Страница 183 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

708 Определите, правильной или неправильной является каждая дробь, и сравните её с 1:

$\frac{5}{9}, \frac{4}{3}, \frac{15}{8}, \frac{8}{31}, \frac{73}{100}, \frac{36}{35}$

Чтобы определить, является ли дробь правильной или неправильной, и сравнить ее с 1, нужно сравнить ее числитель (число над чертой) и знаменатель (число под чертой). Если числитель меньше знаменателя, то дробь является правильной, и она всегда меньше 1. Если числитель больше или равен знаменателю, то дробь является неправильной, и она всегда больше или равна 1.

$ \frac{5}{9} $

В этой дроби числитель 5 меньше знаменателя 9 ($5 < 9$). Следовательно, дробь является правильной. Любая правильная дробь меньше единицы.

Ответ: правильная; $ \frac{5}{9} < 1 $.

$ \frac{4}{3} $

В этой дроби числитель 4 больше знаменателя 3 ($4 > 3$). Следовательно, дробь является неправильной. Любая неправильная дробь, у которой числитель больше знаменателя, больше единицы.

Ответ: неправильная; $ \frac{4}{3} > 1 $.

$ \frac{15}{8} $

В этой дроби числитель 15 больше знаменателя 8 ($15 > 8$). Следовательно, дробь является неправильной. Так как числитель больше знаменателя, дробь больше единицы.

Ответ: неправильная; $ \frac{15}{8} > 1 $.

$ \frac{8}{31} $

В этой дроби числитель 8 меньше знаменателя 31 ($8 < 31$). Следовательно, дробь является правильной. Так как числитель меньше знаменателя, дробь меньше единицы.

Ответ: правильная; $ \frac{8}{31} < 1 $.

$ \frac{73}{100} $

В этой дроби числитель 73 меньше знаменателя 100 ($73 < 100$). Следовательно, дробь является правильной. Правильная дробь всегда меньше единицы.

Ответ: правильная; $ \frac{73}{100} < 1 $.

$ \frac{36}{35} $

В этой дроби числитель 36 больше знаменателя 35 ($36 > 35$). Следовательно, дробь является неправильной. Неправильная дробь, у которой числитель больше знаменателя, всегда больше единицы.

Ответ: неправильная; $ \frac{36}{35} > 1 $.

709 Сравните:

a) $\frac{3}{7}$ и $1$;

б) $\frac{5}{2}$ и $1$;

в) $1$ и $\frac{11}{12}$;

г) $\frac{12}{11}$ и $\frac{11}{12}$;

д) $\frac{3}{7}$ и $\frac{7}{3}$;

е) $\frac{99}{100}$ и $\frac{3}{2}$.

а) Чтобы сравнить дробь с единицей, нужно посмотреть на её числитель и знаменатель. Если числитель меньше знаменателя, то дробь меньше 1. В дроби $\frac{3}{7}$ числитель $3$ меньше знаменателя $7$. Следовательно, $\frac{3}{7} < 1$.
Ответ: $\frac{3}{7} < 1$.

б) Если числитель дроби больше знаменателя, то дробь больше 1. В дроби $\frac{5}{2}$ числитель $5$ больше знаменателя $2$. Следовательно, $\frac{5}{2} > 1$.
Ответ: $\frac{5}{2} > 1$.

в) Сравниваем $1$ и $\frac{11}{12}$. В дроби $\frac{11}{12}$ числитель $11$ меньше знаменателя $12$, значит, эта дробь меньше 1. Следовательно, $1 > \frac{11}{12}$.
Ответ: $1 > \frac{11}{12}$.

г) Сравним дроби $\frac{12}{11}$ и $\frac{11}{12}$. Дробь $\frac{12}{11}$ является неправильной, так как её числитель ($12$) больше знаменателя ($11$), поэтому $\frac{12}{11} > 1$. Дробь $\frac{11}{12}$ является правильной, так как её числитель ($11$) меньше знаменателя ($12$), поэтому $\frac{11}{12} < 1$. Так как одно число больше 1, а другое меньше 1, то первое число больше второго. Следовательно, $\frac{12}{11} > \frac{11}{12}$.
Ответ: $\frac{12}{11} > \frac{11}{12}$.

