Номер 721, страница 184 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

8.5. Сравнение дробей. Глава 8. Дроби - номер 721, страница 184.

721 Расположите числа в порядке убывания (попробуйте сделать это, не приводя все дроби к общему знаменателю):

а) $\frac{1}{3}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{1}{5}$, $\frac{7}{8}$

б) $\frac{5}{8}$, $\frac{7}{11}$, $\frac{5}{12}$, $\frac{1}{15}$

В) $\frac{3}{8}$, $\frac{5}{7}$, $\frac{7}{5}$, $\frac{8}{9}$

Г) $\frac{6}{5}$, $\frac{3}{8}$, $\frac{9}{8}$, $\frac{4}{9}$

а) Для того чтобы расположить числа $ \frac{1}{3}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{7}{8} $ в порядке убывания, воспользуемся сравнением с $ \frac{1}{2} $ и с 1.
1. Некоторые дроби больше $ \frac{1}{2} $, а некоторые меньше. $ \frac{3}{4} > \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $ и $ \frac{7}{8} > \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $. Дроби $ \frac{1}{3} < \frac{1}{2} $ и $ \frac{1}{5} < \frac{1}{2} $. Это значит, что $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{7}{8} $ больше, чем $ \frac{1}{3} $ и $ \frac{1}{5} $.
2. Сравним большую пару: $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{7}{8} $. Оценим, насколько каждая дробь меньше единицы: $ 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} $; $ 1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8} $. Так как $ \frac{1}{8} < \frac{1}{4} $, то дробь $ \frac{7}{8} $ находится ближе к 1, а значит, $ \frac{7}{8} > \frac{3}{4} $.
3. Сравним меньшую пару: $ \frac{1}{3} $ и $ \frac{1}{5} $. У этих дробей одинаковые числители. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Поскольку $ 3 < 5 $, то $ \frac{1}{3} > \frac{1}{5} $.
4. Собираем все вместе в порядке убывания: $ \frac{7}{8}, \frac{3}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{5} $.
Ответ: $ \frac{7}{8}, \frac{3}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{5} $.

б) Расположим числа $ \frac{5}{8}, \frac{7}{11}, \frac{5}{12}, \frac{1}{15} $ в порядке убывания.
1. Сравним дроби с $ \frac{1}{2} $. $ \frac{5}{8} > \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $ и $ \frac{7}{11} > \frac{5,5}{11} = \frac{1}{2} $. Дроби $ \frac{5}{12} < \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $ и $ \frac{1}{15} < \frac{1}{2} $. Таким образом, $ \frac{5}{8} $ и $ \frac{7}{11} $ больше, чем $ \frac{5}{12} $ и $ \frac{1}{15} $.
2. Сравним большую пару: $ \frac{5}{8} $ и $ \frac{7}{11} $. Используем перекрестное умножение: $ 5 \times 11 = 55 $ и $ 7 \times 8 = 56 $. Так как $ 55 < 56 $, то $ \frac{5}{8} < \frac{7}{11} $.
3. Сравним меньшую пару: $ \frac{5}{12} $ и $ \frac{1}{15} $. У дробей $ \frac{5}{12} $ и $ \frac{5}{12} $ одинаковые числители. Сравним $ \frac{5}{12} $ и $ \frac{1}{15} $. Очевидно, что $ \frac{5}{12} $ (почти половина) больше, чем $ \frac{1}{15} $ (очень маленькая часть). Таким образом, $ \frac{5}{12} > \frac{1}{15} $.
4. Собираем все вместе в порядке убывания: $ \frac{7}{11}, \frac{5}{8}, \frac{5}{12}, \frac{1}{15} $.
Ответ: $ \frac{7}{11}, \frac{5}{8}, \frac{5}{12}, \frac{1}{15} $.

в) Расположим числа $ \frac{3}{8}, \frac{5}{7}, \frac{7}{5}, \frac{8}{9} $ в порядке убывания.
1. Сравним числа с 1. Дробь $ \frac{7}{5} $ — неправильная, $ \frac{7}{5} = 1 \frac{2}{5} $, значит, она больше 1. Все остальные дроби ($ \frac{3}{8}, \frac{5}{7}, \frac{8}{9} $) — правильные, то есть меньше 1. Следовательно, $ \frac{7}{5} $ — самое большое число.
2. Сравним оставшиеся дроби: $ \frac{3}{8}, \frac{5}{7}, \frac{8}{9} $. Сравним их с $ \frac{1}{2} $. $ \frac{3}{8} < \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $. Дроби $ \frac{5}{7} > \frac{1}{2} $ и $ \frac{8}{9} > \frac{1}{2} $. Значит, $ \frac{3}{8} $ — самое маленькое из этих трех чисел.
3. Сравним $ \frac{5}{7} $ и $ \frac{8}{9} $. Обе дроби близки к 1. Сравним, насколько они меньше 1. $ 1 - \frac{5}{7} = \frac{2}{7} $; $ 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9} $. Сравним $ \frac{2}{7} $ и $ \frac{1}{9} $. $ \frac{2}{7} = \frac{18}{63} $, $ \frac{1}{9} = \frac{7}{63} $. Так как $ \frac{18}{63} > \frac{7}{63} $, то $ \frac{2}{7} > \frac{1}{9} $. Это значит, что $ \frac{5}{7} $ "дальше" от 1, чем $ \frac{8}{9} $. Следовательно, $ \frac{8}{9} > \frac{5}{7} $.
4. Итоговая последовательность в порядке убывания: $ \frac{7}{5}, \frac{8}{9}, \frac{5}{7}, \frac{3}{8} $.
Ответ: $ \frac{7}{5}, \frac{8}{9}, \frac{5}{7}, \frac{3}{8} $.

г) Расположим числа $ \frac{6}{5}, \frac{3}{8}, \frac{9}{8}, \frac{4}{9} $ в порядке убывания.
1. Сравним числа с 1. Дроби $ \frac{6}{5} $ и $ \frac{9}{8} $ — неправильные, они больше 1. Дроби $ \frac{3}{8} $ и $ \frac{4}{9} $ — правильные, они меньше 1.
2. Сравним большую пару (неправильные дроби): $ \frac{6}{5} $ и $ \frac{9}{8} $. Представим их в виде смешанных чисел: $ \frac{6}{5} = 1 \frac{1}{5} $ и $ \frac{9}{8} = 1 \frac{1}{8} $. Теперь нужно сравнить их дробные части: $ \frac{1}{5} $ и $ \frac{1}{8} $. Так как у дробей одинаковые числители, больше та, у которой знаменатель меньше. $ 5 < 8 $, поэтому $ \frac{1}{5} > \frac{1}{8} $. Значит, $ \frac{6}{5} > \frac{9}{8} $.
3. Сравним меньшую пару (правильные дроби): $ \frac{3}{8} $ и $ \frac{4}{9} $. Используем перекрестное умножение: $ 3 \times 9 = 27 $ и $ 4 \times 8 = 32 $. Так как $ 27 < 32 $, то $ \frac{3}{8} < \frac{4}{9} $.
4. Собираем все вместе в порядке убывания: $ \frac{6}{5}, \frac{9}{8}, \frac{4}{9}, \frac{3}{8} $.
Ответ: $ \frac{6}{5}, \frac{9}{8}, \frac{4}{9}, \frac{3}{8} $.