Страница 190 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

1. Прочитайте дробь $\frac{7}{8}$, назовите числитель и знаменатель и объясните, что они показывают. Начертите прямоугольник со сторонами 2 см и 4 см и закрасьте $\frac{7}{8}$ этого прямоугольника.

Дробь $\frac{7}{8}$ читается как "семь восьмых".

В этой дроби:
Числитель (число над чертой) – это 7.
Знаменатель (число под чертой) – это 8.

Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое. В нашем случае целое (прямоугольник) нужно разделить на 8 равных частей. Числитель показывает, сколько таких частей нужно взять (закрасить). В нашем случае нужно взять 7 частей.

Начертите прямоугольник со сторонами 2 см и 4 см и закрасьте $\frac{7}{8}$ этого прямоугольника.

1. Найдём площадь прямоугольника, которая будет нашим "целым". Площадь $S$ равна произведению его сторон:
$S = 2 \text{ см} \times 4 \text{ см} = 8 \text{ см}^2$.

2. Чтобы найти $\frac{7}{8}$ от прямоугольника, нужно разделить его на 8 равных частей (согласно знаменателю) и взять 7 таких частей (согласно числителю). Поскольку площадь прямоугольника равна $8 \text{ см}^2$, то площадь каждой из восьми частей будет $1 \text{ см}^2$. Удобнее всего разделить прямоугольник на 8 одинаковых квадратов со стороной 1 см.

3. Закрасим 7 из 8 полученных квадратов.

На чертеже ниже показан прямоугольник 2 см на 4 см, разделенный на 8 равных частей (квадратов), 7 из которых закрашены.

Ответ: Дробь $\frac{7}{8}$ читается "семь восьмых", где 7 – числитель, а 8 – знаменатель. Знаменатель 8 показывает, что целое разделено на 8 равных частей, а числитель 7 показывает, что взято 7 таких частей. Начерченный прямоугольник со сторонами 2 см и 4 см разделен на 8 равных частей, 7 из которых закрашены.

2. В коробке 10 карандашей, 7 из них цветные, остальные простые. Какую часть всех карандашей составляют цветные карандаши; простые карандаши?

В задаче дано общее количество карандашей и количество цветных карандашей. Необходимо найти, какую часть от общего числа составляют цветные и простые карандаши.

цветные карандаши

Всего в коробке 10 карандашей. Это общее количество, которое принимается за целое. Количество цветных карандашей — 7. Чтобы найти, какую часть от всех карандашей составляют цветные, нужно количество цветных карандашей (7) отнести к общему количеству карандашей (10).

Таким образом, цветные карандаши составляют $ \frac{7}{10} $ от всех карандашей.

Ответ: $ \frac{7}{10} $

простые карандаши

Сначала найдем количество простых карандашей. Для этого из общего количества карандашей вычтем количество цветных:
$ 10 - 7 = 3 $ (простых карандаша).

Теперь, зная количество простых карандашей (3), найдем, какую часть они составляют от общего количества (10). Для этого нужно количество простых карандашей отнести к общему количеству.

Таким образом, простые карандаши составляют $ \frac{3}{10} $ от всех карандашей.

Ответ: $ \frac{3}{10} $

3. Определите:

а) сколько граммов содержится в $ \frac{1}{2} $ кг; в $ \frac{3}{5} $ кг;

б) сколько секунд содержится в $ \frac{1}{6} $ мин; в $ \frac{2}{3} $ мин.

а) Чтобы определить количество граммов в заданной части килограмма, необходимо знать, что 1 килограмм равен 1000 граммам. Для нахождения части от целого, нужно это целое число умножить на дробь, выражающую эту часть.
Вычислим, сколько граммов содержится в $\frac{1}{2}$ кг:
$1000 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1000}{2} = 500$ г.
Теперь вычислим, сколько граммов содержится в $\frac{3}{5}$ кг:
$1000 \cdot \frac{3}{5} = \frac{1000 \cdot 3}{5} = 200 \cdot 3 = 600$ г.
Ответ: 500 г; 600 г.

