Страница 182 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

702 a) Определите, какая из дробей $\frac{15}{17}, \frac{7}{17}, \frac{3}{17}, \frac{12}{17}, \frac{9}{17}$ наименьшая и какая наибольшая. Расположите дроби в порядке возрастания.

б) Определите, какая из дробей $\frac{29}{100}, \frac{13}{100}, \frac{41}{100}, \frac{7}{100}, \frac{24}{100}$ наибольшая и какая наименьшая. Расположите дроби в порядке убывания.

а) Даны дроби: $\frac{15}{17}, \frac{7}{17}, \frac{3}{17}, \frac{12}{17}, \frac{9}{17}$.
Все эти дроби имеют одинаковый знаменатель, равный 17. Чтобы сравнить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сравнить их числители. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями меньше та, у которой числитель меньше, и больше та, у которой числитель больше.
Сравним числители данных дробей: 15, 7, 3, 12, 9.
Наименьший числитель — это 3, следовательно, наименьшая дробь — $\frac{3}{17}$.
Наибольший числитель — это 15, следовательно, наибольшая дробь — $\frac{15}{17}$.
Для того чтобы расположить дроби в порядке возрастания, необходимо расположить их числители в порядке возрастания: $3 < 7 < 9 < 12 < 15$.
Соответствующий порядок дробей будет таким: $\frac{3}{17}, \frac{7}{17}, \frac{9}{17}, \frac{12}{17}, \frac{15}{17}$.
Ответ: наименьшая дробь — $\frac{3}{17}$, наибольшая дробь — $\frac{15}{17}$. Дроби в порядке возрастания: $\frac{3}{17}, \frac{7}{17}, \frac{9}{17}, \frac{12}{17}, \frac{15}{17}$.

б) Даны дроби: $\frac{29}{100}, \frac{13}{100}, \frac{41}{100}, \frac{7}{100}, \frac{24}{100}$.
Все эти дроби имеют одинаковый знаменатель, равный 100. Применяем то же правило сравнения: чем больше числитель, тем больше дробь.
Сравним числители данных дробей: 29, 13, 41, 7, 24.
Наибольший числитель — это 41, следовательно, наибольшая дробь — $\frac{41}{100}$.
Наименьший числитель — это 7, следовательно, наименьшая дробь — $\frac{7}{100}$.
Для того чтобы расположить дроби в порядке убывания, необходимо расположить их числители в порядке убывания: $41 > 29 > 24 > 13 > 7$.
Соответствующий порядок дробей будет таким: $\frac{41}{100}, \frac{29}{100}, \frac{24}{100}, \frac{13}{100}, \frac{7}{100}$.
Ответ: наибольшая дробь — $\frac{41}{100}$, наименьшая дробь — $\frac{7}{100}$. Дроби в порядке убывания: $\frac{41}{100}, \frac{29}{100}, \frac{24}{100}, \frac{13}{100}, \frac{7}{100}$.

703 а) В тетради ученик начертил прямоугольник и закрасил $3/7$ этого прямоугольника. Какая часть больше — закрашенная или незакрашенная?

б) От куска верёвки отрезали $5/9$ всего куска. Сравните отрезанную часть с оставшейся.

в) Проехав $7/10$ всего пути, автобус сделал остановку. Какое расстояние меньше: которое автобус проехал или которое ему осталось проехать?

а) Чтобы определить, какая часть прямоугольника больше — закрашенная или незакрашенная, — нужно сначала найти долю незакрашенной части. Весь прямоугольник принимаем за единицу, или $1$.
Закрашенная часть составляет $\frac{3}{7}$.
Найдём незакрашенную часть, вычтя из целого закрашенную часть:
$1 - \frac{3}{7} = \frac{7}{7} - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$.
Теперь сравним закрашенную часть ($\frac{3}{7}$) и незакрашенную ($\frac{4}{7}$). Так как у этих дробей одинаковые знаменатели, большей будет та дробь, у которой числитель больше.
Сравниваем числители: $4 > 3$.
Следовательно, $\frac{4}{7} > \frac{3}{7}$.
Таким образом, незакрашенная часть больше закрашенной.
Ответ: незакрашенная часть больше.

