Страница 176 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

a) $A$

$\frac{3}{4}$ $1$

б) $A$

$\frac{1}{3}$ $\frac{2}{3}$

в) $A$

$\frac{1}{9}$ $\frac{2}{9}$

Рис. 8.28

685 РАССУЖДАЕМ Определите координату точки $A$ (рис. 8.28, а—в).

Чтобы определить координату точки А, необходимо сначала найти цену одного деления (единичного отрезка) на координатной прямой для каждого случая.

а)

На координатной прямой отмечены точки с координатами $\frac{3}{4}$ и $1$. Найдем расстояние между этими точками: $1 - \frac{3}{4} = \frac{4}{4} - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.

Это расстояние на прямой разделено на 2 одинаковых деления. Значит, длина одного деления составляет: $\frac{1}{4} \div 2 = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.

Точка А находится на 1 деление правее точки с координатой $\frac{3}{4}$. Чтобы найти ее координату, прибавим к $\frac{3}{4}$ длину одного деления:

$\frac{3}{4} + \frac{1}{8} = \frac{3 \times 2}{4 \times 2} + \frac{1}{8} = \frac{6}{8} + \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.

Ответ: $\frac{7}{8}$

б)

На координатной прямой отмечены точки с координатами $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{3}$. Найдем расстояние между этими точками: $\frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$.

Это расстояние на прямой разделено на 3 одинаковых деления. Значит, длина одного деления составляет: $\frac{1}{3} \div 3 = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$.

Точка А находится на 1 деление правее точки с координатой $\frac{1}{3}$. Чтобы найти ее координату, прибавим к $\frac{1}{3}$ длину одного деления:

$\frac{1}{3} + \frac{1}{9} = \frac{1 \times 3}{3 \times 3} + \frac{1}{9} = \frac{3}{9} + \frac{1}{9} = \frac{4}{9}$.

Ответ: $\frac{4}{9}$

в)

На координатной прямой отмечены точки с координатами $\frac{1}{9}$ и $\frac{2}{9}$. Найдем расстояние между этими точками: $\frac{2}{9} - \frac{1}{9} = \frac{1}{9}$.

Это расстояние на прямой разделено на 2 одинаковых деления. Значит, длина одного деления составляет: $\frac{1}{9} \div 2 = \frac{1}{9} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{18}$.

Точка А находится на 1 деление правее точки с координатой $\frac{1}{9}$. Чтобы найти ее координату, прибавим к $\frac{1}{9}$ длину одного деления:

$\frac{1}{9} + \frac{1}{18} = \frac{1 \times 2}{9 \times 2} + \frac{1}{18} = \frac{2}{18} + \frac{1}{18} = \frac{3}{18}$.

Сократим полученную дробь: $\frac{3 \div 3}{18 \div 3} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$

686 Найдите сумму:

а) $1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2$,

б) $1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3$.

а) Чтобы найти сумму, необходимо сначала возвести каждое число в квадрат, а затем сложить полученные результаты.

1. Вычислим квадрат каждого слагаемого:

$1^2 = 1 \cdot 1 = 1$

$2^2 = 2 \cdot 2 = 4$

$3^2 = 3 \cdot 3 = 9$

$4^2 = 4 \cdot 4 = 16$

$5^2 = 5 \cdot 5 = 25$

2. Сложим полученные значения:

$1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55$

Промежуточные расчеты:

$1 + 4 = 5$

$5 + 9 = 14$

$14 + 16 = 30$

$30 + 25 = 55$

Ответ: 55

б) Чтобы найти сумму, необходимо сначала возвести каждое число в куб, а затем сложить полученные результаты.

1. Вычислим куб каждого слагаемого:

$1^3 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$

$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$

$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$

$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$

2. Сложим полученные значения:

$1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 = 1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 225$

Промежуточные расчеты:

$1 + 8 = 9$

$9 + 27 = 36$

$36 + 64 = 100$

$100 + 125 = 225$

Ответ: 225

687 а) Над выполнением задания токарь работал 3 ч, а потом его ученик – 2 ч. Всего они выточили 108 деталей. Токарь вытачивал в час 26 деталей. Сколько деталей в час вытачивал ученик?

б) Два мастера работают на фабрике ёлочных украшений. Один из них работал 12 дней по 7 ч, другой – 10 дней по 8 ч, и вместе они расписали 2880 ёлочных шаров. Сколько шаров в час расписывал первый мастер, если второй расписывал 15 шаров в час?

а)

1. Сначала найдем, сколько всего деталей выточил токарь. Известно, что он работал 3 часа с производительностью 26 деталей в час. Умножим время на производительность:

$3 \text{ ч} \times 26 \text{ деталей/час} = 78 \text{ деталей}$

2. Теперь найдем, сколько деталей выточил ученик. Всего было изготовлено 108 деталей. Вычтем из общего количества детали, которые сделал токарь:

$108 \text{ деталей} - 78 \text{ деталей} = 30 \text{ деталей}$

3. Ученик работал 2 часа и выточил 30 деталей. Чтобы найти его производительность (количество деталей в час), разделим количество деталей на время работы:

$30 \text{ деталей} \div 2 \text{ ч} = 15 \text{ деталей/час}$

Ответ: ученик вытачивал 15 деталей в час.

