Страница 236 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Рис. 10.8

Рис. 10.9

927 ИЩЕМ СПОСОБ КОПИРОВАНИЯ Перерисуйте в тетрадь многогранник (рис. 10.8, а, б). Закрасьте его видимые грани, используя для каждой грани свой цвет. Найдите такой многогранник на рисунке 10.2.

а) Многогранник на рисунке 10.8 а) представляет собой призму, у которой сверху сделан V-образный вырез. С данного ракурса у этого многогранника видны три грани: передняя грань (имеющая форму невыпуклого пятиугольника), левая наклонная грань внутри выреза и правая наклонная грань внутри выреза. Согласно заданию, эти три видимые грани следует закрасить тремя разными цветами (например, синим, зеленым и желтым). На рисунке 10.9, который составлен из кубиков, многогранника такой формы нет.

Ответ: У многогранника а) видны три грани, которые нужно закрасить тремя разными цветами. Такой фигуры нет на рисунке 10.9.

б) Многогранник на рисунке 10.8 б) – это пирамида. Судя по пунктирным линиям, в основании лежит треугольник, следовательно, это треугольная пирамида. С показанного ракурса видны две грани: передняя треугольная грань и правая боковая треугольная грань. Эти две видимые грани нужно закрасить двумя разными цветами (например, красным и оранжевым). Фигура, изображенная на рисунке 10.9, состоит из кубиков и имеет общую форму ступенчатой пирамиды. Таким образом, можно заключить, что многогранник с рисунка 10.8 б) представлен на рисунке 10.9 в виде своей "кубической" аппроксимации.

Ответ: У многогранника б) видны две грани, которые нужно закрасить двумя разными цветами. Этот многогранник в виде ступенчатой фигуры изображен на рисунке 10.9.

928 Ищем способ подсчёта Сколько нужно кубиков, чтобы сложить многогранник, изображённый на рисунке 10.9? Составьте числовое выражение.

Рис. 10.9

Чтобы определить, сколько кубиков необходимо для сборки многогранника, можно посчитать количество кубиков в каждом его горизонтальном слое и затем сложить эти значения.

Фигура состоит из трёх слоев. Посчитаем кубики в каждом из них:

В самом нижнем слое (основании) уложены кубики в форме прямоугольника размером 5 на 4. Количество кубиков в этом слое составляет $5 \times 4 = 20$.

Над ним расположен средний слой в форме квадрата размером 3 на 3 кубика. Количество кубиков в этом слое составляет $3 \times 3 = 9$.

На вершине фигуры находится верхний слой, состоящий из 1 кубика.

Для нахождения общего количества кубиков составим числовое выражение, сложив количество кубиков во всех слоях:

$5 \times 4 + 3 \times 3 + 1$

Теперь вычислим значение этого выражения:

$20 + 9 + 1 = 30$

Ответ: Чтобы сложить многогранник, нужно 30 кубиков. Числовое выражение: $5 \times 4 + 3 \times 3 + 1$.

929 НАБЛЮДАЕМ И РАССУЖДАЕМ

От куба отрезали угол (рис. 10.10).

1) Сколько граней у получившегося многогранника? Какую форму они имеют? Сколько у него вершин? Сколько рёбер? Сколько граней на этом рисунке не видно? А вершин?

2) Как вы думаете, сколько граней будет у этого многогранника, если отрезать ещё один угол?

3) Начертите пятиугольную грань, если известно, что ребро куба равно $4$ см, а разрез проходит через середины рёбер куба.

Рис. 10.10

1)У получившегося многогранника 7 граней. Изначально у куба 6 граней. Когда отрезали угол, три грани, сходившиеся в этом углу, изменили свою форму, но не исчезли. При этом образовалась одна новая грань на месте среза. Таким образом, общее количество граней стало $6 + 1 = 7$.
Формы граней:

• 3 грани, которые не были затронуты разрезом, остались квадратами.
• 3 грани, у которых отрезали угол, превратились в пятиугольники.
• 1 новая грань, появившаяся в результате среза, имеет форму треугольника.

У многогранника 10 вершин. У куба было 8 вершин. Одну вершину удалили, но срез создал 3 новые вершины на рёбрах. Итого: $8 - 1 + 3 = 10$ вершин.
У многогранника 15 рёбер. У куба было 12 рёбер. Срез добавил 3 новых ребра, образующих треугольную грань. Итого: $12 + 3 = 15$ рёбер.
На рисунке не видно 3 грани (заднюю, левую и нижнюю, которые остались квадратами).
Также не видно 3 вершины (те, что находятся сзади и снизу).

Ответ: У многогранника 7 граней (3 квадрата, 3 пятиугольника, 1 треугольник), 10 вершин и 15 рёбер. На рисунке не видно 3 грани и 3 вершины.

2)Каждый разрез угла многогранника добавляет одну новую грань. Исходный многогранник в задаче уже имеет 7 граней (после первого разреза). Если отрезать ещё один угол, количество граней увеличится ещё на одну.
$7 + 1 = 8$ граней.

Ответ: 8 граней.