д) Сравним дроби $\frac{3}{7}$ и $\frac{7}{3}$. Дробь $\frac{3}{7}$ — правильная, так как $3 < 7$, поэтому $\frac{3}{7} < 1$. Дробь $\frac{7}{3}$ — неправильная, так как $7 > 3$, поэтому $\frac{7}{3} > 1$. Значит, $\frac{3}{7} < \frac{7}{3}$.
Ответ: $\frac{3}{7} < \frac{7}{3}$.

е) Сравним дроби $\frac{99}{100}$ и $\frac{3}{2}$. Дробь $\frac{99}{100}$ — правильная, так как $99 < 100$, поэтому $\frac{99}{100} < 1$. Дробь $\frac{3}{2}$ — неправильная, так как $3 > 2$, поэтому $\frac{3}{2} > 1$. Следовательно, $\frac{99}{100} < \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{99}{100} < \frac{3}{2}$.

710 Запишите дробь, равную $\frac{1}{2}$, меньшую $\frac{1}{2}$ и большую $\frac{1}{2}$, со знаменателем:

а) 10;

б) 12;

в) 50;

г) 8.

а)

Для того чтобы найти дроби со знаменателем 10, сначала нужно привести дробь $\frac{1}{2}$ к этому знаменателю. Для этого найдем число, на которое нужно умножить знаменатель 2, чтобы получить 10: $10 \div 2 = 5$. Теперь умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{2}$ на это число:
$\frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{5}{10}$
Таким образом, дробь, равная $\frac{1}{2}$ со знаменателем 10, – это $\frac{5}{10}$.
Чтобы найти дробь, которая меньше $\frac{1}{2}$, нужно взять дробь с тем же знаменателем 10, но с числителем, который меньше 5. Например, 4. Получим дробь $\frac{4}{10}$. Проверяем: $\frac{4}{10} < \frac{5}{10}$.
Чтобы найти дробь, которая больше $\frac{1}{2}$, нужно взять дробь с тем же знаменателем 10, но с числителем, который больше 5. Например, 6. Получим дробь $\frac{6}{10}$. Проверяем: $\frac{6}{10} > \frac{5}{10}$.

Ответ: равная $\frac{1}{2}$ – это $\frac{5}{10}$; меньшая $\frac{1}{2}$ – например, $\frac{4}{10}$; большая $\frac{1}{2}$ – например, $\frac{6}{10}$.

б)

Приведем дробь $\frac{1}{2}$ к знаменателю 12. Для этого найдем дополнительный множитель: $12 \div 2 = 6$. Умножим числитель и знаменатель на 6:
$\frac{1 \cdot 6}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12}$
Дробь, равная $\frac{1}{2}$ со знаменателем 12, – это $\frac{6}{12}$.
Дробь со знаменателем 12 будет меньше $\frac{1}{2}$ (то есть $\frac{6}{12}$), если ее числитель будет меньше 6. Например, 5. Получаем дробь $\frac{5}{12}$.
Дробь со знаменателем 12 будет больше $\frac{1}{2}$ (то есть $\frac{6}{12}$), если ее числитель будет больше 6. Например, 7. Получаем дробь $\frac{7}{12}$.

Ответ: равная $\frac{1}{2}$ – это $\frac{6}{12}$; меньшая $\frac{1}{2}$ – например, $\frac{5}{12}$; большая $\frac{1}{2}$ – например, $\frac{7}{12}$.

