Страница 248 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

969 Сравните:

а) 70 $мм^3$ и 7 $см^3$.

б) 300 $см^3$ и 3 $дм^3$.

в) 6000 $см^3$ и 6 $дм^3$.

г) 50000 $дм^3$ и 5 $м^3$.

д) 1000 $см^3$ и 1 $м^3$.

е) 40000 $мм^3$ и 4 $см^3$.

ж) 80000 $мм^3$ и 8 $дм^3$.

з) 2000000 $см^3$ и 2 $м^3$.

Чтобы сравнить значения объемов, необходимо привести их к одной единице измерения.

а) Сравним $70 \text{ мм}^3$ и $7 \text{ см}^3$.
Переведем кубические сантиметры в кубические миллиметры. В одном сантиметре 10 миллиметров, поэтому в одном кубическом сантиметре $10^3 = 1000$ кубических миллиметров.
$1 \text{ см}^3 = 1000 \text{ мм}^3$.
Следовательно, $7 \text{ см}^3 = 7 \times 1000 \text{ мм}^3 = 7000 \text{ мм}^3$.
Теперь сравним $70 \text{ мм}^3$ и $7000 \text{ мм}^3$.
Поскольку $70 < 7000$, то $70 \text{ мм}^3 < 7000 \text{ мм}^3$.
Значит, $70 \text{ мм}^3 < 7 \text{ см}^3$.
Ответ: $70 \text{ мм}^3 < 7 \text{ см}^3$.

б) Сравним $300 \text{ см}^3$ и $3 \text{ дм}^3$.
Переведем кубические дециметры в кубические сантиметры. В одном дециметре 10 сантиметров, поэтому в одном кубическом дециметре $10^3 = 1000$ кубических сантиметров.
$1 \text{ дм}^3 = 1000 \text{ см}^3$.
Следовательно, $3 \text{ дм}^3 = 3 \times 1000 \text{ см}^3 = 3000 \text{ см}^3$.
Теперь сравним $300 \text{ см}^3$ и $3000 \text{ см}^3$.
Поскольку $300 < 3000$, то $300 \text{ см}^3 < 3000 \text{ см}^3$.
Значит, $300 \text{ см}^3 < 3 \text{ дм}^3$.
Ответ: $300 \text{ см}^3 < 3 \text{ дм}^3$.

в) Сравним $6000 \text{ см}^3$ и $6 \text{ дм}^3$.
Используя соотношение из предыдущего пункта, $1 \text{ дм}^3 = 1000 \text{ см}^3$.
Переведем $6 \text{ дм}^3$ в кубические сантиметры: $6 \text{ дм}^3 = 6 \times 1000 \text{ см}^3 = 6000 \text{ см}^3$.
Теперь сравним $6000 \text{ см}^3$ и $6000 \text{ см}^3$.
Эти значения равны.
Значит, $6000 \text{ см}^3 = 6 \text{ дм}^3$.
Ответ: $6000 \text{ см}^3 = 6 \text{ дм}^3$.

г) Сравним $50 \, 000 \text{ дм}^3$ и $5 \text{ м}^3$.
Переведем кубические метры в кубические дециметры. В одном метре 10 дециметров, поэтому в одном кубическом метре $10^3 = 1000$ кубических дециметров.
$1 \text{ м}^3 = 1000 \text{ дм}^3$.
Следовательно, $5 \text{ м}^3 = 5 \times 1000 \text{ дм}^3 = 5000 \text{ дм}^3$.
Теперь сравним $50 \, 000 \text{ дм}^3$ и $5000 \text{ дм}^3$.
Поскольку $50 \, 000 > 5000$, то $50 \, 000 \text{ дм}^3 > 5000 \text{ дм}^3$.
Значит, $50 \, 000 \text{ дм}^3 > 5 \text{ м}^3$.
Ответ: $50 \, 000 \text{ дм}^3 > 5 \text{ м}^3$.

д) Сравним $1000 \text{ см}^3$ и $1 \text{ м}^3$.
Переведем кубические метры в кубические сантиметры. В одном метре 100 сантиметров, поэтому в одном кубическом метре $100^3 = 1 \, 000 \, 000$ кубических сантиметров.
$1 \text{ м}^3 = 1 \, 000 \, 000 \text{ см}^3$.
Теперь сравним $1000 \text{ см}^3$ и $1 \, 000 \, 000 \text{ см}^3$.
Поскольку $1000 < 1 \, 000 \, 000$, то $1000 \text{ см}^3 < 1 \, 000 \, 000 \text{ см}^3$.
Значит, $1000 \text{ см}^3 < 1 \text{ м}^3$.
Ответ: $1000 \text{ см}^3 < 1 \text{ м}^3$.