б) Весь кусок верёвки примем за единицу ($1$).
Отрезанная часть составляет $\frac{5}{9}$ всего куска.
Чтобы найти оставшуюся часть, вычтем из целого отрезанную часть:
$1 - \frac{5}{9} = \frac{9}{9} - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$.
Сравним отрезанную часть ($\frac{5}{9}$) и оставшуюся часть ($\frac{4}{9}$).
Поскольку знаменатели дробей равны, сравниваем их числители: $5 > 4$.
Значит, $\frac{5}{9} > \frac{4}{9}$.
Отрезанная часть верёвки больше, чем оставшаяся.
Ответ: отрезанная часть больше оставшейся.

в) Весь путь автобуса примем за единицу ($1$).
Автобус проехал $\frac{7}{10}$ всего пути.
Найдём, какую часть пути ему осталось проехать:
$1 - \frac{7}{10} = \frac{10}{10} - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}$.
Теперь сравним пройденное расстояние ($\frac{7}{10}$) и оставшееся ($\frac{3}{10}$), чтобы определить, какое из них меньше.
Сравниваем дроби с одинаковыми знаменателями по их числителям: $3 < 7$.
Следовательно, $\frac{3}{10} < \frac{7}{10}$.
Это означает, что расстояние, которое осталось проехать, меньше, чем расстояние, которое автобус уже проехал.
Ответ: расстояние, которое автобусу осталось проехать, меньше.

704 ДЕЙСТВУЕМ ПО АЛГОРИТМУ Опишите алгоритм сравнения дробей с разными знаменателями. Сравните дроби и запишите результат с помощью знаков >, < или =:

а) $\frac{7}{8}$ и $\frac{3}{4}$;

б) $\frac{6}{25}$ и $\frac{1}{4}$;

в) $\frac{11}{6}$ и $\frac{7}{4}$;

г) $\frac{3}{4}$ и $\frac{9}{12}$;

д) $\frac{7}{5}$ и $\frac{3}{2}$;

е) $\frac{5}{6}$ и $\frac{5}{8}$;

ж) $\frac{3}{10}$ и $\frac{7}{12}$;

з) $\frac{2}{5}$ и $\frac{3}{8}$;

и) $\frac{25}{100}$ и $\frac{1}{4}$.

Алгоритм сравнения дробей с разными знаменателями:

1. Привести дроби к общему знаменателю. Для этого находят наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей данных дробей.
2. Найти для каждой дроби дополнительный множитель, разделив общий знаменатель на знаменатель данной дроби.
3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.
4. Сравнить полученные дроби с одинаковыми знаменателями: больше та дробь, у которой числитель больше.

а) Сравним дроби $\frac{7}{8}$ и $\frac{3}{4}$. Общий знаменатель для 8 и 4 — это 8. Приведем дробь $\frac{3}{4}$ к знаменателю 8. Дополнительный множитель равен $8 \div 4 = 2$. Получаем $\frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{6}{8}$. Теперь сравниваем $\frac{7}{8}$ и $\frac{6}{8}$. Так как $7 > 6$, то $\frac{7}{8} > \frac{6}{8}$. Ответ: $\frac{7}{8} > \frac{3}{4}$.

б) Сравним дроби $\frac{6}{25}$ и $\frac{1}{4}$. Общий знаменатель для 25 и 4 — это 100. Приведем дроби к знаменателю 100. Для $\frac{6}{25}$ дополнительный множитель $100 \div 25 = 4$, получаем $\frac{6 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{24}{100}$. Для $\frac{1}{4}$ дополнительный множитель $100 \div 4 = 25$, получаем $\frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100}$. Сравниваем $\frac{24}{100}$ и $\frac{25}{100}$. Так как $24 < 25$, то $\frac{24}{100} < \frac{25}{100}$. Ответ: $\frac{6}{25} < \frac{1}{4}$.

в) Сравним дроби $\frac{11}{6}$ и $\frac{7}{4}$. Общий знаменатель для 6 и 4 — это 12. Приведем дроби к знаменателю 12. Для $\frac{11}{6}$ дополнительный множитель $12 \div 6 = 2$, получаем $\frac{11 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{22}{12}$. Для $\frac{7}{4}$ дополнительный множитель $12 \div 4 = 3$, получаем $\frac{7 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{21}{12}$. Сравниваем $\frac{22}{12}$ и $\frac{21}{12}$. Так как $22 > 21$, то $\frac{22}{12} > \frac{21}{12}$. Ответ: $\frac{11}{6} > \frac{7}{4}$.