в)

Приведем дробь $\frac{1}{2}$ к знаменателю 50. Дополнительный множитель: $50 \div 2 = 25$. Умножим числитель и знаменатель на 25:
$\frac{1 \cdot 25}{2 \cdot 25} = \frac{25}{50}$
Дробь, равная $\frac{1}{2}$ со знаменателем 50, – это $\frac{25}{50}$.
Дробь со знаменателем 50, которая меньше $\frac{1}{2}$, должна иметь числитель меньше 25. Например, 24. Получаем дробь $\frac{24}{50}$.
Дробь со знаменателем 50, которая больше $\frac{1}{2}$, должна иметь числитель больше 25. Например, 26. Получаем дробь $\frac{26}{50}$.

Ответ: равная $\frac{1}{2}$ – это $\frac{25}{50}$; меньшая $\frac{1}{2}$ – например, $\frac{24}{50}$; большая $\frac{1}{2}$ – например, $\frac{26}{50}$.

г)

Приведем дробь $\frac{1}{2}$ к знаменателю 8. Дополнительный множитель: $8 \div 2 = 4$. Умножим числитель и знаменатель на 4:
$\frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8}$
Дробь, равная $\frac{1}{2}$ со знаменателем 8, – это $\frac{4}{8}$.
Дробь со знаменателем 8, которая меньше $\frac{1}{2}$, должна иметь числитель меньше 4. Например, 3. Получаем дробь $\frac{3}{8}$.
Дробь со знаменателем 8, которая больше $\frac{1}{2}$, должна иметь числитель больше 4. Например, 5. Получаем дробь $\frac{5}{8}$.

Ответ: равная $\frac{1}{2}$ – это $\frac{4}{8}$; меньшая $\frac{1}{2}$ – например, $\frac{3}{8}$; большая $\frac{1}{2}$ – например, $\frac{5}{8}$.

711 Начертите координатную прямую (возьмите единичный отрезок, равный 14 клеткам). Отметьте на координатной прямой все правильные дроби со знаменателем 7 и дробь $\frac{1}{2}$. Какие из отмеченных чисел меньше $\frac{1}{2}$? больше $\frac{1}{2}$?

Для решения задачи сначала определим, какие точки нужно отметить на координатной прямой. Единичный отрезок по условию равен 14 клеткам.

1. Правильные дроби со знаменателем 7.
Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Для знаменателя 7 это следующие дроби:$\frac{1}{7}, \frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7}$.

2. Положение точек на координатной прямой.
Чтобы найти положение каждой дроби на прямой, умножим значение дроби на длину единичного отрезка (14 клеток):

• $\frac{1}{7} \rightarrow 14 \cdot \frac{1}{7} = 2$ клетки от 0.
• $\frac{2}{7} \rightarrow 14 \cdot \frac{2}{7} = 4$ клетки от 0.
• $\frac{3}{7} \rightarrow 14 \cdot \frac{3}{7} = 6$ клеток от 0.
• $\frac{4}{7} \rightarrow 14 \cdot \frac{4}{7} = 8$ клеток от 0.
• $\frac{5}{7} \rightarrow 14 \cdot \frac{5}{7} = 10$ клеток от 0.
• $\frac{6}{7} \rightarrow 14 \cdot \frac{6}{7} = 12$ клеток от 0.

Также отметим дробь $\frac{1}{2}$:

• $\frac{1}{2} \rightarrow 14 \cdot \frac{1}{2} = 7$ клеток от 0.

Теперь, когда все точки отмечены, можно ответить на вопросы.

Какие из отмеченных чисел меньше $\frac{1}{2}$?
Чтобы сравнить дроби, приведем их к общему знаменателю 14. Дробь $\frac{1}{2}$ равна $\frac{7}{14}$.Сравним с ней правильные дроби со знаменателем 7:

• $\frac{1}{7} = \frac{2}{14}$. Так как $2 < 7$, то $\frac{1}{7} < \frac{1}{2}$.
• $\frac{2}{7} = \frac{4}{14}$. Так как $4 < 7$, то $\frac{2}{7} < \frac{1}{2}$.
• $\frac{3}{7} = \frac{6}{14}$. Так как $6 < 7$, то $\frac{3}{7} < \frac{1}{2}$.