е) Сравним $40 \, 000 \text{ мм}^3$ и $4 \text{ см}^3$.
Переведем кубические сантиметры в кубические миллиметры.
$1 \text{ см}^3 = 1000 \text{ мм}^3$.
Следовательно, $4 \text{ см}^3 = 4 \times 1000 \text{ мм}^3 = 4000 \text{ мм}^3$.
Теперь сравним $40 \, 000 \text{ мм}^3$ и $4000 \text{ мм}^3$.
Поскольку $40 \, 000 > 4000$, то $40 \, 000 \text{ мм}^3 > 4000 \text{ мм}^3$.
Значит, $40 \, 000 \text{ мм}^3 > 4 \text{ см}^3$.
Ответ: $40 \, 000 \text{ мм}^3 > 4 \text{ см}^3$.

ж) Сравним $80 \, 000 \text{ мм}^3$ и $8 \text{ дм}^3$.
Переведем кубические дециметры в кубические миллиметры. В одном дециметре 100 миллиметров, поэтому в одном кубическом дециметре $100^3 = 1 \, 000 \, 000$ кубических миллиметров.
$1 \text{ дм}^3 = 1 \, 000 \, 000 \text{ мм}^3$.
Следовательно, $8 \text{ дм}^3 = 8 \times 1 \, 000 \, 000 \text{ мм}^3 = 8 \, 000 \, 000 \text{ мм}^3$.
Теперь сравним $80 \, 000 \text{ мм}^3$ и $8 \, 000 \, 000 \text{ мм}^3$.
Поскольку $80 \, 000 < 8 \, 000 \, 000$, то $80 \, 000 \text{ мм}^3 < 8 \, 000 \, 000 \text{ мм}^3$.
Значит, $80 \, 000 \text{ мм}^3 < 8 \text{ дм}^3$.
Ответ: $80 \, 000 \text{ мм}^3 < 8 \text{ дм}^3$.

з) Сравним $2 \, 000 \, 000 \text{ см}^3$ и $2 \text{ м}^3$.
Переведем кубические метры в кубические сантиметры.
$1 \text{ м}^3 = 1 \, 000 \, 000 \text{ см}^3$.
Следовательно, $2 \text{ м}^3 = 2 \times 1 \, 000 \, 000 \text{ см}^3 = 2 \, 000 \, 000 \text{ см}^3$.
Теперь сравним $2 \, 000 \, 000 \text{ см}^3$ и $2 \, 000 \, 000 \text{ см}^3$.
Эти значения равны.
Значит, $2 \, 000 \, 000 \text{ см}^3 = 2 \text{ м}^3$.
Ответ: $2 \, 000 \, 000 \text{ см}^3 = 2 \text{ м}^3$.

970 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ Каждому сосуду поставьте в соответствие его вместимость.

Сосуд: флакон духов, чайная ложка, канистра, заварочный чайник.

Объём: 1 $дм^3$, 5 $см^3$, 15 $дм^3$, 150 $см^3$.

Для того чтобы сопоставить каждому сосуду его вместимость, проанализируем предложенные объёмы. Сначала переведём все величины в единую систему измерения, например, в кубические сантиметры ($см^3$), чтобы их было легче сравнивать. Вспомним, что 1 кубический дециметр равен 1000 кубических сантиметров:

$1 \text{ дм}^3 = 1000 \text{ см}^3$

Таким образом, предложенные объёмы в порядке возрастания:

• $5 \text{ см}^3$
• $150 \text{ см}^3$
• $1 \text{ дм}^3 = 1000 \text{ см}^3$
• $15 \text{ дм}^3 = 15000 \text{ см}^3$

Теперь сопоставим сосуды с этими объёмами, исходя из их назначения и типичных размеров.

Чайная ложка: Это самый маленький из перечисленных предметов. Её стандартный объём составляет 5 миллилитров, что в точности соответствует $5 \text{ см}^3$.
Ответ: $5 \text{ см}^3$.

