11} $, $ \frac{3}{7} $;

Г) $ \frac{7}{15} $, $ \frac{7}{20} $, $ \frac{8}{25} $.

а) Для сравнения дробей $\frac{3}{4}$, $\frac{2}{5}$ и $\frac{4}{7}$ воспользуемся методом попарного сравнения (перекрестного умножения). Сначала сравним $\frac{2}{5}$ и $\frac{4}{7}$. Для этого умножим числитель первой дроби на знаменатель второй ($2 \times 7 = 14$) и знаменатель первой на числитель второй ($5 \times 4 = 20$). Так как $14 < 20$, то $\frac{2}{5} < \frac{4}{7}$. Теперь сравним $\frac{4}{7}$ и $\frac{3}{4}$. Проведем аналогичные вычисления: $4 \times 4 = 16$ и $7 \times 3 = 21$. Так как $16 < 21$, то $\frac{4}{7} < \frac{3}{4}$. Объединяя результаты, получаем итоговый порядок: $\frac{2}{5} < \frac{4}{7} < \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{2}{5}, \frac{4}{7}, \frac{3}{4}$.

б) В наборе дробей $\frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{5}{12}$ знаменатель одной из дробей (12) является общим кратным для знаменателей двух других (3 и 4). Это позволяет легко сравнить все три дроби, приведя первые две к знаменателю 12. $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}$. $\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}$. Теперь нам нужно сравнить дроби $\frac{8}{12}$, $\frac{9}{12}$ и $\frac{5}{12}$. Так как знаменатели у них одинаковы, мы сравниваем их числители: $5 < 8 < 9$. Следовательно, в порядке возрастания дроби располагаются так: $\frac{5}{12}, \frac{8}{12}, \frac{9}{12}$, что соответствует исходным дробям $\frac{5}{12}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{5}{12}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}$.

в) Для сравнения дробей $\frac{11}{12}, \frac{5}{11}, \frac{3}{7}$ удобно сравнить их с числом $\frac{1}{2}$. Дробь $\frac{11}{12}$ очевидно больше $\frac{1}{2}$, так как ее числитель 11 больше половины знаменателя ($12 \div 2 = 6$). Дробь $\frac{5}{11}$ меньше $\frac{1}{2}$, так как ее числитель 5 меньше половины знаменателя ($11 \div 2 = 5.5$). Дробь $\frac{3}{7}$ также меньше $\frac{1}{2}$, так как ее числитель 3 меньше половины знаменателя ($7 \div 2 = 3.5$). Из этого следует, что $\frac{11}{12}$ — самое большое число. Осталось сравнить две меньшие дроби: $\frac{3}{7}$ и $\frac{5}{11}$. Используем перекрестное умножение: $3 \times 11 = 33$ и $7 \times 5 = 35$. Так как $33 < 35$, то $\frac{3}{7} < \frac{5}{11}$. Таким образом, итоговый порядок возрастания: $\frac{3}{7}, \frac{5}{11}, \frac{11}{12}$.
Ответ: $\frac{3}{7}, \frac{5}{11}, \frac{11}{12}$.

г) В наборе дробей $\frac{7}{15}, \frac{7}{20}, \frac{8}{25}$ начнем со сравнения дробей с одинаковым числителем: $\frac{7}{15}$ и $\frac{7}{20}$. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Поскольку $15 < 20$, то $\frac{7}{15} > \frac{7}{20}$. Теперь необходимо определить место дроби $\frac{8}{25}$ относительно двух других. Сравним $\frac{8}{25}$ с меньшей из уже сравненных дробей, то есть с $\frac{7}{20}$. Применим перекрестное умножение: $8 \times 20 = 160$ и $25 \times 7 = 175$. Так как $160 < 175$, то $\frac{8}{25} < \frac{7}{20}$. Объединяя полученные неравенства $\frac{8}{25} < \frac{7}{20}$ и $\frac{7}{20} < \frac{7}{15}$, получаем окончательный порядок чисел в порядке возрастания.
Ответ: $\frac{8}{25}, \frac{7}{20}, \frac{7}{15}$.