Эти дроби на координатной прямой находятся левее точки $\frac{1}{2}$ (в 2, 4 и 6 клетках от 0, что меньше 7 клеток).
Ответ: $\frac{1}{7}, \frac{2}{7}, \frac{3}{7}$.

больше $\frac{1}{2}$?
Продолжим сравнение с дробью $\frac{1}{2} = \frac{7}{14}$:

• $\frac{4}{7} = \frac{8}{14}$. Так как $8 > 7$, то $\frac{4}{7} > \frac{1}{2}$.
• $\frac{5}{7} = \frac{10}{14}$. Так как $10 > 7$, то $\frac{5}{7} > \frac{1}{2}$.
• $\frac{6}{7} = \frac{12}{14}$. Так как $12 > 7$, то $\frac{6}{7} > \frac{1}{2}$.

Эти дроби на координатной прямой находятся правее точки $\frac{1}{2}$ (в 8, 10 и 12 клетках от 0, что больше 7 клеток).
Ответ: $\frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7}$.

712 Даны дроби: $\frac{2}{3}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{3}{8}$, $\frac{5}{8}$, $\frac{3}{7}$, $\frac{5}{7}$.

Выпишите те из них, которые больше $\frac{1}{2}$.

Для того чтобы определить, какие из данных дробей больше $\frac{1}{2}$, необходимо сравнить каждую из них с $\frac{1}{2}$. Удобный способ сравнения — использовать правило перекрестного умножения. Дробь $\frac{a}{b}$ больше $\frac{1}{2}$, если произведение $a \cdot 2$ больше, чем $b \cdot 1$, то есть если выполняется неравенство $2a > b$.

Проверим это условие для каждой дроби:

$\frac{2}{3}$: Проверяем неравенство $2 \cdot 2 > 3$. Получаем $4 > 3$. Неравенство верное, значит, $\frac{2}{3} > \frac{1}{2}$.

$\frac{3}{4}$: Проверяем неравенство $2 \cdot 3 > 4$. Получаем $6 > 4$. Неравенство верное, значит, $\frac{3}{4} > \frac{1}{2}$.

$\frac{3}{8}$: Проверяем неравенство $2 \cdot 3 > 8$. Получаем $6 > 8$. Неравенство неверное, значит, $\frac{3}{8} < \frac{1}{2}$.

$\frac{5}{8}$: Проверяем неравенство $2 \cdot 5 > 8$. Получаем $10 > 8$. Неравенство верное, значит, $\frac{5}{8} > \frac{1}{2}$.

$\frac{3}{7}$: Проверяем неравенство $2 \cdot 3 > 7$. Получаем $6 > 7$. Неравенство неверное, значит, $\frac{3}{7} < \frac{1}{2}$.

$\frac{5}{7}$: Проверяем неравенство $2 \cdot 5 > 7$. Получаем $10 > 7$. Неравенство верное, значит, $\frac{5}{7} > \frac{1}{2}$.

Таким образом, дроби, которые больше $\frac{1}{2}$, это $\frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{5}{8}, \frac{5}{7}$.

Ответ: $\frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{5}{8}, \frac{5}{7}$.

713 РАССУЖДАЕМ

а) Даны дроби: $ \frac{15}{20} $, $ \frac{4}{16} $, $ \frac{7}{10} $, $ \frac{10}{8} $, $ \frac{3}{7} $, $ \frac{5}{6} $. Выпишите те из них, которые больше $ \frac{3}{4} $. Объясните, как вы рассуждали.

б) Даны дроби: $ \frac{1}{5} $, $ \frac{4}{9} $, $ \frac{6}{9} $, $ \frac{9}{10} $, $ \frac{7}{12} $. Выпишите те из них, которые меньше $ \frac{2}{3} $. Объясните, как вы рассуждали.

а) Чтобы найти дроби, которые больше $\frac{3}{4}$, необходимо сравнить каждую из предложенных дробей с этой дробью. Для этого можно привести дроби к общему знаменателю, преобразовать их в десятичные дроби или упростить.

Дробь для сравнения: $\frac{3}{4} = 0.75$.

