Страница 188 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

728 Выполните деление и сократите полученную дробь:

а) $4 : 8$;

б) $3 : 9$;

в) $12 : 10$;

г) $8 : 6$;

д) $25 : 20$;

е) $10 : 15$;

ж) $5 : 25$;

з) $4 : 16$.

а) 4 : 8

Представим данное деление в виде обыкновенной дроби. Делимое (4) станет числителем, а делитель (8) — знаменателем:

$4 : 8 = \frac{4}{8}$

Теперь сократим полученную дробь. Для этого найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя. Наибольший общий делитель для 4 и 8 равен 4.

Разделим числитель и знаменатель на их НОД:

$\frac{4}{8} = \frac{4 \div 4}{8 \div 4} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) 3 : 9

Представим данное деление в виде обыкновенной дроби. Делимое (3) станет числителем, а делитель (9) — знаменателем:

$3 : 9 = \frac{3}{9}$

Теперь сократим полученную дробь. Для этого найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя. Наибольший общий делитель для 3 и 9 равен 3.

Разделим числитель и знаменатель на их НОД:

$\frac{3}{9} = \frac{3 \div 3}{9 \div 3} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

в) 12 : 10

Представим данное деление в виде обыкновенной дроби. Делимое (12) станет числителем, а делитель (10) — знаменателем:

$12 : 10 = \frac{12}{10}$

Теперь сократим полученную дробь. Для этого найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя. Наибольший общий делитель для 12 и 10 равен 2.

Разделим числитель и знаменатель на их НОД:

$\frac{12}{10} = \frac{12 \div 2}{10 \div 2} = \frac{6}{5}$

Ответ: $\frac{6}{5}$

г) 8 : 6

Представим данное деление в виде обыкновенной дроби. Делимое (8) станет числителем, а делитель (6) — знаменателем:

$8 : 6 = \frac{8}{6}$

Теперь сократим полученную дробь. Для этого найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя. Наибольший общий делитель для 8 и 6 равен 2.

Разделим числитель и знаменатель на их НОД:

$\frac{8}{6} = \frac{8 \div 2}{6 \div 2} = \frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{4}{3}$

д) 25 : 20

Представим данное деление в виде обыкновенной дроби. Делимое (25) станет числителем, а делитель (20) — знаменателем:

$25 : 20 = \frac{25}{20}$

Теперь сократим полученную дробь. Для этого найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя. Наибольший общий делитель для 25 и 20 равен 5.

Разделим числитель и знаменатель на их НОД:

$\frac{25}{20} = \frac{25 \div 5}{20 \div 5} = \frac{5}{4}$

Ответ: $\frac{5}{4}$

е) 10 : 15

Представим данное деление в виде обыкновенной дроби. Делимое (10) станет числителем, а делитель (15) — знаменателем:

$10 : 15 = \frac{10}{15}$

Теперь сократим полученную дробь. Для этого найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя. Наибольший общий делитель для 10 и 15 равен 5.

Разделим числитель и знаменатель на их НОД:

$\frac{10}{15} = \frac{10 \div 5}{15 \div 5} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

ж) 5 : 25

Представим данное деление в виде обыкновенной дроби. Делимое (5) станет числителем, а делитель (25) — знаменателем:

$5 : 25 = \frac{5}{25}$

Теперь сократим полученную дробь. Для этого найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя. Наибольший общий делитель для 5 и 25 равен 5.

Разделим числитель и знаменатель на их НОД:

$\frac{5}{25} = \frac{5 \div 5}{25 \div 5} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$

з) 4 : 16

Представим данное деление в виде обыкновенной дроби. Делимое (4) станет числителем, а делитель (16) — знаменателем:

$4 : 16 = \frac{4}{16}$

Теперь сократим полученную дробь. Для этого найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя. Наибольший общий делитель для 4 и 16 равен 4.