г) Сравним дроби $\frac{3}{4}$ и $\frac{9}{12}$. Общий знаменатель для 4 и 12 — это 12. Приведем дробь $\frac{3}{4}$ к знаменателю 12. Дополнительный множитель равен $12 \div 4 = 3$. Получаем $\frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$. Теперь сравниваем $\frac{9}{12}$ и $\frac{9}{12}$. Так как $9 = 9$, то дроби равны. Ответ: $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$.

д) Сравним дроби $\frac{7}{5}$ и $\frac{3}{2}$. Общий знаменатель для 5 и 2 — это 10. Приведем дроби к знаменателю 10. Для $\frac{7}{5}$ дополнительный множитель $10 \div 5 = 2$, получаем $\frac{7 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{14}{10}$. Для $\frac{3}{2}$ дополнительный множитель $10 \div 2 = 5$, получаем $\frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{15}{10}$. Сравниваем $\frac{14}{10}$ и $\frac{15}{10}$. Так как $14 < 15$, то $\frac{14}{10} < \frac{15}{10}$. Ответ: $\frac{7}{5} < \frac{3}{2}$.

е) Сравним дроби $\frac{5}{6}$ и $\frac{5}{8}$. Общий знаменатель для 6 и 8 — это 24. Приведем дроби к знаменателю 24. Для $\frac{5}{6}$ дополнительный множитель $24 \div 6 = 4$, получаем $\frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{20}{24}$. Для $\frac{5}{8}$ дополнительный множитель $24 \div 8 = 3$, получаем $\frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24}$. Сравниваем $\frac{20}{24}$ и $\frac{15}{24}$. Так как $20 > 15$, то $\frac{20}{24} > \frac{15}{24}$. Ответ: $\frac{5}{6} > \frac{5}{8}$.

ж) Сравним дроби $\frac{3}{10}$ и $\frac{7}{12}$. Общий знаменатель для 10 и 12 — это 60. Приведем дроби к знаменателю 60. Для $\frac{3}{10}$ дополнительный множитель $60 \div 10 = 6$, получаем $\frac{3 \cdot 6}{10 \cdot 6} = \frac{18}{60}$. Для $\frac{7}{12}$ дополнительный множитель $60 \div 12 = 5$, получаем $\frac{7 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{35}{60}$. Сравниваем $\frac{18}{60}$ и $\frac{35}{60}$. Так как $18 < 35$, то $\frac{18}{60} < \frac{35}{60}$. Ответ: $\frac{3}{10} < \frac{7}{12}$.

з) Сравним дроби $\frac{2}{5}$ и $\frac{3}{8}$. Общий знаменатель для 5 и 8 — это 40. Приведем дроби к знаменателю 40. Для $\frac{2}{5}$ дополнительный множитель $40 \div 5 = 8$, получаем $\frac{2 \cdot 8}{5 \cdot 8} = \frac{16}{40}$. Для $\frac{3}{8}$ дополнительный множитель $40 \div 8 = 5$, получаем $\frac{3 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{15}{40}$. Сравниваем $\frac{16}{40}$ и $\frac{15}{40}$. Так как $16 > 15$, то $\frac{16}{40} > \frac{15}{40}$. Ответ: $\frac{2}{5} > \frac{3}{8}$.

и) Сравним дроби $\frac{25}{100}$ и $\frac{1}{4}$. Общий знаменатель для 100 и 4 — это 100. Приведем дробь $\frac{1}{4}$ к знаменателю 100. Дополнительный множитель равен $100 \div 4 = 25$. Получаем $\frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100}$. Теперь сравниваем $\frac{25}{100}$ и $\frac{25}{100}$. Так как $25 = 25$, то дроби равны. Ответ: $\frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.

705 a) Учебники составляют $\frac{3}{7}$ библиотечного фонда, а художественная ли-тература $\frac{2}{5}$. Каких книг в библиотеке больше: учебников или художе-ственной литературы?