• Сравним $\frac{15}{20}$ и $\frac{3}{4}$. Сократим дробь $\frac{15}{20}$, разделив числитель и знаменатель на 5: $\frac{15 \div 5}{20 \div 5} = \frac{3}{4}$. Значит, $\frac{15}{20} = \frac{3}{4}$. Эта дробь не больше.

• Сравним $\frac{4}{16}$ и $\frac{3}{4}$. Сократим дробь $\frac{4}{16}$, разделив числитель и знаменатель на 4: $\frac{4 \div 4}{16 \div 4} = \frac{1}{4}$. Так как $\frac{1}{4} < \frac{3}{4}$, эта дробь не больше.

• Сравним $\frac{7}{10}$ и $\frac{3}{4}$. Приведем к общему знаменателю 20: $\frac{7}{10} = \frac{14}{20}$, а $\frac{3}{4} = \frac{15}{20}$. Так как $14 < 15$, то $\frac{7}{10} < \frac{3}{4}$. Эта дробь не больше.

• Сравним $\frac{10}{8}$ и $\frac{3}{4}$. Дробь $\frac{10}{8}$ неправильная, ее значение больше 1. Дробь $\frac{3}{4}$ правильная, ее значение меньше 1. Следовательно, $\frac{10}{8} > \frac{3}{4}$. Эта дробь больше.

• Сравним $\frac{3}{7}$ и $\frac{3}{4}$. У этих дробей одинаковые числители. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Так как $7 > 4$, то $\frac{3}{7} < \frac{3}{4}$. Эта дробь не больше.

• Сравним $\frac{5}{6}$ и $\frac{3}{4}$. Приведем к общему знаменателю 12: $\frac{5}{6} = \frac{10}{12}$, а $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$. Так как $10 > 9$, то $\frac{5}{6} > \frac{3}{4}$. Эта дробь больше.

Таким образом, дроби, которые больше $\frac{3}{4}$, это $\frac{10}{8}$ и $\frac{5}{6}$.

Ответ: $\frac{10}{8}, \frac{5}{6}$.

б) Чтобы найти дроби, которые меньше $\frac{2}{3}$, необходимо сравнить каждую из предложенных дробей с этой дробью. Для этого приведем дроби к общему знаменателю.

• Сравним $\frac{1}{5}$ и $\frac{2}{3}$. Общий знаменатель 15. $\frac{1}{5} = \frac{1 \times 3}{5 \times 3} = \frac{3}{15}$; $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 5}{3 \times 5} = \frac{10}{15}$. Так как $3 < 10$, то $\frac{1}{5} < \frac{2}{3}$. Эта дробь меньше.

• Сравним $\frac{6}{9}$ и $\frac{2}{3}$. Сократим дробь $\frac{6}{9}$, разделив числитель и знаменатель на 3: $\frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3}$. Значит, $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$. Эта дробь не меньше.

• Сравним $\frac{9}{10}$ и $\frac{2}{3}$. Общий знаменатель 30. $\frac{9}{10} = \frac{9 \times 3}{10 \times 3} = \frac{27}{30}$; $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 10}{3 \times 10} = \frac{20}{30}$. Так как $27 > 20$, то $\frac{9}{10} > \frac{2}{3}$. Эта дробь не меньше.

• Сравним $\frac{7}{12}$ и $\frac{2}{3}$. Общий знаменатель 12. $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}$. Сравниваем $\frac{7}{12}$ и $\frac{8}{12}$. Так как $7 < 8$, то $\frac{7}{12} < \frac{8}{12}$, значит $\frac{7}{12} < \frac{2}{3}$. Эта дробь меньше.

Таким образом, дроби, которые меньше $\frac{2}{3}$, это $\frac{1}{5}$ и $\frac{7}{12}$.

Ответ: $\frac{1}{5}, \frac{7}{12}$.

