Страница 186 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Выполните деление:
а) $7 : 9$; б) $9 : 3$; в) $15 : 6$. Каким числом может выражаться частное от деления натуральных чисел? Приведите свои примеры.

Представьте число 6 в виде дроби разными способами.
Укажите несократимую дробь, с помощью которой записывается число 6.

Всегда ли можно разделить одно натуральное число на другое?
Найдите частное: а) $7 : 8$; б) $10 : 15$; в) $25 : 10$.

а) Результатом деления 7 на 9 является дробь. Черту дроби можно рассматривать как знак деления.
$7 \div 9 = \frac{7}{9}$
Ответ: $\frac{7}{9}$.

б) Деление 9 на 3 выполняется нацело, результатом является натуральное число.
$9 \div 3 = 3$
Ответ: 3.

в) Результатом деления 15 на 6 является неправильная дробь, которую можно сократить. Наибольший общий делитель для 15 и 6 - это 3.
$15 \div 6 = \frac{15}{6} = \frac{15 \div 3}{6 \div 3} = \frac{5}{2}$
Эту дробь также можно записать как смешанное число $2\frac{1}{2}$ или десятичную дробь 2,5.
Ответ: $\frac{5}{2}$.

Частное от деления натуральных чисел может выражаться как натуральным числом (если делимое делится на делитель нацело), так и дробным числом (если делимое не делится на делитель нацело).
Примеры:
1. Результат – натуральное число: $12 \div 4 = 3$.
2. Результат – правильная дробь: $5 \div 8 = \frac{5}{8}$.
3. Результат – неправильная дробь: $10 \div 3 = \frac{10}{3}$.

Представить число 6 в виде дроби можно множеством способов. Для этого нужно записать 6 в виде дроби со знаменателем 1 и затем умножить числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число.
Например:
$6 = \frac{6}{1}$
$6 = \frac{6 \times 2}{1 \times 2} = \frac{12}{2}$
$6 = \frac{6 \times 5}{1 \times 5} = \frac{30}{5}$
$6 = \frac{6 \times 100}{1 \times 100} = \frac{600}{100}$
Несократимая дробь — это дробь, у которой числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами (их наибольший общий делитель равен 1). Для числа 6 это дробь $\frac{6}{1}$.
Ответ: Разные способы: $\frac{12}{2}, \frac{18}{3}, \frac{30}{5}$. Несократимая дробь: $\frac{6}{1}$.

Разделить одно натуральное число на другое нацело (чтобы в результате получилось натуральное число) не всегда возможно. Например, 7 не делится на 8 нацело. Однако, если рассматривать деление как операцию, результатом которой может быть дробь, то любое натуральное число можно разделить на любое другое натуральное число. Результатом такого деления будет либо натуральное число, либо дробь.
Найдем частное для приведенных примеров:

а) $7 \div 8$
$7 \div 8 = \frac{7}{8}$. Эта дробь несократимая.
Ответ: $\frac{7}{8}$.

б) $10 \div 15$
$10 \div 15 = \frac{10}{15}$. Эту дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 5.
$\frac{10 \div 5}{15 \div 5} = \frac{2}{3}$
Ответ: $\frac{2}{3}$.

в) $25 \div 10$
$25 \div 10 = \frac{25}{10}$. Эту дробь можно сократить на 5.
$\frac{25 \div 5}{10 \div 5} = \frac{5}{2}$
Ответ: $\frac{5}{2}$.