3)Пятиугольная грань — это одна из граней куба, у которой отрезали угол. Изначально это был квадрат со стороной 4 см. Разрез проходит через середины двух смежных рёбер этого квадрата.
Таким образом, от квадрата отсекается маленький прямоугольный равнобедренный треугольник с катетами, равными половине ребра куба: $4 / 2 = 2$ см.
В результате пятиугольная грань имеет:

• Две стороны, оставшиеся от квадрата, длиной по 4 см.
• Две стороны, являющиеся частями разрезанных рёбер, длиной по 2 см.
• Одну новую сторону на месте среза. Её длина вычисляется по теореме Пифагора как гипотенуза отсечённого треугольника: $c = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см (приблизительно 2,83 см).

Углы этого пятиугольника: три угла по $90^\circ$ (сохранённые углы квадрата) и два угла по $135^\circ$ (образованные на месте среза).
Ниже представлен чертёж этой грани с указанием размеров и углов.

Ответ: Пятиугольная грань имеет две стороны по 4 см, две стороны по 2 см и одну сторону длиной $2\sqrt{2}$ см. Три её угла равны $90^\circ$ и два угла равны $135^\circ$. Чертёж представлен выше.

930 Перерисуйте многогранники, изображённые на рисунке 10.8, так, чтобы видимые грани стали невидимыми, а невидимые — видимыми.

a) б) Рис. 10.8

Чтобы перерисовать многогранники так, чтобы видимые грани стали невидимыми, а невидимые — видимыми, необходимо поменять тип линий, из которых состоят их рёбра. Сплошные линии, обозначающие видимые рёбра, нужно заменить на пунктирные (невидимые рёбра), а пунктирные — на сплошные.

Для многогранника на рисунке а) необходимо выполнить следующие действия:

• Все сплошные линии, образующие внешний контур фигуры, а также внутренние рёбра, сделать пунктирными.
• Единственную пунктирную линию, которая является невидимым ребром, сделать сплошной.

В результате получится изображение многогранника, как если бы мы смотрели на него с противоположной стороны (сзади). Результат показан на рисунке ниже.

Ответ: Перерисованный многогранник, у которого все исходно сплошные линии стали пунктирными, а исходно пунктирная линия стала сплошной, как показано на рисунке выше.

Для треугольной пирамиды на рисунке б) необходимо выполнить следующие действия:

• Три сплошные линии, образующие видимый контур (два боковых ребра, идущих к вершине, и переднее ребро основания), сделать пунктирными.
• Три пунктирные линии (заднее боковое ребро и два задних ребра основания) сделать сплошными.

В результате получится изображение пирамиды, как если бы мы смотрели на неё сзади. Результат показан на рисунке ниже.

Ответ: Перерисованная пирамида, у которой все исходно сплошные линии стали пунктирными, а исходно пунктирные линии стали сплошными, как показано на рисунке выше.

931 ЭКСПЕРИМЕНТИРУЕМ Как пройти по всем рёбрам многогранника (рис. 10.11), проходя каждое ребро только один раз? Выпишите последовательность вершин.

Подсказка. Воспользуйтесь моделью многогранника.

Рис. 10.11

Чтобы найти путь, который проходит по всем рёбрам многогранника ровно один раз, необходимо рассмотреть этот многогранник как граф. Вершины многогранника будут вершинами графа, а его рёбра — рёбрами графа. Такой путь в теории графов называется эйлеровым путём.

Эйлеров путь существует в связном графе тогда и только тогда, когда в нём не более двух вершин нечётной степени. Степень вершины — это количество рёбер, которые из неё выходят.

Определим степени вершин данного многогранника (треугольной бипирамиды):

• Вершина A соединена с вершинами B, D, E. Степень вершины A равна 3 (нечётная).
• Вершина B соединена с вершинами A, C, D, E. Степень вершины B равна 4 (чётная).
• Вершина C соединена с вершинами B, D, E. Степень вершины C равна 3 (нечётная).
• Вершина D соединена с вершинами A, B, C, E. Степень вершины D равна 4 (чётная).
• Вершина E соединена с вершинами A, B, C, D. Степень вершины E равна 4 (чётная).

В графе этого многогранника есть ровно две вершины с нечётной степенью: A ($deg(A)=3$) и C ($deg(C)=3$). Это означает, что эйлеров путь существует. Такой путь должен начинаться в одной из этих вершин (A или C) и заканчиваться в другой.

Приведём один из возможных вариантов такого пути. Начнём в вершине A и закончим в вершине C.

Последовательность вершин может быть следующей:

A → B → D → C → E → A → D → E → B → C

Проверим, что мы прошли по всем 9 рёбрам ровно один раз:

1. A → B (ребро AB)
2. B → D (ребро BD)
3. D → C (ребро DC)
4. C → E (ребро CE)
5. E → A (ребро EA)
6. A → D (ребро AD)
7. D → E (ребро DE)
8. E → B (ребро EB)
9. B → C (ребро BC)

Все рёбра пройдены, каждое по одному разу. Путь начинается в вершине A и заканчивается в вершине C, что соответствует теоретическому выводу.

Ответ: Одна из возможных последовательностей вершин: A, B, D, C, E, A, D, E, B, C.