714 Запишите дроби в том порядке, как они расположены на координатной прямой:

а) $\frac{1}{2}, \frac{1}{5}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3};$

б) $\frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{5}, \frac{1}{12}.$

а) Чтобы записать дроби в том порядке, как они расположены на координатной прямой, их нужно расположить в порядке возрастания (от меньшего к большему).
Даны дроби: $\frac{1}{2}, \frac{1}{5}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}$.
Все эти дроби имеют одинаковый числитель, равный 1. Согласно правилу сравнения дробей с одинаковыми числителями, меньше та дробь, у которой знаменатель больше.
Сначала расположим знаменатели данных дробей в порядке возрастания: $2 < 3 < 4 < 5$.
Так как чем больше знаменатель, тем меньше дробь (при одинаковом числителе), то соответствующие дроби будут расположены в порядке убывания: $\frac{1}{2} > \frac{1}{3} > \frac{1}{4} > \frac{1}{5}$.
Следовательно, на координатной прямой (в порядке возрастания) дроби располагаются так: $\frac{1}{5}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{5}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}$.

б) Аналогично поступаем с дробями $\frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{5}, \frac{1}{12}$.
Все дроби имеют одинаковый числитель 1. Значит, чем больше знаменатель, тем меньше дробь.
Расположим знаменатели данных дробей в порядке возрастания: $3 < 5 < 6 < 12$.
Тогда соответствующие дроби будут расположены в порядке убывания: $\frac{1}{3} > \frac{1}{5} > \frac{1}{6} > \frac{1}{12}$.
Следовательно, на координатной прямой (в порядке возрастания) дроби располагаются так: $\frac{1}{12}, \frac{1}{6}, \frac{1}{5}, \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{12}, \frac{1}{6}, \frac{1}{5}, \frac{1}{3}$.

715 ИЩЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

1) Запишите все дроби со знаменателем 24, которые расположены между числами $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$.

2) Найдите какое-нибудь число, расположенное между числами:

а) $\frac{3}{5}$ и $\frac{4}{5}$;

б) $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{3}$.

1)

Чтобы найти дроби со знаменателем 24, расположенные между числами $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$, необходимо привести эти дроби к общему знаменателю 24.

Приведем дробь $\frac{1}{3}$ к знаменателю 24. Для этого умножим ее числитель и знаменатель на 8 ($24 \div 3 = 8$):

$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{8}{24}$

Приведем дробь $\frac{1}{2}$ к знаменателю 24. Для этого умножим ее числитель и знаменатель на 12 ($24 \div 2 = 12$):

$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 12}{2 \cdot 12} = \frac{12}{24}$

Теперь задача состоит в том, чтобы найти все дроби вида $\frac{x}{24}$, удовлетворяющие неравенству:

$\frac{8}{24} < \frac{x}{24} < \frac{12}{24}$

Так как знаменатели равны, сравниваем числители: $8 < x < 12$. Целочисленные значения $x$, удовлетворяющие этому условию, — это 9, 10 и 11.

Следовательно, искомые дроби: $\frac{9}{24}$, $\frac{10}{24}$ и $\frac{11}{24}$.

Ответ: $\frac{9}{24}, \frac{10}{24}, \frac{11}{24}$.

2)

а) Чтобы найти число, расположенное между $\frac{3}{5}$ и $\frac{4}{5}$, можно привести эти дроби к большему общему знаменателю. Например, к 10. Для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на 2:

$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10}$

$\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{8}{10}$

Между дробями $\frac{6}{10}$ и $\frac{8}{10}$ находится, например, дробь $\frac{7}{10}$.

Другой способ — найти их среднее арифметическое:

$(\frac{3}{5} + \frac{4}{5}) \div 2 = \frac{7}{5} \div 2 = \frac{7}{10}$

Ответ: $\frac{7}{10}$ (можно указать любое другое число из этого интервала, например 0,75).

б) Чтобы найти число, расположенное между $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{3}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 3 — это 12.

