Номер 742, страница 189 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

8.6 Натуральные числа и дроби. Глава 8. Дроби - номер 742, страница 189.

742 a) Для покраски пола можно выбрать один из двух видов краски. Расход одной краски составляет $2 \text{ кг на } 5 \text{ м}^2$, а другой — $3 \text{ кг на } 8 \text{ м}^2$. Какую из этих двух красок выгоднее использовать?

б) Коля за 2 с делает 3 шага, а Борис за 3 с — 5 шагов. Кто из них идёт с большей скоростью? (Длина шага у мальчиков одинакова.)

в) Таня и Алёша запечатывают конверты. Таня заклеивает 10 конвертов за 8 мин, а Алёша — 6 конвертов за 4 мин. Кто из них работает быстрее?

а)

Чтобы определить, какую краску выгоднее использовать, необходимо сравнить их расход на одинаковую площадь, например, на 1 квадратный метр. Краска, которой требуется меньше на 1 м², будет выгоднее.

1. Найдем расход первой краски на 1 м²:
Расход составляет 2 кг на 5 м². Следовательно, на 1 м² уходит $2 \div 5 = \frac{2}{5}$ кг краски.

2. Найдем расход второй краски на 1 м²:
Расход составляет 3 кг на 8 м². Следовательно, на 1 м² уходит $3 \div 8 = \frac{3}{8}$ кг краски.

3. Теперь сравним полученные дроби $\frac{2}{5}$ и $\frac{3}{8}$. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 5 и 8 — это 40.
Для первой краски: $\frac{2}{5} = \frac{2 \times 8}{5 \times 8} = \frac{16}{40}$ кг/м².
Для второй краски: $\frac{3}{8} = \frac{3 \times 5}{8 \times 5} = \frac{15}{40}$ кг/м².

Сравниваем числители: $15 < 16$, значит, $\frac{15}{40} < \frac{16}{40}$.
Это означает, что расход второй краски на 1 м² меньше, чем расход первой.

Ответ: Выгоднее использовать вторую краску.

б)

Чтобы определить, кто из мальчиков идёт с большей скоростью, нужно сравнить количество шагов, которое каждый из них делает за одинаковый промежуток времени, например, за 1 секунду. Тот, кто делает больше шагов в секунду, идёт быстрее.

1. Найдем скорость Коли в шагах в секунду:
Коля делает 3 шага за 2 секунды. Его скорость равна $3 \div 2 = \frac{3}{2}$ шага/с.

2. Найдем скорость Бориса в шагах в секунду:
Борис делает 5 шагов за 3 секунды. Его скорость равна $5 \div 3 = \frac{5}{3}$ шага/с.

3. Сравним полученные скорости, то есть дроби $\frac{3}{2}$ и $\frac{5}{3}$. Приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2 и 3 — это 6.
Скорость Коли: $\frac{3}{2} = \frac{3 \times 3}{2 \times 3} = \frac{9}{6}$ шага/с.
Скорость Бориса: $\frac{5}{3} = \frac{5 \times 2}{3 \times 2} = \frac{10}{6}$ шага/с.

Сравниваем числители: $10 > 9$, значит, $\frac{10}{6} > \frac{9}{6}$.
Это означает, что скорость Бориса больше, чем скорость Коли.

Ответ: Борис идёт с большей скоростью.

в)

Чтобы выяснить, кто работает быстрее, нужно сравнить их производительность — количество конвертов, которые они запечатывают за одинаковое время (например, за 1 минуту).

1. Найдем производительность Тани (конвертов в минуту):
Таня заклеивает 10 конвертов за 8 минут. Её производительность: $10 \div 8 = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$ конверта/мин.

2. Найдем производительность Алёши (конвертов в минуту):
Алёша заклеивает 6 конвертов за 4 минуты. Его производительность: $6 \div 4 = \frac{6}{4}$ конверта/мин.

3. Сравним их производительность, то есть дроби $\frac{5}{4}$ и $\frac{6}{4}$. Так как знаменатели у дробей одинаковые, достаточно сравнить их числители.
$6 > 5$, следовательно, $\frac{6}{4} > \frac{5}{4}$.
Это означает, что производительность Алёши выше, чем у Тани.

Можно решить задачу и другим способом: приведем время работы к общему значению. Узнаем, сколько конвертов запечатает Алёша за 8 минут.
За 4 минуты Алёша запечатывает 6 конвертов. Значит, за 8 минут (время в 2 раза больше) он запечатает в 2 раза больше конвертов: $6 \times 2 = 12$ конвертов.
Сравним: за 8 минут Таня запечатывает 10 конвертов, а Алёша — 12. Так как $12 > 10$, Алёша работает быстрее.

Ответ: Алёша работает быстрее.