Разделим числитель и знаменатель на их НОД:

$\frac{4}{16} = \frac{4 \div 4}{16 \div 4} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

729 а) Ребята разделили 3 яблока поровну на 6 человек. Сколько досталось каждому?

б) Ребята разделили 4 булочки поровну на 12 человек. Сколько досталось каждому?

а) Чтобы определить, сколько яблок досталось каждому человеку, нужно общее количество яблок разделить на количество человек. В данном случае, мы делим 3 яблока на 6 человек. Это действие выражается дробью, где в числителе — количество яблок, а в знаменателе — количество человек.
$3 \div 6 = \frac{3}{6}$
Полученную дробь можно сократить. Наибольший общий делитель для числителя (3) и знаменателя (6) равен 3. Разделим числитель и знаменатель на 3:
$\frac{3 \div 3}{6 \div 3} = \frac{1}{2}$
Таким образом, каждому досталось по половине яблока.
Ответ: $\frac{1}{2}$ яблока.

б) Аналогично предыдущей задаче, чтобы узнать, какая часть булочки досталась каждому, нужно разделить общее количество булочек (4) на количество человек (12).
$4 \div 12 = \frac{4}{12}$
Сократим эту дробь. Наибольший общий делитель для чисел 4 и 12 равен 4. Разделим числитель и знаменатель на 4:
$\frac{4 \div 4}{12 \div 4} = \frac{1}{3}$
Следовательно, каждому досталась одна третья часть булочки.
Ответ: $\frac{1}{3}$ булочки.

730 а) Масса 4 одинаковых дынь равна 3 кг. Какова масса каждой дыни?

б) Высота 5 одинаковых книжных полок, поставленных одна на другую, равна 2 м. Чему равна высота каждой полки?

а) Чтобы найти массу одной дыни, необходимо общую массу всех дынь разделить на их количество. Известно, что общая масса 4 дынь составляет 3 кг.

Выполним деление:

$3 \text{ кг} \div 4 = 0.75 \text{ кг}$

Массу можно также выразить в граммах. Зная, что 1 кг = 1000 г:

$0.75 \text{ кг} \times 1000 = 750 \text{ г}$

Таким образом, масса каждой дыни составляет 0,75 кг или 750 граммов.

Ответ: 0,75 кг.

б) Чтобы найти высоту одной книжной полки, нужно общую высоту стопки из 5 полок разделить на количество полок. Общая высота равна 2 м.

Выполним деление:

$2 \text{ м} \div 5 = 0.4 \text{ м}$

Высоту можно также выразить в сантиметрах. Зная, что 1 м = 100 см:

$0.4 \text{ м} \times 100 = 40 \text{ см}$

Таким образом, высота каждой полки составляет 0,4 м или 40 сантиметров.

Ответ: 0,4 м.

731 a) За неделю израсходовали 5 кг картофеля, каждый день поровну. Сколько килограммов картофеля расходовали каждый день?

б) Из 3 м ткани сшили 5 одинаковых салфеток. Сколько метров ткани пошло на одну салфетку?

а) Чтобы узнать, сколько килограммов картофеля расходовали каждый день, необходимо общее количество израсходованного картофеля разделить на количество дней в неделе. В неделе 7 дней.
$5 \div 7 = \frac{5}{7}$ (кг)
Ответ: каждый день расходовали $\frac{5}{7}$ кг картофеля.

б) Чтобы найти, сколько метров ткани пошло на одну салфетку, нужно общую длину ткани разделить на количество салфеток, так как все салфетки были одинаковыми.
$3 \div 5 = \frac{3}{5}$ (м)
Ответ: на одну салфетку пошло $\frac{3}{5}$ м ткани.

732 а) Конфеты, масса которых 2 кг, разложили поровну в 10 пакетов. Сколько килограммов конфет в каждом пакете?

б) Из 20 м ткани сшили 16 одинаковых полотенец. Сколько метров ткани пошло на одно полотенце?