Флакон духов: Флакон для духов обычно имеет небольшой объём, но он определённо больше чайной ложки. Из оставшихся вариантов ($150 \text{ см}^3$, $1 \text{ дм}^3$, $15 \text{ дм}^3$) наименьшим и наиболее подходящим является объём $150 \text{ см}^3$ (150 миллилитров). Объёмы в 1 и 15 литров для духов не используются.
Ответ: $150 \text{ см}^3$.

Заварочный чайник: Вместимость заварочного чайника обычно составляет от 0,5 до 1,5 литров. Объём в $1 \text{ дм}^3$ равен 1 литру, что является типичным размером для чайника на семью. Объём в 15 литров ($15 \text{ дм}^3$) был бы слишком большим.
Ответ: $1 \text{ дм}^3$.

Канистра: Канистра используется для хранения и транспортировки значительных объёмов жидкостей, таких как вода или топливо. Это самый большой сосуд в списке. Ей соответствует самый большой из предложенных объёмов — $15 \text{ дм}^3$, что равно 15 литрам. Это стандартный объём для канистры.
Ответ: $15 \text{ дм}^3$.

971 РАССУЖДАЕМ

1) Вычислите объёмы аквариумов (рис. 10.38) и выразите их в литрах.

2) Аквариумы заполнили так, что уровень воды в каждом из них ниже верхнего края на 10 см. В каком аквариуме больше воды?

50 см 30 см 40 см

40 см 30 см 50 см

1) Вычислите объёмы аквариумов (рис. 10.38) и выразите их в литрах.

Объём прямоугольного параллелепипеда (форму которого имеют аквариумы) вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot h$, где $a$ – длина, $b$ – ширина, а $h$ – высота.

Для перевода объёма из кубических сантиметров ($см^3$) в литры (л) используется соотношение: $1 \text{ л} = 1000 \text{ см}^3$.

Вычислим объём первого аквариума (слева):

Его размеры: 50 см, 30 см и 40 см.

Объём в кубических сантиметрах:

$V_1 = 50 \text{ см} \cdot 30 \text{ см} \cdot 40 \text{ см} = 60000 \text{ см}^3$

Объём в литрах:

$60000 \text{ см}^3 \div 1000 = 60 \text{ л}$

Вычислим объём второго аквариума (справа):

Его размеры: 40 см, 30 см и 50 см.

Объём в кубических сантиметрах:

$V_2 = 40 \text{ см} \cdot 30 \text{ см} \cdot 50 \text{ см} = 60000 \text{ см}^3$

Объём в литрах:

$60000 \text{ см}^3 \div 1000 = 60 \text{ л}$

Ответ: объём каждого аквариума равен 60 литров.

2) Аквариумы заполнили так, что уровень воды в каждом из них ниже верхнего края на 10 см. В каком аквариуме больше воды?

Чтобы найти объём воды, нужно использовать те же длину и ширину, что и у аквариумов, но высота будет другой. Высота воды в каждом аквариуме будет равна высоте аквариума минус 10 см.

Вычислим объём воды в первом аквариуме:

Длина = 50 см, ширина = 30 см.

Высота воды: $h_{воды1} = 40 \text{ см} - 10 \text{ см} = 30 \text{ см}$.

Объём воды:

$V_{воды1} = 50 \text{ см} \cdot 30 \text{ см} \cdot 30 \text{ см} = 45000 \text{ см}^3 = 45 \text{ л}$

Вычислим объём воды во втором аквариуме:

Длина = 40 см, ширина = 30 см.

Высота воды: $h_{воды2} = 50 \text{ см} - 10 \text{ см} = 40 \text{ см}$.

Объём воды:

$V_{воды2} = 40 \text{ см} \cdot 30 \text{ см} \cdot 40 \text{ см} = 48000 \text{ см}^3 = 48 \text{ л}$

Сравним полученные объёмы:

$48 \text{ л} > 45 \text{ л}$

Таким образом, во втором (правом) аквариуме воды больше.

Ответ: во втором аквариуме больше воды.

972 Ищем информацию Среди мер сыпучих и жидких тел, применяющихся в других странах Рис. 10.38

и по сей день, сохранились английские меры бушель и галлон и американский нефтяной баррель. Най- дите в специальной литературе значения этих мер, выраженные в литрах.

50 см

40 см

В задаче требуется найти значения старинных мер объёма, выраженные в литрах. Для этого обратимся к справочным данным.

