Номер 707, страница 182 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

8.5. Сравнение дробей. Глава 8. Дроби - номер 707, страница 182.

707 Определите, какая из дробей ближе к 1, и сравните их:

a) $ \frac{4}{5} $ или $ \frac{5}{6} $;

б) $ \frac{3}{4} $ или $ \frac{2}{3} $;

в) $ \frac{7}{8} $ или $ \frac{2}{3} $;

д) $ \frac{129}{130} $ или $ \frac{12}{13} $;

г) $ \frac{9}{10} $ или $ \frac{99}{100} $;

е) $ \frac{5}{6} $ или $ \frac{6}{7} $.

а) Чтобы определить, какая из дробей $ \frac{4}{5} $ или $ \frac{5}{6} $ ближе к 1, найдем расстояние от каждой дроби до 1. Это разность между 1 и каждой из дробей.
Расстояние для $ \frac{4}{5} $: $ 1 - \frac{4}{5} = \frac{5}{5} - \frac{4}{5} = \frac{1}{5} $.
Расстояние для $ \frac{5}{6} $: $ 1 - \frac{5}{6} = \frac{6}{6} - \frac{5}{6} = \frac{1}{6} $.
Теперь сравним полученные расстояния: $ \frac{1}{5} $ и $ \frac{1}{6} $. Из двух дробей с одинаковыми числителями та меньше, у которой знаменатель больше. Так как $ 6 > 5 $, то $ \frac{1}{6} < \frac{1}{5} $. Следовательно, дробь $ \frac{5}{6} $ находится ближе к 1.
Далее сравним сами дроби $ \frac{4}{5} $ и $ \frac{5}{6} $. Приведем их к общему знаменателю $ 5 \times 6 = 30 $:
$ \frac{4}{5} = \frac{4 \times 6}{5 \times 6} = \frac{24}{30} $
$ \frac{5}{6} = \frac{5 \times 5}{6 \times 5} = \frac{25}{30} $
Поскольку $ 24 < 25 $, то $ \frac{24}{30} < \frac{25}{30} $, значит $ \frac{4}{5} < \frac{5}{6} $.
Ответ: дробь $ \frac{5}{6} $ ближе к 1; $ \frac{4}{5} < \frac{5}{6} $.

б) Сравним дроби $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{2}{3} $.
Найдем расстояние до 1 для каждой дроби:
Для $ \frac{3}{4} $: $ 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} $.
Для $ \frac{2}{3} $: $ 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} $.
Сравним расстояния $ \frac{1}{4} $ и $ \frac{1}{3} $. Так как $ 4 > 3 $, то $ \frac{1}{4} < \frac{1}{3} $. Значит, дробь $ \frac{3}{4} $ ближе к 1.
Теперь сравним сами дроби, приведя их к общему знаменателю 12:
$ \frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12} $
$ \frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12} $
Так как $ 9 > 8 $, то $ \frac{9}{12} > \frac{8}{12} $, следовательно, $ \frac{3}{4} > \frac{2}{3} $.
Ответ: дробь $ \frac{3}{4} $ ближе к 1; $ \frac{3}{4} > \frac{2}{3} $.

в) Сравним дроби $ \frac{7}{8} $ и $ \frac{2}{3} $.
Найдем расстояние до 1 для каждой дроби:
Для $ \frac{7}{8} $: $ 1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8} $.
Для $ \frac{2}{3} $: $ 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} $.
Сравним расстояния $ \frac{1}{8} $ и $ \frac{1}{3} $. Так как $ 8 > 3 $, то $ \frac{1}{8} < \frac{1}{3} $. Значит, дробь $ \frac{7}{8} $ ближе к 1.
Сравним сами дроби, приведя их к общему знаменателю 24:
$ \frac{7}{8} = \frac{7 \times 3}{8 \times 3} = \frac{21}{24} $
$ \frac{2}{3} = \frac{2 \times 8}{3 \times 8} = \frac{16}{24} $
Так как $ 21 > 16 $, то $ \frac{21}{24} > \frac{16}{24} $, следовательно, $ \frac{7}{8} > \frac{2}{3} $.
Ответ: дробь $ \frac{7}{8} $ ближе к 1; $ \frac{7}{8} > \frac{2}{3} $.

г) Сравним дроби $ \frac{9}{10} $ и $ \frac{99}{100} $.
Найдем расстояние до 1 для каждой дроби:
Для $ \frac{9}{10} $: $ 1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10} $.
Для $ \frac{99}{100} $: $ 1 - \frac{99}{100} = \frac{1}{100} $.
Сравним расстояния $ \frac{1}{10} $ и $ \frac{1}{100} $. Так как $ 100 > 10 $, то $ \frac{1}{100} < \frac{1}{10} $. Значит, дробь $ \frac{99}{100} $ ближе к 1.
Сравним сами дроби, приведя их к общему знаменателю 100:
$ \frac{9}{10} = \frac{9 \times 10}{10 \times 10} = \frac{90}{100} $
Так как $ 90 < 99 $, то $ \frac{90}{100} < \frac{99}{100} $, следовательно, $ \frac{9}{10} < \frac{99}{100} $.
Ответ: дробь $ \frac{99}{100} $ ближе к 1; $ \frac{9}{10} < \frac{99}{100} $.

д) Сравним дроби $ \frac{129}{130} $ и $ \frac{12}{13} $.
Найдем расстояние до 1 для каждой дроби:
Для $ \frac{129}{130} $: $ 1 - \frac{129}{130} = \frac{1}{130} $.
Для $ \frac{12}{13} $: $ 1 - \frac{12}{13} = \frac{1}{13} $.
Сравним расстояния $ \frac{1}{130} $ и $ \frac{1}{13} $. Так как $ 130 > 13 $, то $ \frac{1}{130} < \frac{1}{13} $. Значит, дробь $ \frac{129}{130} $ ближе к 1.
Сравним сами дроби, приведя их к общему знаменателю 130:
$ \frac{12}{13} = \frac{12 \times 10}{13 \times 10} = \frac{120}{130} $
Так как $ 129 > 120 $, то $ \frac{129}{130} > \frac{120}{130} $, следовательно, $ \frac{129}{130} > \frac{12}{13} $.
Ответ: дробь $ \frac{129}{130} $ ближе к 1; $ \frac{129}{130} > \frac{12}{13} $.

е) Сравним дроби $ \frac{5}{6} $ и $ \frac{6}{7} $.
Найдем расстояние до 1 для каждой дроби:
Для $ \frac{5}{6} $: $ 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6} $.
Для $ \frac{6}{7} $: $ 1 - \frac{6}{7} = \frac{1}{7} $.
Сравним расстояния $ \frac{1}{6} $ и $ \frac{1}{7} $. Так как $ 7 > 6 $, то $ \frac{1}{7} < \frac{1}{6} $. Значит, дробь $ \frac{6}{7} $ ближе к 1.
Сравним сами дроби, приведя их к общему знаменателю 42:
$ \frac{5}{6} = \frac{5 \times 7}{6 \times 7} = \frac{35}{42} $
$ \frac{6}{7} = \frac{6 \times 6}{7 \times 6} = \frac{36}{42} $
Так как $ 35 < 36 $, то $ \frac{35}{42} < \frac{36}{42} $, следовательно, $ \frac{5}{6} < \frac{6}{7} $.
Ответ: дробь $ \frac{6}{7} $ ближе к 1; $ \frac{5}{6} < \frac{6}{7} $.