а)

Чтобы найти массу конфет в одном пакете, необходимо общую массу конфет разделить на количество пакетов.

Общая масса конфет составляет 2 кг, а количество пакетов — 10.

Выполним деление: $2 \div 10 = \frac{2}{10} = 0,2$ кг.

Ответ: в каждом пакете 0,2 кг конфет.

б)

Чтобы определить, сколько метров ткани пошло на одно полотенце, нужно общую длину ткани разделить на количество сшитых полотенец.

Общая длина ткани — 20 м, а количество полотенец — 16.

Выполним деление: $20 \div 16 = \frac{20}{16}$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 4: $\frac{20 \div 4}{16 \div 4} = \frac{5}{4}$.
Переведем неправильную дробь в десятичную: $\frac{5}{4} = 1,25$ м.

Ответ: на одно полотенце пошло 1,25 м ткани.

733 а) Таня прошла 2 км за 30 мин. Сколько километров в минуту проходила Таня?

б) Поезд проехал 24 км за 15 мин. Сколько километров проезжал поезд за минуту?

а)

Чтобы определить, какое расстояние Таня проходила за одну минуту, необходимо общее расстояние разделить на общее время в пути.
Дано:
Расстояние (S) = $2$ км
Время (t) = $30$ мин

Скорость (v) находится по формуле $v = S / t$.
$v = 2 \text{ км} / 30 \text{ мин} = 2/30 \text{ км/мин}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на $2$:
$2/30 = (2 \div 2) / (30 \div 2) = 1/15$

Таким образом, Таня проходила $1/15$ километра в минуту.

Ответ: $1/15$ км/мин.

б)

Чтобы найти, сколько километров проезжал поезд за одну минуту, нужно разделить пройденное им расстояние на затраченное время.
Дано:
Расстояние (S) = $24$ км
Время (t) = $15$ мин

Скорость (v) находится по той же формуле: $v = S / t$.
$v = 24 \text{ км} / 15 \text{ мин} = 24/15 \text{ км/мин}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на общий делитель $3$:
$24/15 = (24 \div 3) / (15 \div 3) = 8/5$

Представим неправильную дробь в виде десятичного числа:
$8/5 = 1.6$

Следовательно, поезд проезжал $1.6$ километра в минуту.

Ответ: $1.6$ км/мин.

734 Каким натуральным числам равны дроби $ \frac{4}{4} $, $ \frac{10}{5} $, $ \frac{18}{3} $, $ \frac{7}{1} $, $ \frac{3}{1} $, $ \frac{24}{6} $, $ \frac{10}{10} $, $ \frac{20}{4} $?

Чтобы определить, какому натуральному числу равна дробь, необходимо её числитель разделить на знаменатель. Дробь будет равна натуральному числу, если числитель делится на знаменатель без остатка.

$\frac{4}{4}$. Разделим числитель 4 на знаменатель 4: $4 \div 4 = 1$. Ответ: 1

$\frac{10}{5}$. Разделим числитель 10 на знаменатель 5: $10 \div 5 = 2$. Ответ: 2

$\frac{18}{3}$. Разделим числитель 18 на знаменатель 3: $18 \div 3 = 6$. Ответ: 6

$\frac{7}{1}$. Разделим числитель 7 на знаменатель 1: $7 \div 1 = 7$. Ответ: 7

$\frac{3}{1}$. Разделим числитель 3 на знаменатель 1: $3 \div 1 = 3$. Ответ: 3

$\frac{24}{6}$. Разделим числитель 24 на знаменатель 6: $24 \div 6 = 4$. Ответ: 4

$\frac{10}{10}$. Разделим числитель 10 на знаменатель 10: $10 \div 10 = 1$. Ответ: 1

$\frac{20}{4}$. Разделим числитель 20 на знаменатель 4: $20 \div 4 = 5$. Ответ: 5

735 Сократите дроби и укажите, какие из них представляют натуральные числа:

а) $\frac{25}{100}$, $\frac{100}{25}$, $\frac{24}{30}$, $\frac{30}{24}$, $\frac{36}{12}$, $\frac{36}{4}$;

б) $\frac{2}{8}$, $\frac{8}{2}$, $\frac{10}{8}$, $\frac{42}{7}$, $\frac{51}{17}$, $\frac{100}{50}$.