Бушель

Бушель (англ. bushel) — это английская единица измерения объёма, используемая для сыпучих товаров, таких как зерно. Существуют различия между британским (имперским) и американским бушелем. Поскольку в задаче указана «английская мера», мы будем использовать значение британского имперского бушеля.

Один британский имперский бушель равен 8 имперским галлонам.

$1 \text{ британский бушель} \approx 36,3687 \text{ литра}$ (или дм³).

Ответ: $1 \text{ бушель} \approx 36,37 \text{ л}$.

Галлон

Галлон (англ. gallon) — это также английская мера объёма, но в основном используемая для жидкостей. Как и в случае с бушелем, существует имперский (британский) и американский галлон. Согласно условию, мы рассматриваем английскую меру.

$1 \text{ британский (имперский) галлон} \approx 4,54609 \text{ литра}$.

Ответ: $1 \text{ галлон} \approx 4,55 \text{ л}$.

Американский нефтяной баррель

Американский нефтяной баррель (англ. barrel) — это стандартная единица измерения объёма нефти в США и на мировом рынке. Важно отметить, что его объём отличается от объёма стандартного американского барреля для других жидкостей.

Один американский нефтяной баррель равен 42 американским галлонам (не имперским).

$1 \text{ американский нефтяной баррель} = 42 \text{ американских галлона} \approx 42 \times 3,78541 \text{ л} \approx 158,9873 \text{ литра}$.

Ответ: $1 \text{ американский нефтяной баррель} \approx 159 \text{ л}$.

973 Сколько пакетов с соком войдёт в коробку (рис. 10.39)?

СОК

17 см

10 см

6 см

34 см

40 см

60 см

Рис. 10.39

Чтобы определить, сколько пакетов с соком войдет в коробку, нужно найти, какое максимальное количество пакетов можно уложить, ориентируя их по длине, ширине и высоте коробки.

Даны размеры коробки: длина = 60 см, ширина = 40 см, высота = 34 см.
Даны размеры одного пакета с соком: 17 см, 10 см и 6 см.

Для нахождения максимального количества пакетов необходимо найти оптимальный способ их расположения. Проверим, можно ли уложить пакеты так, чтобы полностью заполнить объем коробки. Для этого нужно сопоставить размеры коробки и пакета.

• Длина коробки 60 см. Эта сторона кратна стороне пакета 6 см: $60 \div 6 = 10$. Значит, вдоль этой стороны можно уложить 10 пакетов.
• Ширина коробки 40 см. Эта сторона кратна стороне пакета 10 см: $40 \div 10 = 4$. Значит, вдоль этой стороны можно уложить 4 ряда пакетов.
• Высота коробки 34 см. Эта сторона кратна стороне пакета 17 см: $34 \div 17 = 2$. Значит, можно уложить 2 слоя пакетов в высоту.

При такой ориентации пакетов (стороной 6 см по длине коробки, 10 см по ширине и 17 см по высоте) все пространство коробки будет заполнено без зазоров. Это является наилучшим вариантом укладки.

Чтобы найти общее количество пакетов, перемножим количество пакетов, помещающихся по каждому из трех измерений:

Общее количество = $10 \times 4 \times 2 = 80$ пакетов.

Также задачу можно решить через нахождение объемов, поскольку мы установили, что возможно полное заполнение коробки.

1. Вычислим объем коробки ($V_{\text{коробки}}$):
$V_{\text{коробки}} = 60 \text{ см} \times 40 \text{ см} \times 34 \text{ см} = 81600 \text{ см}^3$

2. Вычислим объем одного пакета с соком ($V_{\text{пакета}}$):
$V_{\text{пакета}} = 17 \text{ см} \times 10 \text{ см} \times 6 \text{ см} = 1020 \text{ см}^3$

3. Найдем, сколько пакетов поместится в коробке, разделив объем коробки на объем одного пакета:
Количество = $\frac{V_{\text{коробки}}}{V_{\text{пакета}}} = \frac{81600 \text{ см}^3}{1020 \text{ см}^3} = 80$

Ответ: 80

974 Сколько литров воды содержится в баке, имеющем форму куба с ребром 6 дм?

Для того чтобы определить, сколько литров воды содержится в баке, необходимо найти его объем. Бак имеет форму куба, объем которого вычисляется по формуле:

$V = a^3$,

где $V$ — это объем, а $a$ — длина ребра куба.

Согласно условию задачи, длина ребра куба составляет 6 дм. Подставим это значение в формулу для нахождения объема:

$V = (6 \text{ дм})^3 = 6 \text{ дм} \times 6 \text{ дм} \times 6 \text{ дм} = 216 \text{ дм}^3$.