б) На садовом участке $\frac{3}{10}$ всей площади занято огородом, а $\frac{4}{15}$ – садом. Что занимает большую площадь: сад или огород?

а) Чтобы определить, каких книг в библиотеке больше, необходимо сравнить дроби, обозначающие их долю в библиотечном фонде: $ \frac{3}{7} $ (учебники) и $ \frac{2}{5} $ (художественная литература). Для сравнения дробей их нужно привести к общему знаменателю.

Наименьшим общим знаменателем для дробей со знаменателями 7 и 5 будет их наименьшее общее кратное (НОК). Так как 7 и 5 — простые числа, НОК(7, 5) = $ 7 \times 5 = 35 $.

Приведем дробь $ \frac{3}{7} $ к знаменателю 35, умножив ее числитель и знаменатель на дополнительный множитель 5:

$ \frac{3}{7} = \frac{3 \times 5}{7 \times 5} = \frac{15}{35} $

Приведем дробь $ \frac{2}{5} $ к знаменателю 35, умножив ее числитель и знаменатель на дополнительный множитель 7:

$ \frac{2}{5} = \frac{2 \times 7}{5 \times 7} = \frac{14}{35} $

Теперь сравним полученные дроби $ \frac{15}{35} $ и $ \frac{14}{35} $. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.

Так как $ 15 > 14 $, то $ \frac{15}{35} > \frac{14}{35} $. Следовательно, $ \frac{3}{7} > \frac{2}{5} $.

Это означает, что доля учебников в библиотечном фонде больше, чем доля художественной литературы.

Ответ: учебников в библиотеке больше.

б) Чтобы определить, что занимает большую площадь, нужно сравнить дроби $ \frac{3}{10} $ (площадь огорода) и $ \frac{4}{15} $ (площадь сада). Для этого приведем дроби к общему знаменателю.

Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 10 и 15.

НОК(10, 15) = 30.

Приведем дробь $ \frac{3}{10} $ к знаменателю 30. Дополнительный множитель равен $ 30 \div 10 = 3 $.

$ \frac{3}{10} = \frac{3 \times 3}{10 \times 3} = \frac{9}{30} $

Приведем дробь $ \frac{4}{15} $ к знаменателю 30. Дополнительный множитель равен $ 30 \div 15 = 2 $.

$ \frac{4}{15} = \frac{4 \times 2}{15 \times 2} = \frac{8}{30} $

Теперь сравним полученные дроби $ \frac{9}{30} $ и $ \frac{8}{30} $.

Так как $ 9 > 8 $, то $ \frac{9}{30} > \frac{8}{30} $. Следовательно, $ \frac{3}{10} > \frac{4}{15} $.

Это означает, что площадь, занятая огородом, больше площади, занятой садом.

Ответ: огород занимает большую площадь.

РАССУЖДАЕМ (706–709)

706 Не приводя дроби к общему знаменателю, определите, какая из них меньше:

а) $ \frac{1}{2} $ или $ \frac{1}{3} $;

б) $ \frac{1}{5} $ или $ \frac{1}{4} $;

в) $ \frac{1}{7} $ или $ \frac{1}{4} $;

г) $ \frac{1}{11} $ или $ \frac{1}{12} $;

д) $ \frac{1}{8} $ или $ \frac{1}{7} $;

е) $ \frac{1}{5} $ или $ \frac{1}{12} $.

Чтобы определить, какая из дробей меньше, не приводя их к общему знаменателю, можно использовать следующее правило: из двух дробей с одинаковыми числителями меньше та, у которой знаменатель больше. Это правило справедливо, потому что чем на большее количество частей мы делим целое (числитель), тем меньше будет каждая часть.

Сравниваем дроби $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$. Числители у них одинаковые (равны 1). Сравним знаменатели: $3 > 2$. Так как знаменатель 3 больше, чем 2, то дробь $\frac{1}{3}$ будет меньше, чем дробь $\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

Сравниваем дроби $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{4}$. Числители равны 1. Сравниваем знаменатели: $5 > 4$. Поскольку знаменатель 5 больше знаменателя 4, дробь $\frac{1}{5}$ меньше, чем $\frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.