Чтобы сократить дробь, нужно разделить ее числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД). Дробь представляет натуральное число, если ее числитель делится на знаменатель без остатка (то есть, после сокращения знаменатель равен 1).

а)

$\frac{25}{100} = \frac{25 \div 25}{100 \div 25} = \frac{1}{4}$
$\frac{100}{25} = \frac{100 \div 25}{25 \div 25} = \frac{4}{1} = 4$ (натуральное число)
$\frac{24}{30} = \frac{24 \div 6}{30 \div 6} = \frac{4}{5}$
$\frac{30}{24} = \frac{30 \div 6}{24 \div 6} = \frac{5}{4}$
$\frac{36}{12} = \frac{36 \div 12}{12 \div 12} = \frac{3}{1} = 3$ (натуральное число)
$\frac{36}{4} = \frac{36 \div 4}{4 \div 4} = \frac{9}{1} = 9$ (натуральное число)

Ответ: натуральные числа представляют дроби $\frac{100}{25}$, $\frac{36}{12}$ и $\frac{36}{4}$.

б)

$\frac{2}{8} = \frac{2 \div 2}{8 \div 2} = \frac{1}{4}$
$\frac{8}{2} = \frac{8 \div 2}{2 \div 2} = \frac{4}{1} = 4$ (натуральное число)
$\frac{10}{8} = \frac{10 \div 2}{8 \div 2} = \frac{5}{4}$
$\frac{42}{7} = \frac{42 \div 7}{7 \div 7} = \frac{6}{1} = 6$ (натуральное число)
$\frac{51}{17} = \frac{51 \div 17}{17 \div 17} = \frac{3}{1} = 3$ (натуральное число)
$\frac{100}{50} = \frac{100 \div 50}{50 \div 50} = \frac{2}{1} = 2$ (натуральное число)

Ответ: натуральные числа представляют дроби $\frac{8}{2}$, $\frac{42}{7}$, $\frac{51}{17}$ и $\frac{100}{50}$.

736 Дополните запись:

а) $3 = \frac{}{1}$; г) $4 = \frac{}{2}$; ж) $10 = \frac{}{5}$; к) $100 = \frac{}{5}$;

б) $8 = \frac{}{1}$; д) $16 = \frac{}{3}$; з) $12 = \frac{}{2}$; л) $20 = \frac{}{3}$;

в) $2 = \frac{}{2}$; е) $15 = \frac{}{4}$; и) $7 = \frac{}{6}$; м) $9 = \frac{}{4}$.

а) Чтобы представить целое число в виде дроби с определенным знаменателем, нужно умножить это число на знаменатель. Полученное значение будет числителем искомой дроби. В данном случае, чтобы представить число 3 в виде дроби со знаменателем 1, найдем числитель: $3 \cdot 1 = 3$.
Ответ: $3 = \frac{3}{1}$

б) Чтобы представить число 8 в виде дроби со знаменателем 1, найдем числитель, умножив целое число на знаменатель: $8 \cdot 1 = 8$.
Ответ: $8 = \frac{8}{1}$

в) Чтобы представить число 2 в виде дроби со знаменателем 2, найдем числитель, умножив целое число на знаменатель: $2 \cdot 2 = 4$.
Ответ: $2 = \frac{4}{2}$

г) Чтобы представить число 4 в виде дроби со знаменателем 2, найдем числитель, умножив целое число на знаменатель: $4 \cdot 2 = 8$.
Ответ: $4 = \frac{8}{2}$

