Номер 719, страница 184 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

8.5. Сравнение дробей. Глава 8. Дроби - номер 719, страница 184.

719 Определите, какая из дробей $3/4$, $5/6$, $4/9$, $6/5$ самая маленькая; самая большая. Расскажите, как вы рассуждали.

Чтобы определить, какая из дробей $\frac{3}{4}$, $\frac{5}{6}$, $\frac{4}{9}$ и $\frac{6}{5}$ самая маленькая, а какая — самая большая, необходимо их сравнить. Рассуждать будем в два этапа: сначала найдем самую большую дробь, а затем — самую маленькую.

Самая большая дробь

Первым шагом проанализируем каждую дробь, сравнивая ее с единицей. Дроби, у которых числитель меньше знаменателя ($\frac{3}{4}$, $\frac{5}{6}$, $\frac{4}{9}$), называются правильными, и их значение всегда меньше 1.

Дробь $\frac{6}{5}$ является неправильной, так как её числитель (6) больше знаменателя (5). Значение такой дроби всегда больше 1. В данном случае, $\frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}$.

Так как $\frac{6}{5}$ — единственная дробь, которая больше 1, а все остальные меньше 1, то она и является самой большой из представленных.

Ответ: самая большая дробь — $\frac{6}{5}$.

Самая маленькая дробь

Теперь нам нужно найти самую маленькую дробь среди оставшихся трёх: $\frac{3}{4}$, $\frac{5}{6}$ и $\frac{4}{9}$. Поскольку все они меньше 1, для их сравнения удобнее всего привести их к общему знаменателю.

Найдём наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 4, 6 и 9. Для этого разложим числа на простые множители:

• $4 = 2^2$
• $6 = 2 \cdot 3$
• $9 = 3^2$

НОК$(4, 6, 9)$ равен произведению наибольших степеней этих простых множителей: $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.

Приведём каждую дробь к знаменателю 36, умножив числитель и знаменатель на дополнительный множитель:

• Для $\frac{3}{4}$ дополнительный множитель $36 \div 4 = 9$, получаем: $\frac{3 \cdot 9}{4 \cdot 9} = \frac{27}{36}$.
• Для $\frac{5}{6}$ дополнительный множитель $36 \div 6 = 6$, получаем: $\frac{5 \cdot 6}{6 \cdot 6} = \frac{30}{36}$.
• Для $\frac{4}{9}$ дополнительный множитель $36 \div 9 = 4$, получаем: $\frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{16}{36}$.

Теперь сравним полученные дроби: $\frac{27}{36}$, $\frac{30}{36}$ и $\frac{16}{36}$. Из дробей с одинаковым знаменателем меньше та, у которой меньше числитель. Сравнивая числители $16$, $27$ и $30$, мы видим, что наименьший из них — $16$.

Следовательно, самая маленькая дробь — это $\frac{16}{36}$, которая соответствует исходной дроби $\frac{4}{9}$.

Ответ: самая маленькая дробь — $\frac{4}{9}$.