Номер 929, страница 236 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

10.1. Геометрические тела и их изображение. Глава 10. Многогранники - номер 929, страница 236.

929 НАБЛЮДАЕМ И РАССУЖДАЕМ

От куба отрезали угол (рис. 10.10).

1) Сколько граней у получившегося многогранника? Какую форму они имеют? Сколько у него вершин? Сколько рёбер? Сколько граней на этом рисунке не видно? А вершин?

2) Как вы думаете, сколько граней будет у этого многогранника, если отрезать ещё один угол?

3) Начертите пятиугольную грань, если известно, что ребро куба равно $4$ см, а разрез проходит через середины рёбер куба.

Рис. 10.10

1)У получившегося многогранника 7 граней. Изначально у куба 6 граней. Когда отрезали угол, три грани, сходившиеся в этом углу, изменили свою форму, но не исчезли. При этом образовалась одна новая грань на месте среза. Таким образом, общее количество граней стало $6 + 1 = 7$.
Формы граней:

• 3 грани, которые не были затронуты разрезом, остались квадратами.
• 3 грани, у которых отрезали угол, превратились в пятиугольники.
• 1 новая грань, появившаяся в результате среза, имеет форму треугольника.

У многогранника 10 вершин. У куба было 8 вершин. Одну вершину удалили, но срез создал 3 новые вершины на рёбрах. Итого: $8 - 1 + 3 = 10$ вершин.
У многогранника 15 рёбер. У куба было 12 рёбер. Срез добавил 3 новых ребра, образующих треугольную грань. Итого: $12 + 3 = 15$ рёбер.
На рисунке не видно 3 грани (заднюю, левую и нижнюю, которые остались квадратами).
Также не видно 3 вершины (те, что находятся сзади и снизу).

Ответ: У многогранника 7 граней (3 квадрата, 3 пятиугольника, 1 треугольник), 10 вершин и 15 рёбер. На рисунке не видно 3 грани и 3 вершины.

2)Каждый разрез угла многогранника добавляет одну новую грань. Исходный многогранник в задаче уже имеет 7 граней (после первого разреза). Если отрезать ещё один угол, количество граней увеличится ещё на одну.
$7 + 1 = 8$ граней.

Ответ: 8 граней.

3)Пятиугольная грань — это одна из граней куба, у которой отрезали угол. Изначально это был квадрат со стороной 4 см. Разрез проходит через середины двух смежных рёбер этого квадрата.
Таким образом, от квадрата отсекается маленький прямоугольный равнобедренный треугольник с катетами, равными половине ребра куба: $4 / 2 = 2$ см.
В результате пятиугольная грань имеет:

• Две стороны, оставшиеся от квадрата, длиной по 4 см.
• Две стороны, являющиеся частями разрезанных рёбер, длиной по 2 см.
• Одну новую сторону на месте среза. Её длина вычисляется по теореме Пифагора как гипотенуза отсечённого треугольника: $c = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см (приблизительно 2,83 см).

Углы этого пятиугольника: три угла по $90^\circ$ (сохранённые углы квадрата) и два угла по $135^\circ$ (образованные на месте среза).
Ниже представлен чертёж этой грани с указанием размеров и углов.

Ответ: Пятиугольная грань имеет две стороны по 4 см, две стороны по 2 см и одну сторону длиной $2\sqrt{2}$ см. Три её угла равны $90^\circ$ и два угла равны $135^\circ$. Чертёж представлен выше.