Страница 241 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Рис. 10.21

Рис. 10.22

945 МОДЕЛИРУЕМ

Какие точки совместятся с точкой А при склеивании развёртки, изображённой на рисунке 10.21? Какие рёбра склеятся? Назовите все такие пары.

Подсказка. Можно воспользоваться развёрткой, вырезанной из бумаги.

Какие точки совместятся с точкой A при склеивании развёртки, изображённой на рисунке 10.21?
Для решения этой задачи необходимо мысленно свернуть развёртку в объёмную фигуру — прямоугольный параллелепипед. Чтобы было проще, выберем одну грань в качестве основания и будем "поднимать" остальные.
Примем прямоугольник CFOT за основание (дно) параллелепипеда. Тогда:
- Прямоугольник FNLK (примыкающий к стороне FO) станет передней гранью.
- Прямоугольник BCTA (примыкающий к стороне CT) станет задней гранью.
- Прямоугольник DCEF (примыкающий к стороне CF) станет левой боковой гранью.
- Прямоугольник THOP (примыкающий к стороне OT) станет правой боковой гранью.
- Прямоугольник KNML (примыкающий к передней грани) станет верхней гранью (крышкой).
Точка A находится на задней грани BCTA. При сборке фигуры она займёт положение в заднем левом верхнем углу.
Теперь проследим за положением других точек:
- Точка D находится на левой боковой грани DCEF. При сворачивании она также окажется в заднем левом верхнем углу.
- Точка M находится на верхней грани KNML. Она также попадёт в задний левый верхний угол.
Таким образом, в одной вершине готовой фигуры сойдутся три точки с развёртки: A, D и M.
Ответ: с точкой A совместятся точки D и M.

Какие рёбра склеятся? Назовите все такие пары.
Используя ту же модель сборки параллелепипеда, определим пары рёбер, которые будут склеены. Это рёбра, которые на развёртке находятся на внешнем контуре и при сборке соединяются, образуя рёбра объёмной фигуры.
Пары склеиваемых рёбер:
- Ребро AT (с задней грани) и ребро CD (с левой грани).
- Ребро BC (с задней грани) и ребро HT (с правой грани).
- Ребро FE (с левой грани) и ребро FL (с передней грани).
- Ребро OP (с правой грани) и ребро LK (с передней грани).
- Ребро DE (с левой грани) и ребро MK (с верхней грани).
- Ребро HP (с правой грани) и ребро LN (с верхней грани).
- Ребро AB (с задней грани) и ребро ML (с верхней грани).
Ответ: склеятся следующие пары рёбер: (AT, CD), (BC, HT), (FE, FL), (OP, LK), (DE, MK), (HP, LN), (AB, ML).

946 На рисунке 10.22 изображена развёртка параллелепипеда, указаны её размеры. Начертите развёртку на листе в клетку, вырежите её и сложите параллелепипед. Каковы его измерения?

Измерения параллелепипеда: 3 см, 4 см, 4 см.

Рис. 10.22

Для определения измерений параллелепипеда необходимо проанализировать его развёртку. Развёртка состоит из шести прямоугольников, которые представляют собой грани параллелепипеда: четыре боковые грани и два основания (верхнее и нижнее).

Длинная горизонтальная полоса на рисунке, состоящая из четырех прямоугольников, является боковой поверхностью параллелепипеда в развернутом виде. Высота этой полосы соответствует высоте самого параллелепипеда ($h$). Согласно рисунку, высота $h = 3$ см.

Два прямоугольника, примыкающие к этой полосе сверху и снизу, являются основаниями параллелепипеда. Их стороны — это длина ($a$) и ширина ($b$) параллелепипеда. Из рисунка видно, что одна из сторон основания равна 4 см. Примем это значение за ширину: $b = 4$ см.

Общая длина горизонтальной полосы из четырех боковых граней равна периметру основания параллелепипеда ($P$). По данным на рисунке, $P = 10$ см. Периметр прямоугольного основания вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$.

Теперь мы можем найти длину $a$, подставив известные значения в формулу периметра:
$2(a + b) = 10$
$2(a + 4) = 10$
Разделим обе части уравнения на 2:
$a + 4 = 5$
Вычтем 4 из обеих частей:
$a = 5 - 4$
$a = 1$ см.

Таким образом, измерения параллелепипеда: длина — 1 см, ширина — 4 см и высота — 3 см.

Ответ: измерения параллелепипеда равны 1 см, 3 см и 4 см.

947 Многогранники на рисунке 10.23, б составлены из одинаковых параллелепипедов, один из которых изображён на рисунке 10.23, а. Определите длины ломаных, выделенных синим цветом.

Рис. 10.23

Для решения задачи используем размеры исходного параллелепипеда, показанного на рисунке 10.23, а:

• длина = 5 м
• ширина = 2 м
• высота = 1 м

1)

Многогранник на рисунке 1 составлен из двух одинаковых параллелепипедов, поставленных рядом друг с другом по длине. Синяя линия представляет собой периметр верхней грани получившейся фигуры. Верхняя грань является прямоугольником, длина которого равна длине исходного параллелепипеда (5 м), а ширина равна удвоенной ширине исходного параллелепипеда ($2 \text{ м} + 2 \text{ м} = 4 \text{ м}$).
Длина ломаной линии равна периметру этого прямоугольника: $L_1 = 2 \times (5 \text{ м} + 4 \text{ м}) = 2 \times 9 \text{ м} = 18 \text{ м}$.
Ответ: 18 м.