б) Чтобы определить количество секунд в заданной части минуты, необходимо знать, что 1 минута равна 60 секундам. Аналогично предыдущему пункту, умножим общее количество секунд в минуте на указанную дробь.
Вычислим, сколько секунд содержится в $\frac{1}{6}$ мин:
$60 \cdot \frac{1}{6} = \frac{60}{6} = 10$ с.
Теперь вычислим, сколько секунд содержится в $\frac{2}{3}$ мин:
$60 \cdot \frac{2}{3} = \frac{60 \cdot 2}{3} = 20 \cdot 2 = 40$ с.
Ответ: 10 с; 40 с.

4. Запишите:

а) три правильные дроби со знаменателем 8;

б) три неправильные дроби со знаменателем 8.

а) три правильные дроби со знаменателем 8;

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. По условию, знаменатель равен 8. Следовательно, числитель должен быть натуральным числом, которое меньше 8. Такими числами являются 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Мы можем выбрать любые три из этих чисел. Например, возьмем 2, 5 и 7.
Получим следующие дроби: $ \frac{2}{8} $, $ \frac{5}{8} $, $ \frac{7}{8} $.
Ответ: $ \frac{2}{8}, \frac{5}{8}, \frac{7}{8} $.

б) три неправильные дроби со знаменателем 8.

Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. По условию, знаменатель равен 8. Следовательно, числитель должен быть натуральным числом, которое больше или равно 8. Такими числами могут быть 8, 9, 10, 11 и так далее.
Мы можем выбрать любые три из этих чисел. Например, возьмем 8, 9 и 15.
Получим следующие дроби: $ \frac{8}{8} $, $ \frac{9}{8} $, $ \frac{15}{8} $.
Ответ: $ \frac{8}{8}, \frac{9}{8}, \frac{15}{8} $.

5. Начертите координатную прямую и отметьте на ней числа $ \frac{1}{5} $, $ \frac{3}{5} $, $ \frac{7}{5} $.

Чтобы начертить координатную прямую и отметить на ней заданные числа, выполним следующие действия:

1. Начертим горизонтальную прямую. Выберем на ней точку, которую назовем началом отсчета, и обозначим ее числом 0.
2. Зададим положительное направление, указав стрелкой вправо от начала отсчета.
3. Выберем единичный отрезок — расстояние от 0 до 1. Поскольку все дроби в задании имеют знаменатель 5, удобно разделить этот единичный отрезок на 5 равных частей. Длина каждой такой части будет составлять $\frac{1}{5}$ единичного отрезка.
4. Отметим заданные числа на прямой, отсчитывая необходимое количество частей от нуля:
   • Чтобы отметить число $\frac{1}{5}$, нужно отступить от 0 вправо на одну такую часть.
   • Чтобы отметить число $\frac{3}{5}$, нужно отступить от 0 вправо на три такие части.
   • Число $\frac{7}{5}$ является неправильной дробью. Его можно представить в виде смешанного числа: $\frac{7}{5} = 1\frac{2}{5}$. Это значит, что точка находится на расстоянии 7 частей (каждая по $\frac{1}{5}$) от нуля. Она будет расположена правее единицы, на расстоянии двух частей от нее.

Визуально это будет выглядеть следующим образом:

Ответ: Координатная прямая с отмеченными на ней числами $\frac{1}{5}$, $\frac{3}{5}$ и $\frac{7}{5}$ построена и показана на рисунке выше.

6. Запишите координаты точек, отмеченных на координатной прямой.

