Страница 253 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

993 НАБЛЮДАЕМ Многогранник разрезали на две пирамиды (рис. 10.49). Назовите основание и вершину каждой из получившихся пирамид.

Рис. 10.49

Исходный многогранник, представляющий собой треугольную призму, разрезан плоскостью, проходящей через точки $A$, $K$ и $E$. В результате этого сечения образуются две пирамиды.

Первая пирамида

Одна из получившихся фигур — это треугольная пирамида (тетраэдр) с вершинами $A, D, E, K$. В качестве ее основания можно взять треугольник $DEK$, который является нижним основанием исходной призмы. Вершина пирамиды — это точка, не лежащая в плоскости основания и соединенная ребрами со всеми вершинами основания. В данном случае это точка $A$.

Ответ: основание — треугольник $DEK$, вершина — точка $A$.

Вторая пирамида

Вторая фигура, образовавшаяся после разреза, — это четырехугольная пирамида с вершинами $A, B, C, K, E$. Ее основанием является боковая грань исходной призмы — четырехугольник $BCKE$. Все вершины этого основания ($B, C, K, E$) соединены ребрами с точкой $A$, которая, следовательно, является вершиной этой пирамиды.

Ответ: основание — четырехугольник $BCKE$, вершина — точка $A$.

994 ЭКСПЕРИМЕНТИРУЕМ

1) Скопируйте рисунок 10.50 в тетрадь и дорисуйте его до: а) треугольной пирамиды; б) четырёхугольной пирамиды.

2) Представьте, что у многогранника, изображённого на рисунке 10.50, пять вершин, но одна вершина не нарисована. Как вы думаете, сколько можно придумать многогранников с пятью вершинами, чтобы у них было разное число рёбер?

Рис. 10.50

1) Для того чтобы дорисовать изображение до требуемых многогранников, необходимо выполнить следующие действия:

а) треугольной пирамиды;
На рисунке изображены 4 вершины. Треугольная пирамида (тетраэдр) как раз имеет 4 вершины. Основанием такой пирамиды является треугольник. На рисунке три нижние вершины уже соединены двумя рёбрами. Чтобы завершить построение основания, нужно соединить отрезком две крайние нижние вершины. В результате получится многогранник с 4 вершинами, 6 рёбрами (3 в основании и 3 боковых) и 4 треугольными гранями. Для наглядности в перспективном изображении невидимые рёбра (например, добавленное ребро основания) следует изображать штриховой линией.
Ответ: Для получения треугольной пирамиды нужно соединить отрезком две крайние нижние вершины, чтобы основание стало треугольником.

б) четырёхугольной пирамиды.
Четырёхугольная пирамида имеет 5 вершин: 4 вершины в основании и 1 вершина — апекс (вершина пирамиды). На исходном рисунке всего 4 вершины. Следовательно, необходимо добавить ещё одну вершину. Нужно нарисовать в плоскости основания четвёртую вершину и соединить её с двумя соседними вершинами основания, чтобы получилось четырёхугольное основание. Затем эту новую вершину основания нужно соединить ребром с вершиной пирамиды (апексом). В результате получится многогранник с 5 вершинами, 8 рёбрами (4 в основании и 4 боковых) и 5 гранями (1 четырёхугольная и 4 треугольные). Как и в предыдущем случае, невидимые рёбра следует изображать штриховыми линиями.
Ответ: Для получения четырёхугольной пирамиды нужно добавить пятую вершину в плоскости основания, достроить основание до четырёхугольника и соединить новую вершину основания с вершиной пирамиды.