Сравниваем дроби $\frac{1}{7}$ и $\frac{1}{4}$. Числители обеих дробей равны 1. Знаменатель первой дроби — 7, второй — 4. Так как $7 > 4$, то дробь с большим знаменателем будет меньше. Следовательно, $\frac{1}{7} < \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{7}$.

Сравниваем дроби $\frac{1}{11}$ и $\frac{1}{12}$. Числители у них одинаковые. Сравниваем знаменатели: $12 > 11$. Дробь с большим знаменателем ($\frac{1}{12}$) будет меньше.

Ответ: $\frac{1}{12}$.

Сравниваем дроби $\frac{1}{8}$ и $\frac{1}{7}$. Числители равны 1. Сравниваем знаменатели: $8 > 7$. Так как знаменатель 8 больше, чем 7, то дробь $\frac{1}{8}$ меньше, чем $\frac{1}{7}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$.

Сравниваем дроби $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{12}$. Числители у них одинаковые (равны 1). Сравниваем знаменатели: $12 > 5$. Значит, дробь с большим знаменателем ($\frac{1}{12}$) будет меньше.

Ответ: $\frac{1}{12}$.

707 Определите, какая из дробей ближе к 1, и сравните их:

a) $ \frac{4}{5} $ или $ \frac{5}{6} $;

б) $ \frac{3}{4} $ или $ \frac{2}{3} $;

в) $ \frac{7}{8} $ или $ \frac{2}{3} $;

д) $ \frac{129}{130} $ или $ \frac{12}{13} $;

г) $ \frac{9}{10} $ или $ \frac{99}{100} $;

е) $ \frac{5}{6} $ или $ \frac{6}{7} $.

а) Чтобы определить, какая из дробей $ \frac{4}{5} $ или $ \frac{5}{6} $ ближе к 1, найдем расстояние от каждой дроби до 1. Это разность между 1 и каждой из дробей.
Расстояние для $ \frac{4}{5} $: $ 1 - \frac{4}{5} = \frac{5}{5} - \frac{4}{5} = \frac{1}{5} $.
Расстояние для $ \frac{5}{6} $: $ 1 - \frac{5}{6} = \frac{6}{6} - \frac{5}{6} = \frac{1}{6} $.
Теперь сравним полученные расстояния: $ \frac{1}{5} $ и $ \frac{1}{6} $. Из двух дробей с одинаковыми числителями та меньше, у которой знаменатель больше. Так как $ 6 > 5 $, то $ \frac{1}{6} < \frac{1}{5} $. Следовательно, дробь $ \frac{5}{6} $ находится ближе к 1.
Далее сравним сами дроби $ \frac{4}{5} $ и $ \frac{5}{6} $. Приведем их к общему знаменателю $ 5 \times 6 = 30 $:
$ \frac{4}{5} = \frac{4 \times 6}{5 \times 6} = \frac{24}{30} $
$ \frac{5}{6} = \frac{5 \times 5}{6 \times 5} = \frac{25}{30} $
Поскольку $ 24 < 25 $, то $ \frac{24}{30} < \frac{25}{30} $, значит $ \frac{4}{5} < \frac{5}{6} $.
Ответ: дробь $ \frac{5}{6} $ ближе к 1; $ \frac{4}{5} < \frac{5}{6} $.

б) Сравним дроби $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{2}{3} $.
Найдем расстояние до 1 для каждой дроби:
Для $ \frac{3}{4} $: $ 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} $.
Для $ \frac{2}{3} $: $ 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} $.
Сравним расстояния $ \frac{1}{4} $ и $ \frac{1}{3} $. Так как $ 4 > 3 $, то $ \frac{1}{4} < \frac{1}{3} $. Значит, дробь $ \frac{3}{4} $ ближе к 1.
Теперь сравним сами дроби, приведя их к общему знаменателю 12:
$ \frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12} $
$ \frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12} $
Так как $ 9 > 8 $, то $ \frac{9}{12} > \frac{8}{12} $, следовательно, $ \frac{3}{4} > \frac{2}{3} $.
Ответ: дробь $ \frac{3}{4} $ ближе к 1; $ \frac{3}{4} > \frac{2}{3} $.

