Страница 246 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Найдите объём параллелепипеда, измерения которого равны:

а) 1 м, 3 м, 2 м;

б) 9 см, 7 см, 10 см.

Найдите объём куба с ребром 4 дм.

Какая из коробок вместительнее: с измерениями 8 см, 10 см, 12 см или 10 см, 10 см, 10 см?

а) Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$, где $a, b, c$ – его измерения (длина, ширина и высота).
Для измерений 1 м, 3 м, 2 м объём равен:
$V = 1 \text{ м} \cdot 3 \text{ м} \cdot 2 \text{ м} = 6 \text{ м}^3$.
Ответ: $6 \text{ м}^3$.

б) Для измерений 9 см, 7 см, 10 см объём равен:
$V = 9 \text{ см} \cdot 7 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} = 63 \text{ см}^2 \cdot 10 \text{ см} = 630 \text{ см}^3$.
Ответ: $630 \text{ см}^3$.

Найдите объём куба с ребром 4 дм.
Куб является частным случаем параллелепипеда, у которого все рёбра равны. Его объём вычисляется по формуле $V = a^3$, где $a$ – длина ребра.
При длине ребра 4 дм объём равен:
$V = (4 \text{ дм})^3 = 4 \text{ дм} \cdot 4 \text{ дм} \cdot 4 \text{ дм} = 64 \text{ дм}^3$.
Ответ: $64 \text{ дм}^3$.

Какая из коробок вместительнее: с измерениями 8 см, 10 см, 12 см или 10 см, 10 см, 10 см?
Чтобы определить, какая из коробок вместительнее, необходимо вычислить и сравнить их объёмы.
1. Объём первой коробки (прямоугольный параллелепипед) с измерениями 8 см, 10 см, 12 см:
$V_1 = 8 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} = 80 \text{ см}^2 \cdot 12 \text{ см} = 960 \text{ см}^3$.
2. Объём второй коробки (куб) с измерениями 10 см, 10 см, 10 см:
$V_2 = 10 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} = 1000 \text{ см}^3$.
3. Сравним полученные объёмы:
$1000 \text{ см}^3 > 960 \text{ см}^3$, следовательно $V_2 > V_1$.
Вторая коробка имеет больший объём, а значит, она вместительнее.
Ответ: Вместительнее коробка с измерениями 10 см, 10 см, 10 см.

962 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Тела сложены из одинаковых кубиков (рис. 10.34); объём одного кубика равен 1 кубической единице (1 куб. ед.). Верны ли утверждения?

Рис. 10.34

1) Объём зелёного тела равен $9 \text{ куб. ед.}$

2) Объём красного тела равен объёму жёлтого тела.

3) Если сложить параллелепипед из жёлтых и синих кубиков, то его объём будет равен $20 \text{ куб. ед.}$

4) Объём параллелепипеда, сложенного из красных и синих кубиков, равен объёму параллелепипеда, сложенного из жёлтых и зелёных кубиков.

Для того чтобы определить, верны ли утверждения, необходимо найти объём каждого тела, посчитав количество составляющих его кубиков. Объём одного кубика равен 1 кубической единице (1 куб. ед.).

• Жёлтое тело представляет собой прямоугольный параллелепипед с размерами 3, 2 и 2 кубика. Его объём равен произведению этих размеров: $V_{жёлтое} = 3 \times 2 \times 2 = 12$ куб. ед.

• Зелёное тело: его форма может показаться неоднозначной из-за перспективы рисунка. Однако, если предположить, что его основание имеет размеры $2 \times 2$ кубика и высоту 2 кубика, а сверху добавлен ещё один кубик, то объём будет равен $(2 \times 2 \times 2) + 1 = 9$ куб. ед. Это предположение совпадает с утверждением в первом пункте, что делает его наиболее вероятным. Итак, принимаем $V_{зелёное} = 9$ куб. ед.

• Красное тело можно рассматривать как прямоугольный параллелепипед размером $3 \times 2 \times 2$ кубика, из которого удалили столбик из двух кубиков ($1 \times 1 \times 2$). Его объём: $V_{красное} = (3 \times 2 \times 2) - (1 \times 1 \times 2) = 12 - 2 = 10$ куб. ед.

• Синее тело является прямоугольным параллелепипедом, идентичным жёлтому, с размерами 3, 2 и 2 кубика. Его объём: $V_{синее} = 3 \times 2 \times 2 = 12$ куб. ед.