2) Нам нужно найти, сколько существует различных вариантов числа рёбер для выпуклого многогранника с пятью вершинами. Пусть $V$ — число вершин, $E$ — число рёбер, $F$ — число граней.
По условию, $V=5$.
Для любого выпуклого многогранника справедлива формула Эйлера: $V - E + F = 2$. Подставив $V=5$, получим: $5 - E + F = 2$, откуда $F = E - 3$.
Также для многогранников существуют следующие ограничения:
1. В каждой вершине должно сходиться не менее 3 рёбер. Сумма степеней всех вершин равна удвоенному числу рёбер: $\sum \deg(v_i) = 2E$. Так как у нас 5 вершин и степень каждой не меньше 3, то $2E \ge 5 \times 3 = 15$. Отсюда $E \ge 7.5$. Поскольку число рёбер целое, $E \ge 8$.
2. Для любого многогранника, являющегося простым графом, число рёбер $E$ и число вершин $V$ связаны неравенством $E \le 3V - 6$. При $V=5$ получаем $E \le 3 \times 5 - 6 = 9$.
Объединяя два неравенства, получаем, что возможное число рёбер $E$ должно удовлетворять условию $8 \le E \le 9$. Рассмотрим возможные целые значения для $E$:

• Если $E=8$, то $F = E - 3 = 8 - 3 = 5$. Многогранник с $V=5$, $E=8$, $F=5$ существует. Примером является четырёхугольная пирамида. У неё 5 вершин (4 в основании + 1 вершина), 8 рёбер (4 в основании + 4 боковых) и 5 граней (1 основание + 4 боковые).
• Если $E=9$, то $F = E - 3 = 9 - 3 = 6$. Многогранник с $V=5$, $E=9$, $F=6$ также существует. Примером является треугольная бипирамида (два тетраэдра, соединённые по одной грани). У неё 5 вершин (3 на "экваторе", 2 на "полюсах"), 9 рёбер и 6 треугольных граней.

Других целых значений в диапазоне $8 \le E \le 9$ нет. Таким образом, существует только два возможных значения для числа рёбер у многогранника с пятью вершинами.
Ответ: 2.

995 РАССУЖДАЕМ

1) У пирамиды 1883 вершины. Сколько вершин в основании этой пирамиды?

2) У пирамиды 1800 рёбер. Какая это пирамида?

3) У пирамиды 28 граней. Сколько у неё вершин?

4) Существует ли пирамида, у которой 1999 рёбер?

5) Сумма числа рёбер и числа вершин пирамиды равна 25. Какая это пирамида?

6) Сумма числа вершин, рёбер и граней пирамиды равна 26. Какая это пирамида?

Для решения всех задач воспользуемся общими формулами для n-угольной пирамиды (пирамиды, в основании которой лежит n-угольник):

• Число вершин: $В = n + 1$ (n вершин в основании + 1 вершина-апекс)
• Число рёбер: $Р = 2n$ (n рёбер в основании + n боковых рёбер)
• Число граней: $Г = n + 1$ (1 грань-основание + n боковых граней)

1) У пирамиды 1883 вершины. Сколько вершин в основании этой пирамиды?

Общее число вершин пирамиды (В) связано с числом вершин в основании (n) формулой $В = n + 1$.

По условию, $В = 1883$. Подставим это значение в формулу:

$1883 = n + 1$

Отсюда находим число вершин в основании $n$:

$n = 1883 - 1 = 1882$

Ответ: 1882.

2) У пирамиды 1800 рёбер. Какая это пирамида?

Число рёбер пирамиды (Р) связано с числом вершин в основании (n) формулой $Р = 2n$.

По условию, $Р = 1800$. Подставим это значение в формулу:

$1800 = 2n$

Отсюда находим $n$:

$n = 1800 / 2 = 900$

Так как в основании пирамиды лежит 900-угольник, то эта пирамида называется 900-угольной.

Ответ: 900-угольная пирамида.

3) У пирамиды 28 граней. Сколько у неё вершин?

Число граней пирамиды (Г) связано с числом вершин в основании (n) формулой $Г = n + 1$.

По условию, $Г = 28$. Найдём $n$:

$28 = n + 1$

$n = 28 - 1 = 27$

Теперь найдём число вершин (В) по формуле $В = n + 1$:

$В = 27 + 1 = 28$

Для любой пирамиды число вершин равно числу граней.

Ответ: 28.

