Номер 716, страница 183 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

8.5. Сравнение дробей. Глава 8. Дроби - номер 716, страница 183.

716 ЭКСПЕРИМЕНТИРУЕМ Найдите несколько чисел, которые можно подставить вместо k и получить верное двойное неравенство:

a) $\frac{1}{6} < k < \frac{1}{5}$;

б) $\frac{3}{7} < k < \frac{4}{7}$.

Сколько существует таких чисел?

а)

Чтобы найти число $k$, которое больше $\frac{1}{6}$ и меньше $\frac{1}{5}$, нужно привести эти дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 6 и 5 — это 30.

$\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{5}{30}$

$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{6}{30}$

Неравенство принимает вид: $\frac{5}{30} < k < \frac{6}{30}$.

Между числителями 5 и 6 нет целых чисел. Чтобы найти дробь между ними, нужно взять больший знаменатель. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на 2:

$\frac{5 \cdot 2}{30 \cdot 2} < k < \frac{6 \cdot 2}{30 \cdot 2}$

$\frac{10}{60} < k < \frac{12}{60}$

Теперь между дробями $\frac{10}{60}$ и $\frac{12}{60}$ находится число $\frac{11}{60}$.

Возьмем другой знаменатель, например, 100. Для этого можно представить дроби в виде десятичных: $\frac{1}{6} \approx 0,167$, а $\frac{1}{5} = 0,2$. Неравенство можно записать как $0,167 < k < 0,2$. Этому условию удовлетворяют, например, числа $0,17$, $0,18$, $0,19$. Запишем их в виде обыкновенных дробей: $\frac{17}{100}$, $\frac{18}{100} = \frac{9}{50}$, $\frac{19}{100}$.

Ответ: например, $\frac{11}{60}$, $\frac{17}{100}$, $\frac{9}{50}$.

б)

Рассмотрим неравенство $\frac{3}{7} < k < \frac{4}{7}$.

Знаменатели у дробей одинаковые, но между числителями 3 и 4 нет целых чисел. Чтобы найти число $k$, умножим числитель и знаменатель обеих дробей на одно и то же число, например, на 2:

$\frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 2} < k < \frac{4 \cdot 2}{7 \cdot 2}$

$\frac{6}{14} < k < \frac{8}{14}$

Одно из чисел, удовлетворяющих этому неравенству, — это $k = \frac{7}{14}$, что равно $\frac{1}{2}$.

Если умножить исходные дроби на 3, получим:

$\frac{3 \cdot 3}{7 \cdot 3} < k < \frac{4 \cdot 3}{7 \cdot 3}$

$\frac{9}{21} < k < \frac{12}{21}$

Отсюда можно взять значения для $k$: $\frac{10}{21}$ и $\frac{11}{21}$.

Ответ: например, $\frac{1}{2}$, $\frac{10}{21}$, $\frac{11}{21}$.

Сколько существует таких чисел?

Между любыми двумя различными дробями всегда можно найти другую дробь. Для этого достаточно увеличивать общий знаменатель. Например, в неравенстве $\frac{3}{7} < k < \frac{4}{7}$ мы можем записать дроби со знаменателем 700: $\frac{300}{700} < k < \frac{400}{700}$. Теперь между ними можно найти 99 дробей: $\frac{301}{700}, \frac{302}{700}, ..., \frac{399}{700}$. Этот процесс можно продолжать бесконечно, выбирая все больший и больший знаменатель. Следовательно, существует бесконечное множество таких чисел.

Ответ: существует бесконечно много таких чисел.