Теперь проверим каждое утверждение:

1) Объём зелёного тела равен 9 куб. ед.

Согласно нашему расчёту, объём зелёного тела составляет 9 куб. ед. Таким образом, утверждение верно.

Ответ: Верно.

2) Объём красного тела равен объёму жёлтого тела.

Сравним объёмы красного и жёлтого тел: $V_{красное} = 10$ куб. ед., а $V_{жёлтое} = 12$ куб. ед. Так как $10 \neq 12$, утверждение неверно.

Ответ: Неверно.

3) Если сложить параллелепипед из жёлтых и синих кубиков, то его объём будет равен 20 куб. ед.

Объём такого параллелепипеда будет равен сумме объёмов жёлтого и синего тел: $V_{общий} = V_{жёлтое} + V_{синее} = 12 + 12 = 24$ куб. ед. Так как $24 \neq 20$, утверждение неверно.

Ответ: Неверно.

4) Объём параллелепипеда, сложенного из красных и синих кубиков, равен объёму параллелепипеда, сложенного из жёлтых и зелёных кубиков.

Найдём объём первого параллелепипеда (из красных и синих кубиков): $V_1 = V_{красное} + V_{синее} = 10 + 12 = 22$ куб. ед.

Найдём объём второго параллелепипеда (из жёлтых и зелёных кубиков): $V_2 = V_{жёлтое} + V_{зелёное} = 12 + 9 = 21$ куб. ед.

Сравним полученные объёмы: $22 \neq 21$. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: Неверно.

963 1) Коробку заполняют кубиками с ребром, равным единице длины (рис. 10.35). Сколько кубиков войдёт в коробку? Каков её объём?

2) Кубики с ребром 1 дм укладывают в коробку, имеющую размеры 4 дм, 2 дм, 3 дм. Сколько кубиков войдёт в коробку? Каков объём коробки?

Рис. 10.35

1) Коробку заполняют кубиками с ребром, равным единице длины (рис. 10.35). Сколько кубиков войдёт в коробку? Каков её объём?

Для решения задачи определим размеры коробки (длину, ширину и высоту), используя в качестве единицы измерения ребро одного кубика.

На основании рисунка 10.35 можно сделать следующие выводы:

• В длину коробка вмещает 3 кубика.
• В ширину коробка вмещает 2 кубика.
• В высоту коробка вмещает 2 кубика.

Таким образом, размеры коробки составляют 3, 2 и 2 единицы.

Чтобы найти общее количество кубиков, которое поместится в коробку, нужно перемножить количество кубиков по каждому измерению:
Количество кубиков = $3 \times 2 \times 2 = 12$.

Объём коробки равен произведению её трёх измерений. Поскольку ребро кубика является единицей длины, объём одного кубика равен $1^3 = 1$ кубической единице. Объём всей коробки будет равен общему количеству единичных кубиков, которые в ней помещаются.
Объём $V = 3 \times 2 \times 2 = 12$ кубических единиц.

Ответ: В коробку войдёт 12 кубиков, её объём равен 12 кубическим единицам.

2) Кубики с ребром 1 дм укладывают в коробку, имеющую размеры 4 дм, 2 дм, 3 дм. Сколько кубиков войдёт в коробку? Каков объём коробки?

Даны размеры коробки: длина $a = 4$ дм, ширина $b = 2$ дм, высота $c = 3$ дм. Ребро кубика равно 1 дм.

Чтобы найти, сколько кубиков поместится в коробку, нужно определить, сколько кубиков укладывается вдоль каждого из её рёбер, и перемножить эти значения.

• Вдоль длины (4 дм) поместится $4 \text{ дм} / 1 \text{ дм} = 4$ кубика.
• Вдоль ширины (2 дм) поместится $2 \text{ дм} / 1 \text{ дм} = 2$ кубика.
• Вдоль высоты (3 дм) поместится $3 \text{ дм} / 1 \text{ дм} = 3$ кубика.

Общее количество кубиков в коробке:
Количество кубиков = $4 \times 2 \times 3 = 24$.

Объём коробки (прямоугольного параллелепипеда) вычисляется по формуле $V = a \times b \times c$:
$V = 4 \text{ дм} \times 2 \text{ дм} \times 3 \text{ дм} = 24 \text{ дм}^3$.

Ответ: В коробку войдёт 24 кубика, объём коробки равен 24 дм³.