4) Существует ли пирамида, у которой 1999 рёбер?

Число рёбер любой n-угольной пирамиды вычисляется по формуле $Р = 2n$. Это означает, что общее число рёбер всегда является чётным числом, так как оно кратно 2.

Число 1999 является нечётным, поэтому пирамиды с таким количеством рёбер не существует.

Ответ: Нет.

5) Сумма числа рёбер и числа вершин пирамиды равна 25. Какая это пирамида?

Пусть в основании пирамиды n-угольник. Тогда число вершин $В = n + 1$, а число рёбер $Р = 2n$.

По условию, их сумма равна 25: $В + Р = 25$.

Подставим формулы в это уравнение:

$(n + 1) + 2n = 25$

$3n + 1 = 25$

$3n = 24$

$n = 24 / 3 = 8$

В основании пирамиды лежит восьмиугольник, значит, это восьмиугольная пирамида.

Ответ: Восьмиугольная пирамида.

6) Сумма числа вершин, рёбер и граней пирамиды равна 26. Какая это пирамида?

Пусть в основании пирамиды n-угольник. Тогда $В = n + 1$, $Р = 2n$, $Г = n + 1$.

По условию, их сумма равна 26: $В + Р + Г = 26$.

Подставим формулы в это уравнение:

$(n + 1) + 2n + (n + 1) = 26$

$4n + 2 = 26$

$4n = 24$

$n = 24 / 4 = 6$

В основании пирамиды лежит шестиугольник, значит, это шестиугольная пирамида.

Ответ: Шестиугольная пирамида.

996 Найдите значение выражения

$4 - \left(\frac{41}{84} - \frac{5}{21}\right) + 7\frac{11}{30}.$

Для нахождения значения выражения $4 - (\frac{41}{84} - \frac{5}{21}) + 7\frac{11}{30}$ будем выполнять действия в соответствии с их порядком.

1. Первым действием выполним вычитание в скобках. Для этого необходимо привести дроби к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 84 и 21 является 84, так как $84 : 21 = 4$.

$\frac{41}{84} - \frac{5}{21} = \frac{41}{84} - \frac{5 \cdot 4}{21 \cdot 4} = \frac{41}{84} - \frac{20}{84} = \frac{41 - 20}{84} = \frac{21}{84}$

Сократим полученную дробь. Разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 21:

$\frac{21}{84} = \frac{21 \div 21}{84 \div 21} = \frac{1}{4}$

2. Теперь подставим результат в исходное выражение:

$4 - \frac{1}{4} + 7\frac{11}{30}$

3. Выполним вычитание. Представим 4 как смешанное число $3\frac{4}{4}$:

$4 - \frac{1}{4} = 3\frac{4}{4} - \frac{1}{4} = 3\frac{3}{4}$

4. Теперь выполним сложение: $3\frac{3}{4} + 7\frac{11}{30}$. Сначала сложим целые части, а затем дробные.

Сложение целых частей: $3 + 7 = 10$.

Сложение дробных частей: $\frac{3}{4} + \frac{11}{30}$. Найдем наименьший общий знаменатель для 4 и 30. $НОК(4, 30) = 60$.

$\frac{3}{4} + \frac{11}{30} = \frac{3 \cdot 15}{4 \cdot 15} + \frac{11 \cdot 2}{30 \cdot 2} = \frac{45}{60} + \frac{22}{60} = \frac{45 + 22}{60} = \frac{67}{60}$

Преобразуем неправильную дробь $\frac{67}{60}$ в смешанное число:

$\frac{67}{60} = 1\frac{7}{60}$

5. Сложим результат сложения целых частей и результат сложения дробных частей:

$10 + 1\frac{7}{60} = 11\frac{7}{60}$

Ответ: $11\frac{7}{60}$.

997 Занятия в школе длятся $6\frac{2}{3}$ ч, причём $\frac{1}{8}$ этого времени отводится на перемены. Сколько времени отводится на перемены? Выразите ответ в часах, а затем в минутах.