По определению, один литр равен одному кубическому дециметру:

$1 \text{ л} = 1 \text{ дм}^3$.

Таким образом, объем бака в литрах будет равен его объему в кубических дециметрах.

$216 \text{ дм}^3 = 216 \text{ л}$.

Ответ: 216 литров.

975 Найдите объём многогранника (рис. 10.40, а–в).

Подсказка. Достройте мысленно многогранник до параллелепипеда.

а) Длина внешней части: $20 \text{ см}$. Ширина внешней части: $12 \text{ см}$. Высота: $2 \text{ см}$.

Длина внутреннего выреза: $12 \text{ см}$. Ширина внутреннего выреза: $8 \text{ см}$.

б) Длина: $20 \text{ см}$.

Ширина: $18 \text{ см}$ (нижняя часть), $8 \text{ см}$ (верхняя часть).

Высота: $12 \text{ см}$ (нижняя часть), $21 \text{ см}$ (общая высота).

в) Габаритные размеры: длина $6 \text{ дм}$, ширина $7 \text{ дм}$, высота $5 \text{ дм}$.

Размеры выреза: длина $3 \text{ дм}$, ширина $4 \text{ дм}$, высота $2 \text{ дм}$.

Рис. 10.40

Для решения всех задач воспользуемся подсказкой: мысленно достроим каждую фигуру до прямоугольного параллелепипеда и вычтем объём "лишних" частей.

Данный многогранник представляет собой прямоугольный параллелепипед с прямоугольным отверстием. Его объём можно найти как разность объёмов внешнего (большого) и внутреннего (малого) параллелепипедов.

1. Найдём объём внешнего параллелепипеда ($V_{внеш}$). Его измерения: длина 20 см, ширина 12 см, высота 2 см.

$V_{внеш} = 20 \cdot 12 \cdot 2 = 480$ см³.

2. Найдём объём внутреннего параллелепипеда (отверстия) ($V_{внутр}$). Согласно рисунку, его измерения: длина 12 см, ширина 8 см, высота 2 см.

$V_{внутр} = 12 \cdot 8 \cdot 2 = 192$ см³.

3. Вычтем из объёма внешнего параллелепипеда объём внутреннего, чтобы найти объём фигуры ($V$).

$V = V_{внеш} - V_{внутр} = 480 - 192 = 288$ см³.

Ответ: 288 см³.

Этот многогранник можно представить как большой прямоугольный параллелепипед, из которого вырезали меньший. Другой способ — разбить его на два параллелепипеда и сложить их объёмы. Воспользуемся первым способом (вычитанием).

1. Достроим фигуру до большого параллелепипеда ($V_{большой}$). Его измерения будут: длина 20 см, ширина 18 см, высота 21 см.

$V_{большой} = 20 \cdot 18 \cdot 21 = 360 \cdot 21 = 7560$ см³.

2. Найдём размеры и объём вырезанной части ($V_{вырез}$). Её длина равна 20 см. Ширина равна $18 - 8 = 10$ см. Высота равна $21 - 12 = 9$ см.

$V_{вырез} = 20 \cdot 10 \cdot 9 = 1800$ см³.

3. Найдём объём исходного многогранника ($V$), вычитая объём вырезанной части из объёма большого параллелепипеда.

$V = V_{большой} - V_{вырез} = 7560 - 1800 = 5760$ см³.

Ответ: 5760 см³.

Данная фигура — это большой прямоугольный параллелепипед, из которого вырезан угловой кусок, также имеющий форму прямоугольного параллелепипеда.

1. Найдём объём большого (полного) параллелепипеда ($V_{полный}$), если бы он был целым. Его измерения: длина 6 дм, ширина 7 дм, высота 5 дм.

$V_{полный} = 6 \cdot 7 \cdot 5 = 210$ дм³.

2. Найдём объём вырезанного параллелепипеда ($V_{вырез}$). Его измерения: длина 3 дм, ширина 4 дм, высота 2 дм.

$V_{вырез} = 3 \cdot 4 \cdot 2 = 24$ дм³.

3. Объём искомого многогранника ($V$) равен разности объёмов полного и вырезанного параллелепипедов.

$V = V_{полный} - V_{вырез} = 210 - 24 = 186$ дм³.

Ответ: 186 дм³.