$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12}$

$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{4}{12}$

Между дробями $\frac{3}{12}$ и $\frac{4}{12}$ нет дроби с целым числителем и знаменателем 12. Поэтому приведем их к большему знаменателю, например 24, умножив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{3}{12} = \frac{3 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{6}{24}$

$\frac{4}{12} = \frac{4 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{8}{24}$

Между $\frac{6}{24}$ и $\frac{8}{24}$ находится дробь $\frac{7}{24}$.

Также можно найти среднее арифметическое:

$(\frac{1}{4} + \frac{1}{3}) \div 2 = (\frac{3}{12} + \frac{4}{12}) \div 2 = \frac{7}{12} \div 2 = \frac{7}{24}$

Ответ: $\frac{7}{24}$ (можно указать любое другое число из этого интервала).

716 ЭКСПЕРИМЕНТИРУЕМ Найдите несколько чисел, которые можно подставить вместо k и получить верное двойное неравенство:

a) $\frac{1}{6} < k < \frac{1}{5}$;

б) $\frac{3}{7} < k < \frac{4}{7}$.

Сколько существует таких чисел?

а)

Чтобы найти число $k$, которое больше $\frac{1}{6}$ и меньше $\frac{1}{5}$, нужно привести эти дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 6 и 5 — это 30.

$\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{5}{30}$

$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{6}{30}$

Неравенство принимает вид: $\frac{5}{30} < k < \frac{6}{30}$.

Между числителями 5 и 6 нет целых чисел. Чтобы найти дробь между ними, нужно взять больший знаменатель. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на 2:

$\frac{5 \cdot 2}{30 \cdot 2} < k < \frac{6 \cdot 2}{30 \cdot 2}$

$\frac{10}{60} < k < \frac{12}{60}$

Теперь между дробями $\frac{10}{60}$ и $\frac{12}{60}$ находится число $\frac{11}{60}$.

Возьмем другой знаменатель, например, 100. Для этого можно представить дроби в виде десятичных: $\frac{1}{6} \approx 0,167$, а $\frac{1}{5} = 0,2$. Неравенство можно записать как $0,167 < k < 0,2$. Этому условию удовлетворяют, например, числа $0,17$, $0,18$, $0,19$. Запишем их в виде обыкновенных дробей: $\frac{17}{100}$, $\frac{18}{100} = \frac{9}{50}$, $\frac{19}{100}$.

Ответ: например, $\frac{11}{60}$, $\frac{17}{100}$, $\frac{9}{50}$.

б)

Рассмотрим неравенство $\frac{3}{7} < k < \frac{4}{7}$.

Знаменатели у дробей одинаковые, но между числителями 3 и 4 нет целых чисел. Чтобы найти число $k$, умножим числитель и знаменатель обеих дробей на одно и то же число, например, на 2:

$\frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 2} < k < \frac{4 \cdot 2}{7 \cdot 2}$

$\frac{6}{14} < k < \frac{8}{14}$

Одно из чисел, удовлетворяющих этому неравенству, — это $k = \frac{7}{14}$, что равно $\frac{1}{2}$.

Если умножить исходные дроби на 3, получим:

$\frac{3 \cdot 3}{7 \cdot 3} < k < \frac{4 \cdot 3}{7 \cdot 3}$

$\frac{9}{21} < k < \frac{12}{21}$

Отсюда можно взять значения для $k$: $\frac{10}{21}$ и $\frac{11}{21}$.

Ответ: например, $\frac{1}{2}$, $\frac{10}{21}$, $\frac{11}{21}$.

Сколько существует таких чисел?

Между любыми двумя различными дробями всегда можно найти другую дробь. Для этого достаточно увеличивать общий знаменатель. Например, в неравенстве $\frac{3}{7} < k < \frac{4}{7}$ мы можем записать дроби со знаменателем 700: $\frac{300}{700} < k < \frac{400}{700}$. Теперь между ними можно найти 99 дробей: $\frac{301}{700}, \frac{302}{700}, ..., \frac{399}{700}$. Этот процесс можно продолжать бесконечно, выбирая все больший и больший знаменатель. Следовательно, существует бесконечное множество таких чисел.

Ответ: существует бесконечно много таких чисел.