Для того чтобы найти, сколько времени отводится на перемены, необходимо общую продолжительность занятий умножить на часть времени, которая отводится на перемены.

Общая продолжительность занятий: $6\frac{2}{3}$ часа.

Часть времени на перемены: $\frac{1}{8}$ от общего времени.

1. Переведем смешанное число $6\frac{2}{3}$ в неправильную дробь:

$6\frac{2}{3} = \frac{6 \times 3 + 2}{3} = \frac{20}{3}$

2. Теперь умножим общее время в часах на долю, отведенную на перемены:

$\frac{20}{3} \times \frac{1}{8} = \frac{20 \times 1}{3 \times 8} = \frac{20}{24}$

3. Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 20 и 24 равен 4:

$\frac{20 \div 4}{24 \div 4} = \frac{5}{6}$

Таким образом, на перемены отводится $\frac{5}{6}$ часа.

Ответ: $\frac{5}{6}$ часа.

1. Чтобы перевести часы в минуты, нужно полученное значение в часах умножить на 60, так как в 1 часе 60 минут.

$\frac{5}{6} \times 60 = \frac{5 \times 60}{6} = 5 \times 10 = 50$

Таким образом, на перемены отводится 50 минут.

Ответ: 50 минут.

998 Из городов А и В одновременно навстречу друг другу вышли скорый и пассажирский поезд. Через 2 ч поезда встретились, а ещё через 3 ч пассажирский поезд прибыл в город В. Определите скорость скорого поезда, если скорость пассажирского равна $60 \text{ км/ч}$.

Для того чтобы найти скорость скорого поезда, необходимо сначала определить расстояние между городами А и В.

1. Найдём общее время, которое пассажирский поезд был в пути. Из условия известно, что он ехал 2 часа до встречи со скорым поездом и ещё 3 часа после встречи до прибытия в город В. Следовательно, общее время в пути для пассажирского поезда составляет:
$t_{пасс} = 2 \text{ ч} + 3 \text{ ч} = 5 \text{ ч}$

2. Теперь, зная скорость пассажирского поезда ($v_{пасс} = 60 \text{ км/ч}$) и его общее время в пути, мы можем вычислить расстояние $S$ между городами А и В по формуле $S = v \cdot t$ :
$S = 60 \text{ км/ч} \times 5 \text{ ч} = 300 \text{ км}$

3. Поезда встретились через 2 часа. За это время скорый поезд, вышедший из города В, проехал некоторое расстояние навстречу пассажирскому. Пассажирский поезд за эти 2 часа проехал:
$S_{пасс\_до\_встречи} = 60 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 120 \text{ км}$

4. Так как общее расстояние между городами равно 300 км, то расстояние, которое проехал скорый поезд до места встречи, составляет:
$S_{скор\_до\_встречи} = S - S_{пасс\_до\_встречи} = 300 \text{ км} - 120 \text{ км} = 180 \text{ км}$

5. Скорый поезд преодолел это расстояние в 180 км за 2 часа. Следовательно, его скорость равна:
$v_{скор} = \frac{S_{скор\_до\_встречи}}{t_{встречи}} = \frac{180 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 90 \text{ км/ч}$

Ответ: $90 \text{ км/ч}$.

999 В 9 одинаковых коробок разложили 108 фломастеров. Сколько потребуется фломастеров, чтобы разложить их в 27 таких же коробок?

Для решения этой задачи нужно выполнить два действия. Сначала определим, сколько фломастеров находится в одной коробке.

1. Разделим общее количество фломастеров на количество коробок, чтобы узнать, сколько фломастеров в каждой:

$108 \div 9 = 12$ (фломастеров в одной коробке).

2. Теперь, зная количество фломастеров в одной коробке, умножим это число на новое количество коробок, чтобы найти, сколько всего фломастеров потребуется:

$12 \times 27 = 324$ (фломастера).

Ответ: чтобы разложить фломастеры в 27 коробок, потребуется 324 фломастера.