2)

Многогранник на рисунке 2 составлен из трех одинаковых параллелепипедов: два расположены на нижнем уровне, и один – на верхнем. Синяя ломаная линия представляет собой замкнутый контур, идущий по ребрам фигуры. Для нахождения ее длины сложим длины всех ее сегментов:

• Горизонтальные сегменты на верхнем уровне: переднее ребро (5 м), заднее ребро (5 м), левое ребро (2 м).
• Горизонтальные сегменты на нижнем уровне: переднее ребро (5 м), заднее ребро (5 м), правое ребро (2 м).
• Вертикальные сегменты, соединяющие уровни: два ребра по 1 м каждое.

Суммарная длина ломаной: $L_2 = (5 \text{ м} + 5 \text{ м} + 2 \text{ м}) + (5 \text{ м} + 5 \text{ м} + 2 \text{ м}) + (1 \text{ м} + 1 \text{ м}) = 12 \text{ м} + 12 \text{ м} + 2 \text{ м} = 26 \text{ м}$.
Ответ: 26 м.

3)

Многогранник на рисунке 3 состоит из трех параллелепипедов: два на нижнем уровне образуют основание, и один расположен на них сверху по центру. Синяя линия является периметром верхней грани верхнего параллелепипеда. Размеры этой грани совпадают с размерами верхней грани исходного параллелепипеда: 5 м на 2 м.
Длина ломаной линии равна периметру этого прямоугольника: $L_3 = 2 \times (5 \text{ м} + 2 \text{ м}) = 2 \times 7 \text{ м} = 14 \text{ м}$.
Ответ: 14 м.

948 ЭКСПЕРИМЕНТИРУЕМ И АНАЛИЗИРУЕМ

1) Сложите параллелепипед из одинаковых кубиков, выложив в длину 3 кубика, в ширину 2 кубика, в высоту 2 кубика. Подсчитайте число использованных кубиков. А сколько кубиков потребуется, если в длину выложить 5 кубиков, в ширину - 3 кубика, в высоту - 2 кубика?

2) Ребро кубика приняли за единицу длины. Из них сложили куб с ребром, равным 3 ед. длины, и параллелепипед с рёбрами, равными 3, 4 и 1 ед. длины. В каком случае потребуется больше таких кубиков?

3) Коробку начали заполнять кубиками, как показано на рисунке 10.24. Сколько кубиков войдёт в коробку?

4) В какую коробку войдёт больше кубиков с ребром 1 см: с размерами 4 см, 3 см и 2 см или с размерами 2 см, 2 см и 5 см?

Рис. 10.24

1) Для подсчета числа кубиков в параллелепипеде нужно перемножить количество кубиков, уложенных по длине, ширине и высоте.

Для первого параллелепипеда: $3 \times 2 \times 2 = 12$ кубиков.

Для второго параллелепипеда: $5 \times 3 \times 2 = 30$ кубиков.

Ответ: 12 кубиков; 30 кубиков.

2) Количество кубиков, необходимых для построения фигуры, равно ее объему, измеренному в этих кубиках. Ребро кубика принято за единицу длины, значит, объем одного кубика равен 1 куб. ед.

Найдем объем куба с ребром 3 ед. длины: $V_{\text{куба}} = 3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$ куб. ед. Значит, для его построения понадобится 27 кубиков.

Найдем объем параллелепипеда с рёбрами 3, 4 и 1 ед. длины: $V_{\text{параллелепипеда}} = 3 \times 4 \times 1 = 12$ куб. ед. Значит, для его построения понадобится 12 кубиков.

Сравниваем количество кубиков: $27 > 12$. Следовательно, для построения куба потребуется больше кубиков.

Ответ: Больше кубиков потребуется для построения куба.

3) По рисунку определим размеры коробки в кубиках. Вдоль нижнего переднего ребра уложено 3 кубика (длина), вдоль нижнего бокового ребра — 2 кубика (ширина). В высоту уложено 2 кубика. Таким образом, размеры коробки составляют 3, 2 и 2 кубика.

Чтобы найти общее количество кубиков, которое войдёт в коробку, нужно вычислить её объем: $3 \times 2 \times 2 = 12$ кубиков.

Ответ: 12 кубиков.

4) Так как ребро кубика равно 1 см, количество кубиков, которое поместится в коробку, численно равно объему этой коробки в см³. Найдем объемы обеих коробок, чтобы сравнить их вместимость.

Объем первой коробки с размерами 4 см, 3 см и 2 см: $V_1 = 4 \times 3 \times 2 = 24$ см³.

Объем второй коробки с размерами 2 см, 2 см и 5 см: $V_2 = 2 \times 2 \times 5 = 20$ см³.

Сравниваем объемы: $24 \text{ см}^3 > 20 \text{ см}^3$. В первую коробку войдет больше кубиков.

Ответ: В коробку с размерами 4 см, 3 см и 2 см войдет больше кубиков.