б)

1. Найдем общее количество часов, которое отработал второй мастер. Он работал 10 дней по 8 часов в день:

$10 \text{ дней} \times 8 \text{ ч/день} = 80 \text{ часов}$

2. Зная, что второй мастер расписывал 15 шаров в час, найдем общее количество расписанных им шаров:

$80 \text{ ч} \times 15 \text{ шаров/час} = 1200 \text{ шаров}$

3. Найдем, сколько шаров расписал первый мастер. Для этого из общего количества шаров (2880) вычтем количество шаров, расписанных вторым мастером:

$2880 \text{ шаров} - 1200 \text{ шаров} = 1680 \text{ шаров}$

4. Теперь найдем общее количество часов, которое отработал первый мастер. Он работал 12 дней по 7 часов в день:

$12 \text{ дней} \times 7 \text{ ч/день} = 84 \text{ часа}$

5. Чтобы найти, сколько шаров в час расписывал первый мастер, разделим количество расписанных им шаров (1680) на время его работы (84 часа):

$1680 \text{ шаров} \div 84 \text{ ч} = 20 \text{ шаров/час}$

Ответ: первый мастер расписывал 20 шаров в час.

688 a) Начертите треугольник, один из углов которого прямой. Измерьте и запишите длины сторон треугольника. Что больше: самая большая сторона треугольника или сумма двух других его сторон?

Найдите периметр треугольника.

б) Начертите треугольник, один из углов которого тупой, и выполните те же задания, что и в пункте «а».

а)

Начертим прямоугольный треугольник. Пусть его стороны, образующие прямой угол (катеты), равны 3 см и 4 см. Тогда третья, самая большая сторона (гипотенуза), будет равна 5 см.
Итак, длины сторон: 3 см, 4 см, 5 см.

Сравним самую большую сторону с суммой двух других сторон.
Самая большая сторона: 5 см.
Сумма двух других сторон: 3 см + 4 см = 7 см.
Поскольку $ 5 < 7 $, сумма двух других сторон больше, чем самая большая сторона.

Найдем периметр треугольника (P), который равен сумме длин всех его сторон.
$ P = 3 + 4 + 5 = 12 $ см.
Ответ: Длины сторон: 3 см, 4 см, 5 см. Сумма двух меньших сторон больше самой большой стороны. Периметр равен 12 см.

б)

Начертим тупоугольный треугольник. Сторона, лежащая напротив тупого угла, всегда является самой длинной. Возьмем для примера треугольник со сторонами 5 см, 7 см и 10 см.
Длины сторон: 5 см, 7 см, 10 см.

Сравним самую большую сторону с суммой двух других сторон.
Самая большая сторона: 10 см.
Сумма двух других сторон: 5 см + 7 см = 12 см.
Поскольку $ 10 < 12 $, сумма двух других сторон больше, чем самая большая сторона. Это свойство (неравенство треугольника) выполняется для любого треугольника.

Найдем периметр треугольника.
$ P = 5 + 7 + 10 = 22 $ см.
Ответ: Пример длин сторон: 5 см, 7 см, 10 см. Сумма двух меньших сторон больше самой большой стороны. Периметр равен 22 см.

689 РАССУЖДАЕМ На рисунке 8.29 угол $COD$ прямой, а $\angle AOC = \angle BOD$. Найдите величину угла $\angle AOC$ и угла $\angle COB$.

Рис. 8.29

Исходя из рисунка, угол $∠AOB$ является развернутым, так как лучи $OA$ и $OB$ являются дополнительными (лежат на одной прямой). Величина развернутого угла равна $180°$.

Развернутый угол $∠AOB$ состоит из суммы трех углов: $∠AOC$, $∠COD$ и $∠BOD$.

$∠AOB = ∠AOC + ∠COD + ∠BOD$

Согласно условию задачи, угол $∠COD$ — прямой, что означает $∠COD = 90°$. Также дано, что $∠AOC = ∠BOD$.

Найти величину угла AOC

Обозначим величину равных углов $∠AOC$ и $∠BOD$ через $x$. Теперь подставим все известные значения в формулу для развернутого угла:

$180° = x + 90° + x$

Упростим уравнение:

$180° = 2x + 90°$

Вычтем $90°$ из обеих частей уравнения:

$180° - 90° = 2x$

$90° = 2x$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{90°}{2} = 45°$

Таким образом, величина угла $∠AOC$ равна $45°$.

Ответ: $∠AOC = 45°$.

Найти величину угла COB

Угол $∠COB$ состоит из двух углов: $∠COD$ и $∠BOD$. Чтобы найти его величину, нужно сложить величины этих углов:

$∠COB = ∠COD + ∠BOD$

Мы знаем, что $∠COD = 90°$. Из предыдущего пункта мы нашли, что $∠BOD = x = 45°$.

$∠COB = 90° + 45° = 135°$

Другой способ найти $∠COB$ — использовать свойство смежных углов. Углы $∠AOC$ и $∠COB$ являются смежными, так как вместе образуют развернутый угол $∠AOB$. Их сумма равна $180°$.

$∠AOC + ∠COB = 180°$

$45° + ∠COB = 180°$

$∠COB = 180° - 45° = 135°$

Ответ: $∠COB = 135°$.