д) Чтобы представить число 16 в виде дроби со знаменателем 3, найдем числитель, умножив целое число на знаменатель: $16 \cdot 3 = 48$.
Ответ: $16 = \frac{48}{3}$

е) Чтобы представить число 15 в виде дроби со знаменателем 4, найдем числитель, умножив целое число на знаменатель: $15 \cdot 4 = 60$.
Ответ: $15 = \frac{60}{4}$

ж) Чтобы представить число 10 в виде дроби со знаменателем 5, найдем числитель, умножив целое число на знаменатель: $10 \cdot 5 = 50$.
Ответ: $10 = \frac{50}{5}$

з) Чтобы представить число 12 в виде дроби со знаменателем 2, найдем числитель, умножив целое число на знаменатель: $12 \cdot 2 = 24$.
Ответ: $12 = \frac{24}{2}$

и) Чтобы представить число 7 в виде дроби со знаменателем 6, найдем числитель, умножив целое число на знаменатель: $7 \cdot 6 = 42$.
Ответ: $7 = \frac{42}{6}$

к) Чтобы представить число 100 в виде дроби со знаменателем 5, найдем числитель, умножив целое число на знаменатель: $100 \cdot 5 = 500$.
Ответ: $100 = \frac{500}{5}$

л) Чтобы представить число 20 в виде дроби со знаменателем 3, найдем числитель, умножив целое число на знаменатель: $20 \cdot 3 = 60$.
Ответ: $20 = \frac{60}{3}$

м) Чтобы представить число 9 в виде дроби со знаменателем 4, найдем числитель, умножив целое число на знаменатель: $9 \cdot 4 = 36$.
Ответ: $9 = \frac{36}{4}$

737 a) Представьте каждое из чисел 1, 2, 3, 4, 5 в виде дроби со знаменателем 10.

б) Представьте число 12 в виде дроби со знаменателем 1, 2, 3, 4, 5.

а) Чтобы представить натуральное число в виде дроби с определенным знаменателем, необходимо умножить это число на знаменатель, и результат записать в числитель. Знаменатель при этом остается прежним.
Для числа 1 со знаменателем 10: $1 = \frac{1 \cdot 10}{10} = \frac{10}{10}$
Для числа 2 со знаменателем 10: $2 = \frac{2 \cdot 10}{10} = \frac{20}{10}$
Для числа 3 со знаменателем 10: $3 = \frac{3 \cdot 10}{10} = \frac{30}{10}$
Для числа 4 со знаменателем 10: $4 = \frac{4 \cdot 10}{10} = \frac{40}{10}$
Для числа 5 со знаменателем 10: $5 = \frac{5 \cdot 10}{10} = \frac{50}{10}$
Ответ: $\frac{10}{10}; \frac{20}{10}; \frac{30}{10}; \frac{40}{10}; \frac{50}{10}$.

б) Используя то же правило, представим число 12 в виде дроби с указанными знаменателями.
Со знаменателем 1: $12 = \frac{12 \cdot 1}{1} = \frac{12}{1}$
Со знаменателем 2: $12 = \frac{12 \cdot 2}{2} = \frac{24}{2}$
Со знаменателем 3: $12 = \frac{12 \cdot 3}{3} = \frac{36}{3}$
Со знаменателем 4: $12 = \frac{12 \cdot 4}{4} = \frac{48}{4}$
Со знаменателем 5: $12 = \frac{12 \cdot 5}{5} = \frac{60}{5}$
Ответ: $\frac{12}{1}; \frac{24}{2}; \frac{36}{3}; \frac{48}{4}; \frac{60}{5}$.

738 Представьте в виде дроби несколькими способами числа 3, 1, 8, 15.

Чтобы представить целое число в виде дроби, нужно записать это число в числитель, а в знаменатель поставить 1. Например, любое целое число $n$ можно записать как дробь $ \frac{n}{1} $.