в) Сравним дроби $ \frac{7}{8} $ и $ \frac{2}{3} $.
Найдем расстояние до 1 для каждой дроби:
Для $ \frac{7}{8} $: $ 1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8} $.
Для $ \frac{2}{3} $: $ 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} $.
Сравним расстояния $ \frac{1}{8} $ и $ \frac{1}{3} $. Так как $ 8 > 3 $, то $ \frac{1}{8} < \frac{1}{3} $. Значит, дробь $ \frac{7}{8} $ ближе к 1.
Сравним сами дроби, приведя их к общему знаменателю 24:
$ \frac{7}{8} = \frac{7 \times 3}{8 \times 3} = \frac{21}{24} $
$ \frac{2}{3} = \frac{2 \times 8}{3 \times 8} = \frac{16}{24} $
Так как $ 21 > 16 $, то $ \frac{21}{24} > \frac{16}{24} $, следовательно, $ \frac{7}{8} > \frac{2}{3} $.
Ответ: дробь $ \frac{7}{8} $ ближе к 1; $ \frac{7}{8} > \frac{2}{3} $.

г) Сравним дроби $ \frac{9}{10} $ и $ \frac{99}{100} $.
Найдем расстояние до 1 для каждой дроби:
Для $ \frac{9}{10} $: $ 1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10} $.
Для $ \frac{99}{100} $: $ 1 - \frac{99}{100} = \frac{1}{100} $.
Сравним расстояния $ \frac{1}{10} $ и $ \frac{1}{100} $. Так как $ 100 > 10 $, то $ \frac{1}{100} < \frac{1}{10} $. Значит, дробь $ \frac{99}{100} $ ближе к 1.
Сравним сами дроби, приведя их к общему знаменателю 100:
$ \frac{9}{10} = \frac{9 \times 10}{10 \times 10} = \frac{90}{100} $
Так как $ 90 < 99 $, то $ \frac{90}{100} < \frac{99}{100} $, следовательно, $ \frac{9}{10} < \frac{99}{100} $.
Ответ: дробь $ \frac{99}{100} $ ближе к 1; $ \frac{9}{10} < \frac{99}{100} $.

д) Сравним дроби $ \frac{129}{130} $ и $ \frac{12}{13} $.
Найдем расстояние до 1 для каждой дроби:
Для $ \frac{129}{130} $: $ 1 - \frac{129}{130} = \frac{1}{130} $.
Для $ \frac{12}{13} $: $ 1 - \frac{12}{13} = \frac{1}{13} $.
Сравним расстояния $ \frac{1}{130} $ и $ \frac{1}{13} $. Так как $ 130 > 13 $, то $ \frac{1}{130} < \frac{1}{13} $. Значит, дробь $ \frac{129}{130} $ ближе к 1.
Сравним сами дроби, приведя их к общему знаменателю 130:
$ \frac{12}{13} = \frac{12 \times 10}{13 \times 10} = \frac{120}{130} $
Так как $ 129 > 120 $, то $ \frac{129}{130} > \frac{120}{130} $, следовательно, $ \frac{129}{130} > \frac{12}{13} $.
Ответ: дробь $ \frac{129}{130} $ ближе к 1; $ \frac{129}{130} > \frac{12}{13} $.

е) Сравним дроби $ \frac{5}{6} $ и $ \frac{6}{7} $.
Найдем расстояние до 1 для каждой дроби:
Для $ \frac{5}{6} $: $ 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6} $.
Для $ \frac{6}{7} $: $ 1 - \frac{6}{7} = \frac{1}{7} $.
Сравним расстояния $ \frac{1}{6} $ и $ \frac{1}{7} $. Так как $ 7 > 6 $, то $ \frac{1}{7} < \frac{1}{6} $. Значит, дробь $ \frac{6}{7} $ ближе к 1.
Сравним сами дроби, приведя их к общему знаменателю 42:
$ \frac{5}{6} = \frac{5 \times 7}{6 \times 7} = \frac{35}{42} $
$ \frac{6}{7} = \frac{6 \times 6}{7 \times 6} = \frac{36}{42} $
Так как $ 35 < 36 $, то $ \frac{35}{42} < \frac{36}{42} $, следовательно, $ \frac{5}{6} < \frac{6}{7} $.
Ответ: дробь $ \frac{6}{7} $ ближе к 1; $ \frac{5}{6} < \frac{6}{7} $.