$A = 0.2$

$B = 0.4$

$C = 0.6$

$D = 0.9$

$E = 1.3$

Для определения координат точек, отмеченных на координатной прямой, необходимо сначала найти цену одного деления. На прямой отрезок от 0 до 1 разделен на 10 равных частей. Следовательно, цена одного деления равна:

$(1 - 0) \div 10 = 0,1$

Теперь мы можем найти координату каждой точки, посчитав количество делений от нуля до этой точки и умножив его на цену деления.

A
Точка A находится на 2-м делении справа от 0. Чтобы найти ее координату, умножим количество делений на цену одного деления:
$2 \times 0,1 = 0,2$
Координата точки A(0,2).
Ответ: A(0,2)

B
Точка B находится на 4-м делении справа от 0. Ее координата:
$4 \times 0,1 = 0,4$
Координата точки B(0,4).
Ответ: B(0,4)

C
Точка C находится на 5-м делении справа от 0. Ее координата:
$5 \times 0,1 = 0,5$
Координата точки C(0,5).
Ответ: C(0,5)

D
Точка D находится на 8-м делении справа от 0. Ее координата:
$8 \times 0,1 = 0,8$
Координата точки D(0,8).
Ответ: D(0,8)

E
Точка E находится на 3-м делении справа от 1. Это 10 делений до 1 плюс еще 3 деления, то есть 13 делений от 0. Ее координата:
$13 \times 0,1 = 1,3$
Или можно посчитать от единицы: $1 + 3 \times 0,1 = 1 + 0,3 = 1,3$.
Координата точки E(1,3).
Ответ: E(1,3)

7. а) Сформулируйте основное свойство дроби.

б) Среди данных дробей найдите дроби, равные $\frac{3}{4}$:

$\frac{15}{30}$, $\frac{6}{8}$, $\frac{3}{12}$, $\frac{15}{20}$.

а) Основное свойство дроби заключается в том, что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число (не равное нулю), то получится равная ей дробь. Иными словами, величина дроби при этом не изменится.

Для любой дроби $ \frac{a}{b} $ и любого числа $ n \neq 0 $ справедливы равенства:

$ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} $

$ \frac{a}{b} = \frac{a \div n}{b \div n} $ (если $ a $ и $ b $ делятся на $ n $ без остатка).

Ответ: Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то значение дроби не изменится.

б) Чтобы найти дроби, равные $ \frac{3}{4} $, необходимо проверить каждую из данных дробей. Для этого можно сократить каждую дробь до её простейшего (несократимого) вида.

1. Рассмотрим дробь $ \frac{15}{30} $. Наибольший общий делитель для числителя 15 и знаменателя 30 равен 15. Сократим дробь:

$ \frac{15}{30} = \frac{15 \div 15}{30 \div 15} = \frac{1}{2} $.

Поскольку $ \frac{1}{2} \neq \frac{3}{4} $, эта дробь не является искомой.

2. Рассмотрим дробь $ \frac{6}{8} $. Наибольший общий делитель для 6 и 8 равен 2. Сократим дробь:

$ \frac{6}{8} = \frac{6 \div 2}{8 \div 2} = \frac{3}{4} $.

Эта дробь равна $ \frac{3}{4} $.

3. Рассмотрим дробь $ \frac{3}{12} $. Наибольший общий делитель для 3 и 12 равен 3. Сократим дробь:

$ \frac{3}{12} = \frac{3 \div 3}{12 \div 3} = \frac{1}{4} $.

Поскольку $ \frac{1}{4} \neq \frac{3}{4} $, эта дробь не является искомой.

4. Рассмотрим дробь $ \frac{15}{20} $. Наибольший общий делитель для 15 и 20 равен 5. Сократим дробь:

$ \frac{15}{20} = \frac{15 \div 5}{20 \div 5} = \frac{3}{4} $.

Эта дробь равна $ \frac{3}{4} $.

Таким образом, среди предложенных дробей равными дроби $ \frac{3}{4} $ являются $ \frac{6}{8} $ и $ \frac{15}{20} $.

Ответ: $ \frac{6}{8} $ и $ \frac{15}{20} $.