Чтобы получить другие дроби, равные этому числу, можно использовать основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь. То есть, $ n = \frac{n}{1} = \frac{n \cdot k}{1 \cdot k} $ для любого натурального числа $k$.

3

Представим число 3 в виде дроби несколькими способами:
1. $ 3 = \frac{3}{1} $
2. $ 3 = \frac{3 \cdot 2}{1 \cdot 2} = \frac{6}{2} $
3. $ 3 = \frac{3 \cdot 10}{1 \cdot 10} = \frac{30}{10} $
Ответ: $ \frac{3}{1}, \frac{6}{2}, \frac{30}{10} $.

1

Представим число 1 в виде дроби несколькими способами. Любая дробь, у которой числитель равен знаменателю, равна 1.
1. $ 1 = \frac{1}{1} $
2. $ 1 = \frac{1 \cdot 5}{1 \cdot 5} = \frac{5}{5} $
3. $ 1 = \frac{1 \cdot 47}{1 \cdot 47} = \frac{47}{47} $
Ответ: $ \frac{1}{1}, \frac{5}{5}, \frac{47}{47} $.

8

Представим число 8 в виде дроби несколькими способами:
1. $ 8 = \frac{8}{1} $
2. $ 8 = \frac{8 \cdot 3}{1 \cdot 3} = \frac{24}{3} $
3. $ 8 = \frac{8 \cdot 5}{1 \cdot 5} = \frac{40}{5} $
Ответ: $ \frac{8}{1}, \frac{24}{3}, \frac{40}{5} $.

15

Представим число 15 в виде дроби несколькими способами:
1. $ 15 = \frac{15}{1} $
2. $ 15 = \frac{15 \cdot 2}{1 \cdot 2} = \frac{30}{2} $
3. $ 15 = \frac{15 \cdot 4}{1 \cdot 4} = \frac{60}{4} $
Ответ: $ \frac{15}{1}, \frac{30}{2}, \frac{60}{4} $.

739 Запишите все неправильные дроби с числителем 6. Какие из них представляют натуральные числа?

Запишите все неправильные дроби с числителем 6

Неправильной называется дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. По условию, числитель равен 6. Обозначим знаменатель буквой $n$.

Для того чтобы дробь $ \frac{6}{n} $ была неправильной, должно выполняться неравенство: числитель $ \ge $ знаменатель, то есть $ 6 \ge n $.

По определению дроби, ее знаменатель не может быть равен нулю, а в данном контексте мы ищем натуральные числа для знаменателя. Натуральные числа, которые удовлетворяют условию $ n \le 6 $, это 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Составим все возможные дроби:

$ \frac{6}{1}, \frac{6}{2}, \frac{6}{3}, \frac{6}{4}, \frac{6}{5}, \frac{6}{6} $.

Ответ: $ \frac{6}{1}, \frac{6}{2}, \frac{6}{3}, \frac{6}{4}, \frac{6}{5}, \frac{6}{6} $.

Какие из них представляют натуральные числа?

Дробь представляет собой натуральное число в том случае, если ее числитель делится на знаменатель без остатка. Проверим каждую из полученных дробей:

$ \frac{6}{1} = 6 $ (6 — это натуральное число).

$ \frac{6}{2} = 3 $ (3 — это натуральное число).

$ \frac{6}{3} = 2 $ (2 — это натуральное число).

$ \frac{6}{4} $ — 6 не делится на 4 нацело ($6 : 4 = 1.5$), поэтому эта дробь не представляет натуральное число.

$ \frac{6}{5} $ — 6 не делится на 5 нацело ($6 : 5 = 1.2$), поэтому эта дробь не представляет натуральное число.

$ \frac{6}{6} = 1 $ (1 — это натуральное число).

Таким образом, натуральными числами являются те дроби, знаменатели которых являются делителями числа 6.

Ответ: $ \frac{6}{1}, \frac{6}{2}, \frac{6}{3}, \frac{6}{6} $.